マシュケの定理

数学において、マシュケの定理[ ^{1] [2] は}ハインリッヒ・マシュケにちなんで名付けられ、^[3]群表現論における定理であり、有限群の表現を既約部分に分解することに関するものである。マシュケの定理は、有限群Gの表現を実際に計算することなく、その表現についての一般的な結論を導くことを可能にする。定理が適用される場合、任意の表現は既約部分（構成要素）の直和であるため、この定理は、すべての表現を分類する作業を、より扱いやすい既約表現を分類する作業に軽減する。さらに、ジョルダン・ヘルダーの定理から、既約部分表現の直和への分解は一意ではないかもしれないが、既約部分には明確に定義された重複度があることが示される。特に、標数0の体上の有限群の表現は、その指標によって同型性を除いて決定される。

マシュケの定理は、「一般的な（有限次元の）表現は、直和演算を使用して既約な部分表現からいつ構築されるのか？」という疑問に答えます。この疑問（およびその答え）は、群表現論のさまざまな観点に応じて、異なる形で定式化されます。

マシュケの定理は、通常、次の結果の 帰結として定式化されます。

すると、帰結は

群の複素数値類関数のベクトル空間は、自然な-不変内積構造を持ち、これはSchur の直交関係の記事で説明されています。Maschke の定理は、もともとこの内積の下で の の直交補集合として を構築することにより、 上の表現の場合に証明されました。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle W}$

有限群の表現へのアプローチの 1 つは、モジュール理論によるものです。群の表現は、その群代数上のモジュールに置き換えられます(正確には、と の間にはカテゴリの同型性があり、これはの表現のカテゴリです)。既約表現は、単純モジュールに対応します。モジュール理論の言語では、マシュケの定理は次のように問います。任意のモジュール は半単純ですか? この文脈では、定理は次のように再定式化できます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K[G]}$${\displaystyle K[G]{\text{-Mod}}}$${\displaystyle \operatorname {Rep} _{G}}$${\displaystyle G}$

この結果の重要性は、よく発達した半単純環の理論、特にウェッダーバーン・アルティンの定理によって与えられたその分類に由来する。が複素数体である場合、これは代数が、各既約表現につき 1 つずつ、複素行列代数のコピーの複数の積であることを示す。^[10]体が特性 0 を持ち、代数的に閉じていない場合、たとえば が実数または有理数体である場合、もう少し複雑なステートメントが成り立つ。つまり、群代数は上の除算環上の行列代数の積である。加数は上の の既約表現に対応する。^[11]${\displaystyle K}$${\displaystyle K[G]}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K[G]}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$

半単純カテゴリの言語で再定式化すると、マシュケの定理は次のように述べる。

U をWのV補空間の部分空間とします。を射影関数、つまり任意の に対してとします。 ${\displaystyle p_{0}:V\to W}$${\displaystyle p_{0}(w+u)=w}$${\displaystyle u\in U,w\in W}$

を定義します。ここで はの略記であり、 はGのW とV上の表現です。すると、は表現の下でGによって保存されます。任意の に対して、 ${\textstyle p(x)={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(x)}$${\displaystyle g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}}$${\displaystyle \rho _{W}{g}\cdot p_{0}\cdot \rho _{V}{g^{-1}}}$${\displaystyle \rho _{W}{g},\rho _{V}{g^{-1}}}$ ${\displaystyle \ker p}$${\displaystyle \rho _{V}}$${\displaystyle w'\in \ker p,h\in G}$$${\displaystyle {\begin{aligned}p(hw')&=h\cdot h^{-1}{\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(hw')\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}(h^{-1}\cdot g)\cdot p_{0}\cdot (g^{-1}h)w'\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}w'\\&=h\cdot p(w')\\&=0\end{aligned}}}$$

したがって、が成り立ちます。したがって、に対するの制限も表現です。 ${\displaystyle w'\in \ker p}$${\displaystyle hw'\in \ker p}$${\displaystyle \rho _{V}}$${\displaystyle \ker p}$

の定義により、任意の に対して が成り立ち、したがって であり、任意の に対して が成り立ちます。したがって、であり、 です。したがって、 です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle p(w)=w}$${\displaystyle W\cap \ker \ p=\{0\}}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle p(p(v))=p(v)}$${\displaystyle p(v-p(v))=0}$${\displaystyle v-p(v)\in \ker p}$${\displaystyle V=W\oplus \ker p}$

