双対（圏論）

数学の一分野である圏論において、双対性は圏Cの特性と、反対の圏C ^opの双対特性との間の対応である。圏Cに関するステートメントが与えられた場合、各射のソースとターゲットを入れ替え、2 つの射を合成する順序を入れ替えることで、反対の圏C ^opに関する対応する双対ステートメントが得られる。双対性自体は、ステートメントに対するこの操作の下では真理は不変であるという主張である。言い換えれば、ステートメントがCについて真である場合、その双対ステートメントはC ^opについて真である。また、ステートメントがCについて偽である場合、その双対はC ^opについて偽でなければならない。

具体的なカテゴリ Cが与えられた場合、反対のカテゴリC ^op自体は抽象的であることが多いです。 C ^{op は、}数学的な実践から生じるカテゴリである必要はありません。 この場合、別のカテゴリDも、 DとC ^opがカテゴリとして同等である場合、Cと双対であると呼ばれます。

Cとその反対のC ^opが同値である場合、そのようなカテゴリは自己双対である。^[1]

我々は、カテゴリー理論の基本言語を、オブジェクトと射を別個のソートとして扱い、オブジェクトが射のソースまたはターゲットであり、2 つの射を合成する記号であるという関係を持つ、2 ソートの1階言語として定義します。

σ をこの言語の任意のステートメントとします。双対 σ ^{op は}次のように形成されます。

1. σ 内の「ソース」の各出現を「ターゲット」と交換します。
2. 合成射の順序を入れ替える。つまり、 の各出現を と置き換える。${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$

非公式には、これらの条件は、ステートメントの双対が矢印と構成を反転することによって形成されることを述べています。

双対性とは、σ が何らかのカテゴリCに対して真である場合、かつその場合に限り σ ^opがC ^opに対して真であるという観察である。^{[2] [3]}

• 射が単射であるのは、が成り立つ場合です。双対演算を実行すると、が成り立つというステートメントが得られます。射 の場合、これはまさにfがエピモーフィズムであることを意味します。つまり、単射であるという性質は、エピモーフィズムであるという性質と双対です。${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$${\displaystyle g=h}$${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$${\displaystyle g=h.}$${\displaystyle f\colon B\to A}$

双対性を適用すると、あるカテゴリC内の射が単射である場合、かつその逆のカテゴリC ^op内の逆射がエピモーフィズムである場合に限ります。

• 例として、半順序における不等式の方向を逆にする。Xが集合で半順序関係≤の場合、新しい半順序関係_≤newを定義することができる。

y ≤ xの場合にのみ、x ≤_新しい yとなります。

この順序に関する例は特殊なケースです。半順序は、Hom( A , B ) が最大で 1 つの要素を持つことができる特定の種類のカテゴリに対応するためです。論理への応用では、これは否定の非常に一般的な記述のように見えます (つまり、証明は反対方向に実行されます)。たとえば、格子の反対を取ると、会合と結合の役割が入れ替わっていることがわかります。これは、ド・モルガンの法則、または格子に適用された 双対性の抽象的な形です。

• 極限と余極限は二重の概念です。
• ファイバレーションとコファイバレーションは、代数的位相幾何学とホモトピー理論における双対概念の例です。この文脈では、双対性はしばしばエックマン-ヒルトン双対性と呼ばれます。

• 随伴関数
• 二重オブジェクト
• 双対性（数学）
• 反対のカテゴリー
• ピュレーション広場