ミー散乱

電磁気学において、マクスウェル方程式のミー解（ローレンツ・ミー解、ローレンツ・ミー・デバイ解、ミー散乱とも呼ばれる）は、均質球による電磁平面波の散乱を記述する。この解は、球面多重極部分波の無限級数の形をとる。ドイツの物理学者グスタフ・ミーにちなんで名付けられた。

ミー解という用語は、層状球または無限円筒による散乱に関するマクスウェル方程式の解、または解の半径および角度依存性について別々の方程式を記述できるその他の形状にも使用されます。ミー理論という用語は、この一連の解と方法を指すこともありますが、独立した物理理論や法則を指すものではありません。より広義には、「ミー散乱」式は、散乱粒子のサイズが光の波長と同程度であり、それよりはるかに小さいか大きい場合ではない場合に最も役立ちます。

ミー散乱（非分子散乱またはエアロゾル粒子散乱と呼ばれることもある）は、大気圏下層4,500 m（15,000 フィート）で発生し、入射光線の波長とほぼ同じ直径を持つ球形の粒子が多数存在する可能性がある。ミー散乱理論にはサイズの上限がなく、大きな粒子に対しては幾何光学の限界に収束する。^[1]

球面上の散乱問題に対するミー解の現代的な定式化は、多くの書籍、例えばJAストラットンの電磁気理論に掲載されています。^[2]この定式化では、入射平面波と散乱場は、放射球面ベクトル球面調和関数に展開されます。内部場は、規則的なベクトル球面調和関数に展開されます。球面上の 境界条件を適用することで、散乱場の展開係数を計算できます。

散乱光の波長よりもはるかに大きい、またははるかに小さい粒子の場合、システムの挙動を説明するのに十分な単純で正確な近似値があります。しかし、大気中の水滴、塗料中のラテックス粒子、牛乳などのエマルジョン中の液滴、生物細胞や細胞成分など、サイズが波長のわずか数桁以内の物体の場合は、より詳細なアプローチが必要です。^[3]

ミー解^{[4]は、その開発者であるドイツの物理学者}グスタフ・ミーにちなんで名付けられました。デンマークの物理学者ルートヴィヒ・ローレンツらは、誘電体球による電磁平面波の散乱理論を独自に開発しました。

この形式論により、球状物体の内外の電場と磁場を計算することができ、一般的には散乱する光の量（全光断面積）や散乱する場所（形状係数）を計算するために使用されます。これらの結果の注目すべき特徴は、ミー共鳴、つまり特に強くまたは弱く散乱するサイズです。^[5]これは、小さな粒子に対するレイリー散乱や、大きな粒子に対するレイリー・ガンズ・デバイ散乱（レイリー卿、リチャード・ガンズ、ピーター・デバイにちなんで）とは対照的です。共鳴の存在やミー散乱の他の特徴により、散乱光を使用して粒子サイズを測定する場合、ミー散乱は特に有用な形式論となります。

レイリー散乱は、光の波長よりもはるかに小さい球による光の弾性散乱を表します。散乱光の 強度Iは次のように表されます。

${\displaystyle I=I_{0}\left({\frac {1+\cos ^{2}\theta }{2R^{2}}}\right)\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{4}\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\right)^{2}\left({\frac {d}{2}}\right)^{6},}$

ここで、I ₀は粒子と相互作用する前の光の強度、Rは粒子と観察者の間の距離、θは散乱角、λは対象となる光の波長、nは粒子の屈折率、 d は粒子の直径です。

上記の式から、レイリー散乱は粒子のサイズと波長に大きく依存していることがわかります。レイリー散乱放射の強度は、粒子のサイズと波長の比率が増加するにつれて急速に増加します。さらに、レイリー散乱放射の強度は、順方向と逆方向で同じです。