V をK [ G ] サブモジュールとする。Vが直和項であることを証明しよう。πをK [ G ]のVへの任意のK線型射影とする。写像を考える。 $${\displaystyle {\begin{cases}\varphi :K[G]\to V\\\varphi :x\mapsto {\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot x)\end{cases}}}$$

するとφ は再び射影となる。明らかにK線型であり、K [ G ] をVに写し、V上の恒等式を誘導する（したがって、K [ G ] をVに写す）。さらに、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t\cdot x)&={\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot t\cdot x)\\&={\frac {1}{\#G}}\sum _{u\in G}t\cdot u\cdot \pi (u^{-1}\cdot x)\\&=t\cdot \varphi (x),\end{aligned}}}$$

したがって、φ は実際にはK [ G ] 線型です。分割補題により、これはすべてのサブモジュールが直和であること、つまりK [ G ] が半単純であることを証明します。 ${\displaystyle K[G]=V\oplus \ker \varphi }$

上記の証明は、# GがKにおいて可逆であるという事実に依存しています。これにより、マシュケの定理の逆も成り立つかどうかという疑問が生じるかもしれません。つまり、 Kの特性がGの位数を割り切る場合、 K [ G ] は半単純ではないということになりますか? 答えはイエスです。^[12]

証明。に対して を定義します。 とします。 すると、IはK [ G ] サブモジュールです。 K [ G ]のすべての非自明なサブモジュールVに対して、 であることを証明します。 Vが与えられ、 がVの任意の非ゼロ元であるとします。 の場合、主張は即時です。 でない場合は とします。 すると、となり、 ${\textstyle x=\sum \lambda _{g}g\in K[G]}$${\textstyle \epsilon (x)=\sum \lambda _{g}}$${\displaystyle I=\ker \epsilon }$${\displaystyle I\cap V\neq 0}$${\textstyle v=\sum \mu _{g}g}$${\displaystyle \epsilon (v)=0}$${\textstyle s=\sum 1g}$${\displaystyle \epsilon (s)=\#G\cdot 1=0}$${\displaystyle s\in I}$$${\displaystyle sv=\left(\sum 1g\right)\!\left(\sum \mu _{g}g\right)=\sum \epsilon (v)g=\epsilon (v)s}$$

したがって、 はIとVの両方の非ゼロ元です。これは、V がすべてのVに対してIの直接補集合ではないことを証明しており、したがってK [ G ] は半単純ではありません。 ${\displaystyle sv}$

この定理は、 Gが無限大の場合や、体K が# G を割り切る特性を持つ場合には適用できません。たとえば、

• 無限群とによって定義される表現について考えます。を の 1 次元部分空間で が張るものとします。このとき、のWへの制限はの自明な部分表現です。しかし、 W と U の両方がおよびの部分表現となるようなU は存在しません。このようなU はいずれも 1 次元である必要がありますが、 によって保存される 1 次元部分空間はいずれもの固有ベクトルによって張られる必要があり、そのための唯一の固有ベクトルは です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \rho :\mathbb {Z} \to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \rho (n)={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle W=\mathbb {C} \cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}=W\oplus U}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$
• 素数 p、群、体、およびによって定義される表現について考えます。簡単な計算により、ここでは の固有ベクトルは 1 つしかないことがわかります。したがって、同じ議論により、 の 1 次元部分表現は一意であり、2 つの 1 次元部分表現の直和に分解することはできません。${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \rho :\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {F} _{p})}$${\displaystyle \rho (n)={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

• ラング、セルジュ(2002-01-08)。代数学。大学院数学テキスト、211 (改訂第3版)。ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 978-0-387-95385-4. MR  1878556. Zbl  0984.00001.
• セール、ジャン＝ピエール（1977-09-01）。有限群の線形表現。数学の大学院テキスト、42。ニューヨーク-ハイデルベルグ：シュプリンガー出版社。ISBN 978-0-387-90190-9. MR  0450380. Zbl  0355.20006.
• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー(1991)。表現論。最初のコース。数学の大学院テキスト、数学の読書。第 129 巻。ニューヨーク: Springer-Verlag。doi : 10.1007 /978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.