プラスマイナス記号

数式では、±記号はプラス記号またはマイナス記号（ +または−）のいずれかに置き換えることができる記号を示すために使用され、数式が2つの値または2つの方程式を表すことができます。^{[ 2 ]}

x² = 9^の場合、解はx = ±3と表すことができます。これは、方程式にx = +3とx = −3の 2 つの解があることを示しています。この表記法は、二次方程式の解の公式によく用いられます。

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$$

^これは、二次方程式ax² + bx + c = 0 の2 つの共役解を表しています。

関連する用例は、正弦関数のテイラー級数の公式の以下の説明に見られる。

$${\displaystyle \sin \left(x\right)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \pm {\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}+\cdots }$$

ここで、プラスまたはマイナスの符号は、nが奇数か偶数かによって項を加算または減算できることを示しています。この規則は最初の数項から推測できます。より厳密に表現するには、各項に(−1) ^nを掛けます。これにより、 nが偶数の場合は+1 、nが奇数の場合は−1になります。古い文献では、(−) ^nという表記が見られることがありますが、これは同じ意味です。

マイナスプラス記号∓は、一般的に±記号と組み合わせて使用​​され、常に±とは反対の符号を持ちます。たとえば、x ± y ∓ z は、 x + y − zまたはx − y + zの略記です(ただし、x + y + zまたはx − y − zではありません )。

上記の式は、∓の使用を避けるためにx ± ( y − z )と書き直すこともできますが、このような三角関数の恒等式は「∓」記号を使用して最も簡潔に記述できます。

$${\displaystyle \cos(A\pm B)=\cos(A)\cos(B)\mp \sin(A)\sin(B)}$$

これは、以下の2つの方程式を表しています。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(A+B)&=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B),{\text{ および }}\\\cos(AB)&=\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B).\end{aligned}}}$$

別の例としては、立方数の和と差があります。

$${\displaystyle x^{3}\pm y^{3}=(x\pm y)\left((x\mp y)^{2}\pm xy\right)}$$

これは、以下の2つの方程式を表しています。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+y^{3}&=(x+y)\left((xy)^{2}+xy\right),{\text{ および }}\\x^{3}-y^{3}&=(xy)\left((x+y)^{2}-xy\right).\end{aligned}}}$$

方程式に±と∓の両方の記号が現れた場合、それらの記号はすべて相関関係にあることは明白です。つまり、この略記法は正確に2つの方程式を表しています。 ±記号のみが現れた場合、標準的な数学的慣例では、それらはすべて同じ値をとるとされています。例えば、三角関数の恒等式は次のようになります。 $${\displaystyle \sin(A\pm B)=\sin(A)\cos(B)\pm \cos(A)\sin(B)}$$ これは、2つの方程式の略記法でもあります。1つは方程式の両辺に+が付いているもの、もう1つは両辺に−が付いているものです。

ただし、これは周囲のテキストによって修正される場合があり、「± 記号は独立している」などと記載されることがあります。このような簡単な説明が不可能な場合は、明確さを確保するために方程式を書き直す必要があります。たとえば、s ₁、s _{2 、... などの変数を導入し、} s ₃ = s ₁ · ( s ₂ ) ⁿなどの適切な関係を指定します。

近似値として±を使用するのは、量の数値と許容誤差または統計的誤差範囲を示す場合によく見られます。^{[ 3 ]}例えば、5.7 ± 0.2 は5.5 から 5.9 までの範囲内のどこかになります。科学的な用法では、通常 1 または 2標準偏差(正規分布では 68.3% または 95.4% の確率)に対応する、指定された区間内にある確率を指すことがあります。 

不確実な値を含む演算では、誤差の伝播を避けるために、常に不確実性を保持するように努める必要があります。n = a ± b の場合、m = f ( n )の形式の演算は、 m = c ± dの形式の値を返さなければなりません。ここで、 cはf ( a )であり、d は区間演算を使用して更新された範囲bです。

チェスの注釈では、 ±と∓ の記号は、それぞれ白と黒の適度だが重要な優位性を表すのに使用されます。 ^{[ 4 ]}弱い優位性と強い優位性は、わずかな優位性の場合は⩲と⩱ 、強い、潜在的に勝利につながる優位性の場合は+–と–+で表され、これもそれぞれ白と黒に当てはまります。^{[ 5 ]}

• 医学では、場合によっては「ありまたはなし」を意味することもある。^{[ 6 ] [ 7 ]}
• 工学において、この記号は許容範囲を示し、許容範囲とは、許容または安全とみなされる値の範囲、あるいは何らかの規格や契約に準拠する値の範囲を指します。
• 化学では、この記号はラセミ混合物を示すために用いられる。
• 電子機器では、この記号はデュアル電圧電源を示す場合があり、例えば、±5ボルトは、オーディオ回路や演算増幅器で使用される場合、+5ボルトと-5ボルトを意味します。
• 言語学では、 [±有声]などの特徴を示す場合がある。 ^{[ 8 ]}