レイリー散乱モデルは、粒子サイズが入射光の波長の約 10% を超えると破綻します。これよりも大きなサイズの粒子の場合、散乱光の強度を求めるためにミー散乱モデルを使用できます。ミー散乱光の強度は、単純な数式ではなく、項の無限級数の合計で表されます。ただし、この粒子サイズの範囲での散乱は、レイリー散乱とはいくつかの点で異なります。散乱は波長にほぼ依存せず、前方方向の散乱が逆方向の散乱よりも大きくなります。粒子サイズが大きいほど、前方方向に散乱される光が多くなります。

空の青色はレイリー散乱によって生じます。大気中のガス粒子のサイズは可視光線の波長よりもはるかに小さいためです。青色光は波長が短いため、レイリー散乱は他の色よりもはるかに大きくなります。太陽光が大気を通過する際、その青色成分は大気中のガスによって強くレイリー散乱されますが、より長い波長 (赤/黄色など) の成分はそうではありません。そのため、太陽から直接届く太陽光はわずかに黄色に見え、空の残りの部分で散乱された光は青く見えます。日の出と日の入りの間は、光線が地表近くの高密度の空気を通過する距離が長くなるため、透過光のスペクトルに対するレイリー散乱の影響は非常に大きくなります。

対照的に、雲を構成する水滴は可視光線の波長と同程度の大きさであり、散乱はレイリーのモデルではなくミーのモデルによって説明されます。この場合、可視光線のすべての波長がほぼ同じように散乱されるため、雲は白または灰色に見えます。

レイリー・ガンズ近似は、粒子の相対屈折率が環境の屈折率に近く、粒子の大きさが光の波長を| n  −1|で割った値に比べてはるかに小さい場合の光散乱の近似解である（nは屈折率）。^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}|n-1|&\ll 1\\kd|n-1|&\ll 1\end{aligned}}}$

ここで、は光の波数ベクトル（）であり、は粒子の線寸法を表します。前者の条件は光学的にソフトであるとよく言われ、近似は任意の形状の粒子に対しても当てはまります。^[3]${\textstyle k}$${\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$${\displaystyle d}$

異常回折近似は、（波長に比べて）大きく光学的に柔らかい球に対して有効である。光学の文脈で柔らかいとは、粒子の屈折率（m）が環境の屈折率とわずかに異なり、粒子が波にわずかな位相シフトを与えるだけであることを意味する。この近似における消光効率は次のように与えられる。

${\displaystyle Q=2-{\frac {4}{p}}\sin p+{\frac {4}{p^{2}}}(1-\cos p),}$

ここで、Qは散乱効率係数であり、散乱断面積と幾何学的断面積π a ²の比として定義されます。

p = 4πa( n − 1)/λという項の物理的な意味は、球の中心を通過する波の位相遅延です。ここで、aは球の半径、nは球の内側と外側の屈折率の比、λは光の波長です。

この方程式は、1957年にvan de Hulstによって初めて記述されました。 ^[5]

球状ナノ粒子による散乱は、粒子のサイズに関係なく正確に解かれます。 x軸に沿って偏光し、 z軸に沿って伝播する平面波による散乱を考えます。粒子の誘電率と透磁率は 、 環境に対して 、および、です。${\displaystyle \varepsilon_{1}}$${\displaystyle \mu_{1}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \mu}$

散乱問題を解くために、^[3]ではまず粒子の内側と外側の場がそれを満たす必要があるため、球座標で ベクトルヘルムホルツ方程式の解を書きます。ヘルムホルツ方程式:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} +{k}^{2}\mathbf {E} =0,\quad \nabla ^{2}\mathbf {H} +{k}^{2 }\mathbf {H} =0.}$

ヘルムホルツ方程式に加えて、場は条件および、を満たす必要があります。ベクトル球面調和関数は、次 のように導入される必要な特性をすべて備えています。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {H} =0}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =i\omega \mu \mathbf {H} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =-i\omega \varepsilon \mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right) }$ — 磁気高調波（TE）、

${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k} }}$ — 電気高調波（TM）、

どこ

${\displaystyle {\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r),}}$

${\displaystyle {\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r),}}$

および —ルジャンドル多項式、および — 球面ベッセル関数のいずれか。 ${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )}$${\displaystyle z_{n}({k}r)}$

