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代数幾何学において、最小モデルプログラムは代数多様体の双有理分類の一部である。その目的は、任意の複素射影多様体の双有理モデルを可能な限り単純化することにある。この分野は、イタリア学派が研究した古典的な双有理曲面幾何学に起源を持ち、現在も代数幾何学における活発な研究領域となっている。
この理論の基本的な考え方は、各双有理同値類において「可能な限り単純な」多様体を見つけることによって、多様体の双有理分類を単純化することである。このフレーズの正確な意味は、この分野の発展とともに変化してきた。当初、曲面においては、滑らかな多様体を見つけることを意味していた。双有理射であれば表面が滑らか同型写像である。
現代的な定式化では、この理論の目標は次のとおりである。射影多様体が与えられたと仮定する。は、簡略化のため非特異であると仮定する。小平次元に基づいて2つのケースがある。: [ 1 ]
品種がそして上に現れる非単数形は重要なものです。滑らかなものから始めれば、そうすれば、滑らかな多様体のカテゴリー内に常に最小モデルまたはファノファイバー空間を見つけることができます。しかし、これは正しくないため、特異多様体も考慮する必要があります。現れる特異点は終端特異点と呼ばれます。
既約複素代数曲線はすべて、一意の滑らかな射影曲線と双有理的に対応しているため、曲線の理論は自明である。曲面の場合については、1900年頃にイタリア学派の幾何学者たちが初めて研究した。グイド・カステルヌオーヴォの縮約定理は、本質的に任意の滑らかな射影曲面の最小モデルを構築する過程を記述している。この定理は、任意の非自明な双有理射が−1曲線は滑らかな点に縮約されなければならず、逆にそのような曲線は滑らかに縮約することができる。ここで、−1曲線とは自己交差を持つ滑らかな有理曲線Cのことである。そのような曲線は必ずこれは、正準クラスがネフであれば、曲面には-1曲線が存在しないことを示しています。
カステルヌオーヴォの定理によれば、滑らかな曲面の最小モデルを構築するには、曲面上のすべての −1 曲線を縮約すればよく、結果として得られる多様体Yは、 K nefを持つ (一意の) 最小モデルか、線織面(2 次元ファノファイバー空間と同じで、射影平面か曲線上の線織面のいずれか) のいずれかになります。 2 番目の場合、Xと双有理な線織面は一意ではありませんが、射影直線と曲線の積と同型な線織面は一意に存在します。 やや微妙な点は、曲面が無限に多くの −1 曲線を持つ可能性がある場合でも、−1 曲線を持たない曲面を得るには、それらのうち有限個を縮約するだけでよいということです。
2次元を超えると、理論ははるかに複雑になる。特に、滑らかな多様体が存在する。滑らかな多様体に対して双有理ではないnef 正準クラス付き。1970 年代から 1980 年代初頭にかけての主要な概念的進歩は、発生する特異点の種類に注意すれば、最小モデルの構築が依然として可能であるということだった。（例えば、我々は、はネフなので、交差数は定義されなければならない。したがって、少なくとも、我々の品種はある正の整数のカルティエ約数である）
最初の重要な結果は、森重文の円錐定理であり、曲線の円錐の構造を記述している。簡単に言うと、この定理は、帰納的に多様体の列を構築することができるそれぞれが前のものより「近い」nef。しかし、プロセスは困難に遭遇する可能性があります。ある時点で、多様性は「特異になりすぎる」可能性がある。この問題に対する推測される解決策は、の余次元2手術の一種である の反転である。必要な反転が存在するかどうかは明らかではなく、また、それらが常に終了する（つまり、最小モデルに到達する）かどうかも明らかではない。有限ステップで）。森（1988）は、 3次元の場合にも反転が存在することを示した。
より一般的な対数反転の存在は、ヴャチェスラフ・ショクロフによって3次元と4次元で確立されました。その後、ショクロフとハコン、そしてマッカーナンの以前の研究に基づき、コーチャー・ビルカー、パオロ・カシーニ、クリストファー・ハコン、ジェームズ・マッカーナンによって、より高次元に一般化されました。彼らはまた、対数正準環の有限生成や、対数一般型多様体の最小モデルの存在など、他のいくつかの問題も証明しました。
高次元におけるログフリップの終了問題は、現在も活発な研究対象となっている。
