有理差分方程式

有理差分方程式は、 ^{[1] [2] [3] [4]}の形式の非線形差分方程式である。

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {\alpha +\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}x_{ni}}{A+\sum _{i=0}^{k}B_{i}x_{ni}}}~,}$

ここで、初期条件は、どのnに対しても分母が決してゼロにならないというものです。 ${\displaystyle x_{0},x_{-1},\dots ,x_{-k}}$

1階有理差分方程式は、次の形式の非線形差分方程式である。

${\displaystyle w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}.}$

と初期条件が実数の場合、この差分方程式はリカッチ差分方程式と呼ばれる。^[3]${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle w_{0}}$

このような方程式は、それ自体が線形に進化する別の変数の非線形変換として記述することで解くことができます。次に、標準的な方法を使用して、の線形差分方程式を解くことができます。 ${\displaystyle w_{t}}$${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle x_{t}}$

この形式の方程式は無限抵抗ラダー問題から生じる。^{[5] [6]}

変換された変数 を展開する一つのアプローチ^[7]は、 の場合、次のように書く。 ${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle ad-bc\neq 0}$

${\displaystyle y_{t+1}=\alpha -{\frac {\beta }{y_{t}}}}$

どこ とどこ。 ${\displaystyle \alpha =(a+d)/c}$${\displaystyle \beta =(ad-bc)/c^{2}}$${\displaystyle w_{t}=y_{t}-d/c}$

さらに書き 続けることで、 ${\displaystyle y_{t}=x_{t+1}/x_{t}}$

${\displaystyle x_{t+2}-\alpha x_{t+1}+\beta x_{t}=0.}$

このアプローチ^[8]は、が非負の 場合に、2階差分方程式の代わりに 1階差分方程式を与えます。 を意味して、 がによって与えられ、 が によって与えられると書きます。すると、が に従って進化する ことが示されます。${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle (da)^{2}+4bc}$${\displaystyle x_{t}=1/(\eta +w_{t})}$${\displaystyle w_{t}=(1-\eta x_{t})/x_{t}}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \eta =(d-a+r)/2c}$${\displaystyle r={\sqrt {(da)^{2}+4bc}}}$${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle x_{t+1}=\left({\frac {d-\eta c}{\eta c+a}}\right)\!x_{t}+{\frac {c}{\eta c+a}}.}$

方程式

${\displaystyle w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}}$

より一般的な行列方程式の特別なケースとして扱うことでも解くことができる。

${\displaystyle X_{t+1}=-(E+BX_{t})(C+AX_{t})^{-1},}$

ここで、 A、B、C、E、 Xはすべてn  ×  n 行列（この場合はn = 1）であり、この解は^{[9]である。}

${\displaystyle X_{t}=N_{t}D_{t}^{-1}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}N_{t}\\D_{t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-B&-E\\A&C\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}X_{0}\\I\end{pmatrix}}.}$

^[10]では、次の形式の 動的行列リカッチ方程式が

${\displaystyle H_{t-1}=K+A'H_{t}A-A'H_{t}C(C'H_{t}C)^{-1}C'H_{t}A,}$

これは、いくつかの離散時間 最適制御問題で発生する可能性がありますが、行列C の行が列より 1 つだけ多い場合は、上記の 2 番目のアプローチを使用して解決できます。

• Simons, Stuart、「非線形差分方程式」、Mathematical Gazette 93、2009 年 11 月、500-504 ページ。