次に、入射平面波をベクトル球面調和関数で展開します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\text{inc}}&=E_{0}e^{ikr\cos \theta }\mathbf {e} _{x}=E_{0 }\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )-i\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right),\ \\mathbf {H} _{\text{inc}}&={\frac {-k}{\omega \mu }}E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} ) +i\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right).\end{aligned}}}$

ここで上付き文字は、関数の半径部分が第一種球面ベッセル関数であることを意味します。展開係数は、次の形式の積分を取ることで得られます。 ${\displaystyle (1)}$${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$

${\displaystyle {\frac {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {E} _{\text{inc}}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\sin \theta {\text{d}}\theta {\text{d}}\varphi }{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\right|^{2}\sin \theta {\text{d}}\theta {\text{d}}\varphi }}.}$

この場合、分子の角度の積分がゼロなので、 のすべての係数はゼロになります。 ${\displaystyle m\neq 1}$${\displaystyle \varphi }$

次に、次の条件が課されます。

1. 球と環境の境界における界面条件（入射場、内部場、散乱場の膨張係数を関連付けることができる）
2. 解が原点で有界であるという条件（したがって、生成関数の半径部分では、内部場として第一種球面ベッセル関数が選択される）、${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$
3. 散乱場の場合、無限遠での漸近線は発散する球面波に対応します (これに関連して、生成関数の放射状部分における散乱場の場合、第 1 種の球面ハンケル関数が選択されます)。${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$

散乱場はベクトル調和展開で次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(ia_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )-b_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right),}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{s}={\frac {k}{\omega \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(a_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+ib_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right).}$

ここで上付き文字は 、関数の動径部分が 第1種球面ハンケル関数（第2種は）であり、 であることを意味します。 ${\displaystyle (3)}$${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$${\displaystyle (4)}$${\displaystyle E_{n}={\frac {i^{n}E_{0}(2n+1)}{n(n+1)}}}$

内部フィールド:

${\displaystyle \mathbf {E} _{1}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(-id_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+c_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right),}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{1}={\frac {-k_{1}}{\omega \mu _{1}}}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(d_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+ic_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right).}$

${\textstyle k={\frac {\omega }{c}}n}$は粒子の外側の波動ベクトル、 は粒子の材料からの媒体内の波動ベクトルであり、は媒体と粒子の屈折率です。 ${\textstyle k_{1}={\frac {\omega }{c}}{n_{1}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{1}}$

インターフェース条件を適用した後、係数の式は次のようになります。

${\displaystyle c_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle d_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}n_{1}n\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}n_{1}n\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle b_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle a_{n}(\omega )={\frac {\mu n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

どこ

${\displaystyle \rho =ka,}$

${\displaystyle \rho _{1}=k_{1}a}$は球の半径です。${\displaystyle a}$

${\displaystyle j_{n}}$およびは それぞれ第一種ベッセル球面関数とハンケル球面関数を表します。 ${\displaystyle h_{n}}$

ミー理論を用いて一般的に計算される値には、消光 、散乱、吸収の効率係数が含まれる。^{[6] [7]}これらの効率係数は、それぞれのプロセスの断面積と粒子保護面積の比であり、aは粒子半径である。消光の定義によれば、 ${\displaystyle Q_{e}}$ ${\displaystyle Q_{s}}$ ${\displaystyle Q_{a}}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle Q_{i}={\frac {\sigma _{i}}{\pi a^{2}}}}$

${\displaystyle \sigma _{e}=\sigma _{s}+\sigma _{a}}$そして。${\displaystyle Q_{e}=Q_{s}+Q_{a}}$

散乱係数と消衰係数は無限級数として表すことができます。

${\displaystyle Q_{s}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\left(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2}\right)}$

