ノード分解

抽象的な数学分野である圏論において、射の節点分解^[1]は、を積 として表現したものである。ここで、 は強いエピモーフィズム、^{[2] [3] [4]}は双射、 は強い単射である。[ ^{5] [3] [4]}${\displaystyle \varphi :X\to Y}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi =\sigma \circ \beta \circ \pi }$${\displaystyle \pi}$ ${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \sigma}$

もしそれが存在するなら、節点分解は同型を除いて次の意味で一意である：任意の2つの節点分解とに対して、同型とが 存在し、${\displaystyle \varphi =\sigma \circ \beta \circ \pi }$${\displaystyle \varphi =\sigma '\circ \beta '\circ \pi '}$ ${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle \pi '=\eta \circ \pi ,}$

${\displaystyle \beta =\theta \circ \beta '\circ \eta ,}$

${\displaystyle \sigma '=\sigma \circ \theta .}$

この特性により、節点分解の要素に対していくつかの特別な表記法が正当化されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\pi =\operatorname {coim} _{\infty }\varphi ,&&P=\operatorname {Coim} _{\infty }\varphi ,\\&\beta =\operatorname {red} _{\infty }\varphi ,&&\\&\sigma =\operatorname {im} _{\infty }\varphi ,&&Q=\operatorname {Im} _{\infty }\varphi ,\end{aligned}}}$

– ここで、および はの節点共像、の節点像、の節点簡約部分と呼ばれます。 ${\displaystyle \operatorname {coim} _{\infty }\varphi }$${\displaystyle \operatorname {Coim} _{\infty }\varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \operatorname {im} _{\infty }\varphi }$${\displaystyle \operatorname {Im} _{\infty }\varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \operatorname {red} _{\infty }\varphi }$${\displaystyle \varphi }$

これらの表記では、節点分解は次の形式をとる。

${\displaystyle \varphi =\operatorname {im} _{\infty }\varphi \circ \operatorname {red} _{\infty }\varphi \circ \operatorname {coim} _{\infty }\varphi .}$

前アーベル圏 では、各射は標準的な分解を持つ。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi =\operatorname {im} \varphi \circ \operatorname {red} \varphi \circ \operatorname {coim} \varphi }$、

は基本分解と呼ばれる（ここで、、、はそれぞれ、射 の像、共像、既約部分である）。 ${\displaystyle \operatorname {im} \varphi =\ker(\operatorname {coker} \varphi )}$${\displaystyle \operatorname {coim} \varphi =\operatorname {coker} (\ker \varphi )}$${\displaystyle \operatorname {red} \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

前アーベル圏の射に節点分解がある場合、（必ずしも同型ではないが）節点分解と基本分解を次の恒等式で結び付ける射とが存在する。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \operatorname {coim} _{\infty }\varphi =\eta \circ \operatorname {coim} \varphi ,}$

${\displaystyle \operatorname {red} \varphi =\theta \circ \operatorname {red} _{\infty }\varphi \circ \eta ,}$

${\displaystyle \operatorname {im} _{\infty }\varphi =\operatorname {im} \varphi \circ \theta .}$

各射がにおいて節点分解を持つとき、そのカテゴリは節点分解を持つカテゴリと呼ばれる^[1] 。この性質はにおけるエンベロープとリファインメントの構築に重要な役割を果たす。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

アーベル圏 では、基本的な分解は ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle \varphi =\operatorname {im} \varphi \circ \operatorname {red} \varphi \circ \operatorname {coim} \varphi }$

は常に節点です。 系として、すべてのアーベル圏は節点分解を持ちます。

前アーベル圏が 線型完備^[6]で、強単射に対して十分に冪^[7]、強エピモーフィズムに対して十分に冪^[8]である場合、 節点分解^{[9]を持つ。}${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

より一般的には、カテゴリが線型完全で、^[6]強い単射に対して十分にべきであり、^[7]強いエピモーフィズムに対して共十分にべきであり、^[8]さらに強いエピモーフィズムがにおける単射を識別し^[10]、双対的に、強い単射が におけるエピモーフィズムを識別し^[11]るとすると、 ノード分解が成り立つ。^[12]${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

ステレオタイプ空間のカテゴリSte（非可換）には節点分解があり、^[13]ステレオタイプ代数の（非加法的な）カテゴリSteAlgも同様に節点分解がある。^[14]

• Borceux, F. (1994).カテゴリー代数ハンドブック 1. 基礎カテゴリー理論. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0521061193。
• Tsalenko, MS; Shulgeifer, EG (1974).カテゴリー理論の基礎. Nauka.
• Akbarov, SS (2016). 「カテゴリのエンベロープとリファインメント、および関数解析への応用」. Dissertationes Mathematicae . 513 : 1–188. arXiv : 1110.2013 . doi :10.4064/dm702-12-2015. S2CID  118895911.