${\displaystyle Q_{e}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})}$

これらの合計における寄与はnでインデックス付けされ、 n = 1が双極子項、n = 2が四極子項など の多極子展開の次数に対応します。

粒子のサイズが物質内の波長の数倍に等しい場合、散乱場にはいくつかの特徴があります。さらに、磁場は電場から回転を取ることで得られるため、電場の形状が重要です。

すべてのミー係数は周波数に依存し、分母がゼロに近いときに最大値を持ちます（複素周波数ではゼロと正確に等しくなります）。 この場合、1 つの特定の高調波の寄与が散乱を支配する可能性があります。 すると、粒子から離れた距離では、散乱場の放射パターンは、ベクトル球面調和関数の角度部分の対応する放射パターンに類似します。 高調波は電気双極子に対応し（この高調波の寄与が電場の拡大を支配する場合、場は電気双極子場に類似します）、 は磁気双極子の電場に対応し、は電気四重極子と磁気四重極子、 は八重極子などです。 散乱係数の最大値（およびそれらの位相の への変化）は多極共鳴と呼ばれ、ゼロはアナポールと呼ばれることがあります。 ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m1}}$${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m1}}$${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m2}}$${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m2}}$${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m3}}$${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m3}}$${\displaystyle \pi }$

散乱断面積の波長依存性と特定の共鳴の寄与は、粒子の材料に大きく依存します。たとえば、半径 100 nm の金粒子の場合、光学範囲では電気双極子の散乱への寄与が支配的ですが、シリコン粒子の場合は磁気双極子と四重極子の共鳴が顕著です。金属粒子の場合、散乱断面積で見えるピークは、局在プラズモン共鳴とも呼ばれます。

粒子が小さい場合や波長が長い場合には、散乱断面積において電気双極子の寄与が支配的になります。

x偏光平面波がz軸に沿って入射する場合、すべての場の分解にはm = 1の高調波のみが含まれますが、任意の入射波の場合はそうではありません。^{[8]回転した平面波の場合、たとえば、回転中にベクトル球面調和関数が}ウィグナーD行列によって互いに変換されるという事実を使用して、展開係数を取得できます 。

この場合、散乱場はすべての可能な高調波によって分解されます。

${\displaystyle \mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}E_{0}(D_{Memn}\mathbf {M} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Momn}\mathbf {M} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nemn}\mathbf {N} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nomn}\mathbf {N} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} ))}$

散乱断面積は次のように係数で表されます: ^[9]

${\displaystyle C_{\text{sca}}={\frac {2\pi }{\pi a^{2}k^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{(2n+1)}}\times \left[\sum \limits _{m=1}^{n}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}\left(|D_{Memn}|^{2}+|D_{Momn}|^{2}+|D_{Nemn}|^{2}+|D_{Nomn}|^{2}\right)+2|D_{Me0n}|^{2}+2|D_{Ne0n}|^{2}\right].}$

ケルカー効果は散乱方向性の現象であり、異なる多極応答が提示され、無視できない場合に発生します。

1983年、 Kerker、Wang、Gilesの研究^[10]では、 を持つ粒子による散乱方向が調査されました。特に、 を持つ仮想粒子では後方散乱が完全に抑制されることが示されました。これは、反射と透過が一定で入射角に依存しない、屈折率が等しい平面での反射に関するGilesとWildの結果の球面への拡張と見ることができます。^[11]${\displaystyle \mu \neq 1}$${\displaystyle \mu =\varepsilon }$

さらに、前方および後方の散乱断面積は、ミー係数で簡単に表される：^{[12] [13]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\text{sca}}^{\text{backward}}&={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}\left|\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(-1)^{n}(a_{n}-b_{n})\right|^{2}\\C_{\text{sca}}^{\text{forward}}&={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}\left|\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(a_{n}+b_{n})\right|^{2}\end{aligned}}}$

特定の係数の組み合わせでは、上記の式を最小化できます。

したがって、たとえば、 の項を無視できる場合（双極子近似）、は後方散乱の最小値に対応します（磁気双極子と電気双極子は大きさが等しく、位相が一致しており、これは第 1 ケルカー条件またはゼロ後方強度条件とも呼ばれます^[14]）。 は前方散乱の最小値に対応し、これは第 2 ケルカー条件（またはほぼゼロ前方強度条件） とも呼ばれます。 光学定理から、受動粒子の場合 は不可能であることが示されています^[15] 。 問題を正確に解くには、すべての多重極子の寄与を考慮する必要があります。 電気双極子と磁気双極子の合計は、ホイヘンス源を形成します^[16]${\displaystyle n>1}$${\displaystyle (a_{1}-b_{1})=0}$${\displaystyle (a_{1}+b_{1})=0}$${\displaystyle (a_{1}=-b_{1})}$

誘電体粒子の場合、磁気双極子共鳴の波長よりも長い波長で最大の前方散乱が観測され、より短い波長で最大の後方散乱が観測される。^[17]

その後、この効果の他のバリエーションが発見されました。例えば、前方散乱場と後方散乱場（側方散乱パターン）の両方がほぼ完全に同時に抑制される横方向ケルカー効果^[18]、光機械ケルカー効果^[19]、音響散乱^[20]、植物でも発見されました。^[21]

YouTubeには効果を説明した 短いビデオもあります。

グリーン関数は次の方程式の解です。

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times {\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega ){\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+{\bf {\hat {1}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} '),}$

ここで、は 単位行列、 は単位行列です。すべての場はベ​​クトルなので、グリーン関数は3行3列の行列で、2項関数と呼ばれます。システムで分極が誘起される場合、場が次のように書かれるとき、 ${\displaystyle {\hat {\bf {1}}}}$${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )}$${\displaystyle r<a}$${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon }$${\displaystyle r>a}$${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {E} ^{\omega }({\mathbf {r} })=\omega ^{2}\mu \int \limits _{V}{\text{d}}V'{\hat {\bf {G}}}({\bf {r,r'}},k)\mathbf {P} ^{\omega }(\mathbf {r} ')}$

場と同様に、グリーン関数はベクトル球面調和関数に分解できる。^[22] 自由空間の2項グリーン関数は次のようになる。^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})\\{}={}&{\frac {\mathbf {e_{r}} \otimes \mathbf {e_{r}} }{k^{2}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad {\begin{cases}\left(\left(\mathbf {M} _{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)+\left({\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right),&{\text{if }}r<r'\\\left(\left(\mathbf {M} _{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']\right)+\left({\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right),&{\text{if }}r>r'\end{cases}}\end{aligned}}}$

球面上では、グリーン関数もベクトル球面調和関数に分解されます。その外観は、点とが配置されている環境に依存します。^[24]${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} '}$

両方の点が球の外にある場合（）： ${\displaystyle r>a,r'>a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{00}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(a_{n}^{(0)}(\omega )\left(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)+b_{n}^{(0)}(\omega )\left({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}}$

ここで係数は:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},\\b_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}.\end{aligned}}}$

両方の点が球（）の内側にある場合： ${\displaystyle r<a,r'<a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{11}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k_{1}})+{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(c_{n}^{(1)}(\omega )\left(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)+d_{n}^{(1)}(\omega )\left({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)\right),\end{aligned}}}$

係数:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},\\d_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.\end{aligned}}}$

光源は球の内側にあり、観測点は外側にあります（）： ${\displaystyle r>a,r'<a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{01}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(a_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '])+b_{n}^{(1)}(\omega )\left(\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}}$

係数:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},\\b_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {nn_{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-nn_{1}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.\end{aligned}}}$

光源は球の外側にあり、観測点は（）の内側にあります： ${\displaystyle r<a,r'>a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{10}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(c_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])+d_{n}^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])\right)\end{aligned}}}$

係数:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},\\d_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {nn_{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-nn_{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}}.\end{aligned}}}$

ミー解は、 Fortran、MATLAB、Mathematicaなどのさまざまなコンピュータ言語で記述された多数のプログラムに実装されています。これらの解は無限級数を近似し、散乱位相関数、消衰、散乱、吸収効率、および非対称パラメータや放射トルクなどのその他のパラメータの計算結果を出力として提供します。現在、「ミー解」という用語の使用は、マクスウェル方程式の解の級数近似を示しています。このような解を可能にするオブジェクトとして、球、同心球、無限円筒、球のクラスター、円筒のクラスターなどが知られています。楕円体粒子による散乱の級数解も知られています。これらの特殊な解を実装するコードの一覧を次に示します。

• 球による電磁波散乱のコード- 単一の球、コーティングされた球、多層球、球のクラスターのソリューション。
• シリンダーによる電磁波散乱のコード- 単一シリンダー、多層シリンダー、シリンダー クラスターのソリューション。

より一般的な形状の粒子を扱うことを可能にする一般化はT 行列法であり、これもマクスウェル方程式の解の級数近似に依存します。

他のコードや計算機については外部リンクも参照してください。

ミー理論は気象 光学において非常に重要であり、直径と波長の比が 1 以上のオーダーであることが、霞や雲の散乱に関する多くの問題の特徴となっています。さらに、光散乱測定による粒子の特性評価にも応用されています。ミー解は、牛乳、生体組織、ラテックス塗料などの一般的な材料の外観を理解する上でも重要です。

ミー散乱は、大気中の粒子の直径が光の波長と同等かそれより大きい場合に発生します。雲を形成する塵、花粉、煙、微細な水滴は、ミー散乱の一般的な原因です。ミー散乱は主に大気の下層部で発生し、そこではより大きな粒子がより多く存在し、曇りの状態で優勢になります。

ミー理論は、角度分解低コヒーレンス干渉法を使用して、組織からの散乱光が健康な細胞核に対応するのか、それとも癌の細胞核に対応するのかを決定するために使用されてきました。

ミー理論は、ネフェロメトリーに基づくアッセイの応用における中心原理であり、医学ではさまざまな血漿タンパク質を測定するために広く使用されています。ネフェロメトリーによって、さまざまな血漿タンパク質を検出し、定量化することができます。

磁性球では、いくつかの異常な電磁散乱効果が発生する。比誘電率が透磁率に等しい場合、後方散乱利得はゼロになる。また、散乱放射は入射放射と同じ方向に偏光する。小粒子（または長波長）限界では、前方散乱がゼロになる条件、他の方向への散乱放射が完全に偏光する条件、前方散乱と後方散乱の非対称性という条件が発生する可能性がある。小粒子限界の特殊なケースでは、完全な偏光と前方散乱と後方散乱の非対称性の興味深い特殊な例が提供される。^[10]

ミー理論はメタマテリアルの設計に使用されています。メタマテリアルは通常、低誘電率マトリックスに周期的またはランダムに埋め込まれた金属または非金属介在物の 3 次元複合材料で構成されます。このようなスキームでは、負の構成パラメータが介在物のミー共鳴の周りに現れるように設計されています。負の有効誘電率はミー電気双極子散乱係数の共鳴の周りに設計されていますが、負の有効透磁率はミー磁気双極子散乱係数の共鳴の周りに設計されています。二重負材料 (DNG) はミー電気双極子散乱係数と磁気双極子散乱係数の共鳴の重なりの周りに設計されています。粒子は通常、次の組み合わせを持ちます。

1. 比誘電率と透磁率の値が 1 よりはるかに大きく、互いに近い 1 セットの磁気誘電体粒子。
2. 誘電率は同じだがサイズが異なる 2 つの異なる誘電体粒子。
3. 大きさは同じだが誘電率が異なる 2 つの異なる誘電体粒子。

理論的には、ミー理論で解析される粒子は一般的に球形であるが、実際には、製造の容易さから、粒子は通常、立方体または円筒形として製造される。格子定数が動作波長よりもはるかに小さいという形で表現される均質化の基準を満たすためには、誘電体粒子の比誘電率は1よりもはるかに大きく、例えば負の有効誘電率（透磁率）を達成する必要がある。^{[25] [26] [27]}${\displaystyle \varepsilon _{\text{r}}>78(38)}$

ミー理論は、粒子サイズの影響を調べるためにレーザー回折分析によく適用されます。^[28] 1970年代の初期のコンピュータでは、より単純なフラウンホーファー近似でしか回折データを計算できませんでしたが、ミーは1990年代から広く使用されており、ガイドラインISO 13320:2009では50マイクロメートル未満の粒子に対して正式に推奨されています。^[29]

ミー理論は汚染水中の油分濃度の検出に利用されてきた。^{[30] [31]}

ミー散乱は水中の単一の音響発光気泡の大きさを測定する主な方法であり^{[32] [33] [34]}、周囲の物質が本質的に非吸収性である限り、物質内の空洞や物質内の粒子にも有効である。

また、マラリアの中でも特に病原性の高い熱帯マラリア原虫の構造を研究するためにも使用されている。^[35]

1986年、PA BobbertとJ. Vliegerはミーモデルを拡張し、平面上に置かれた均質媒体内の球による散乱を計算した。これがBobbert–Vlieger（BV）モデルである。ミーモデルと同様に、拡張モデルは入射光の波長とほぼ同じ半径の球に適用できる。^{[36]このモデルは}C++ ソースコードで実装されている。^[37] 最近の開発は楕円体による散乱に関連している。^{[38] [39] [40]} 現代の研究はレイリーの有名な研究に遡る。^[41]

• 球による電磁波散乱のコード
• 計算電磁気学
• 粒子による光の散乱
• 大気放射伝達コードのリスト
• 水と氷の光学特性

• Kerker, M. (1969)。光とその他の電磁放射の散乱。ニューヨーク: アカデミック。
• Barber, PW; Hill, SS (1990)。粒子による光散乱：計算方法。シンガポール：World Scientific。ISBN 978-9971-5-0813-5。
• Mishchenko, M.; Travis, L.; Lacis, A. (2002) 「微粒子による光の散乱、吸収、放出」 ニューヨーク: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78252-4。
• Frisvad, J.; Christensen, N.; Jensen, H. (2007). 「Lorenz-Mie 理論を用いた関与媒体の散乱特性の計算」(PDF) . ACM Transactions on Graphics . 26 (3): 60. doi :10.1145/1276377.1276452.
• Wriedt, Thomas (2008). 「ミー理論1908、携帯電話 2008」。Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer。109 ( 8): 1543–1548。Bibcode :2008JQSRT.109.1543W。doi :10.1016/ j.jqsrt.2008.01.009 。
• ルートヴィヒ、ローレンツ (1890)。 「Lysbevægelsen i og uden for en af plan Lysbølger belyst Kugle」。デット・コンゲリーゲ・ダンスケ・ヴィデンスカベルネス・セルスカブス・スクリフター。6 (6): 1-62。

• SCATTERLIB と scattport.org は、 Fortran、C++、IDL、Pascal、Mathematica、Mathcadで Mie ソリューションを実装した光散乱コードのコレクションです。
• JMIE ( Jeffrey M. McMahon が開発した、無限円筒の周りの解析フィールドを計算する2D C++コード)
• ScatLab。Windows 用の Mie 散乱ソフトウェア。
• STRATIFY点双極子と平面波がソースである場合の多層球からの散乱のMATLABコード。arXiv:2006.06512 の説明
• Scattnlay は、 PythonおよびJavaScriptラッパーを備えたオープンソースのC++ Mie ソリューション パッケージです。多層球の遠距離場および近距離場のシミュレーション結果を提供します。
• オンライン ミー散乱計算機は、散乱特性 (多極分解を含む) のシミュレーションと、バルク、コアシェル、および多層球の近接場マップを提供します。材料パラメータには、refractorindex.info Web サイトのすべての nk-data ファイルが含まれます。ソース コードは、Scattnlay プロジェクトの一部です。
• オンラインの Mie ソリューション計算機が利用可能で、ドキュメントはドイツ語と英語で提供されています。
• オンラインのミー散乱計算機は、さまざまなパラメータにわたって美しいグラフを生成します。
• phpMie PHPで書かれたオンライン ミー散乱計算機。
• ミー共鳴による光の拡散とランダムなレーザー発振。
• 球状粒子のミー解。
• PyMieScatt は、 Pythonで書かれた Mie ソリューション パッケージです。
• pyMieForAll は、 Pythonラッパーを備えたオープンソースのC++ Mie ソリューション パッケージです。