ジャイレータ・コンデンサモデル

ジャイレータ・キャパシタモデル^{[ 1 ]}（キャパシタ・パーミアンスモデル^{[ 2 ]}とも呼ばれる）は、磁気回路の集中定数モデルであり、より一般的な抵抗・リラクタンスモデルの代わりに使用できます。このモデルでは、パーミアンス要素を電気抵抗ではなく電気容量に類似したものとしています。巻線はジャイレータとして表現され、電気回路と磁気モデルの間のインターフェースとなります。

ジャイレータ・キャパシターモデルの主な利点は、磁気抵抗モデルと比較して、エネルギーの流れ、蓄積、散逸の正しい値を保持することです。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}ジャイレータ・キャパシターモデルは、さまざまな領域の変数の電力共役ペアを類似させることにより、エネルギー領域全体にわたるエネルギーの流れを保持する類似例のグループの一例です。これは、機械領域のインピーダンス類似と同じ役割を果たします。

命名法

磁気回路とは、物理的な磁気回路またはモデル磁気回路のいずれかを指す場合があります。モデル磁気回路の一部である要素および動的変数の名前は、形容詞magneticで始まりますが、この慣例は厳密には守られていません。モデル磁気回路の要素または動的変数は、物理的な磁気回路のコンポーネントと 1 対 1 で対応しない場合があります。モデル磁気回路の一部である要素および変数の記号は、添え字「M」を付けて記述される場合があります。たとえば、 $C_{\mathrm {M} }$ モデル回路では、磁気コンデンサになります。

関連する電気回路内の電気要素は、解析を容易にするために磁気モデルに取り込むことができます。磁気回路内の電気要素を表すモデル要素は、通常、電気要素の電気的な双対です。これは、このモデルにおいて電気領域と磁気領域間の変換器が通常ジャイレータで表されるためです。ジャイレータは要素をその双対に変換します。例えば、磁気インダクタンスは電気容量を表すことができます。

磁気回路と電気回路の類似点の概要

以下の表は、電気回路理論と磁気回路理論の間の数学的な類似性をまとめたものです。

ジャイレーター

ジャイレータは、ネットワーク解析で使用される2ポート素子です。ジャイレータはトランスフォーマーの対義語であり、トランスフォーマーでは一方のポートの電圧が他方のポートの比例電圧に変換されるのに対し、ジャイレータでは一方のポートの電圧が他方のポートの電流に変換され、その逆もまた同様です。

ジャイレータ・キャパシタモデルにおいて、ジャイレータは電気エネルギー領域と磁気エネルギー領域間の変換器として機能します。電気領域における起電力は磁気領域における起磁力に類似しており、このような変換を行う変換器は変圧器として表されます。しかし、実際の電磁変換器は通常ジャイレータとして動作します。磁気領域から電気領域への変換器はファラデーの誘導法則に従います。つまり、磁束の変化率（この類推では磁気電流）は電気領域に比例した起電力を生み出します。同様に、電気領域から磁気領域への変換器はアンペールの法則に従います。つまり、電流は起磁力を生み出します。

$N$ ターン巻線は、 $N$ オームの回転抵抗を持つジャイレータでモデル化される。^{[ 1 ]}^{： 100}

磁気誘導に基づかないトランスデューサは、ジャイレータで表現されない場合があります。例えば、ホール効果センサは変圧器でモデル化されます。

磁気電圧

磁気電圧、 $v_{\mathrm {M} }$ ⁠ は、起磁力(mmf)の別名です ${\mathcal {F}}$ （SI単位：A、またはアンペアターン）は、電気回路における電圧に類似しています。 ^{[ 4 ]}^{： 42}^{[ 3 ]}^{： 5}すべての著者が磁気電圧という用語を使用しているわけではありません。点と点の間にある要素に加わる起磁力 $A$ そして指し示す $B$ は磁場強度の成分を通る線積分に等しい。 $\mathbf {H}$ ⁠ : $v_{\mathrm {M} }={\mathcal {F}}=-\int _{A}^{B}\mathbf {H} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}.$ 抵抗・磁気抵抗モデルは、磁気電圧と起磁力の間に同じ等価関係を利用している。

磁流

磁気電流、 $i_{\mathrm {M} }$ ⁠ は、流量の時間変化率の別名です。 ${\dot {\Phi }}$ （SI単位：Wb /秒またはボルト）は、電気回路における電流に相当する。^{[ 2 ]}^{： 2429}^{[ 4 ]}^{： 37}物理的な回路では、 ${\dot {\Phi }}$ ⁠は磁気変位電流である。^{[ 4 ]}^{： 37}断面積の要素を流れる磁気電流は、 $S$ は磁束密度の面積積分である。 $\mathbf {B}$ ⁠ : $i_{\mathrm {M} }={\dot {\Phi }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} \mathbf {S} .$ 抵抗・磁気抵抗モデルは異なる等価性を用い、磁束の別名として磁気電流を扱います。 $\Phi$ 磁気電流の定義の違いは、ジャイレータ・キャパシタモデルと抵抗・リラクタンスモデルの根本的な違いである。磁気電流と磁気電圧の定義は、他の磁気要素の定義を必然的に導く。^{[ 4 ]}^{： 35}

磁気容量

磁気容量は透磁率（SI単位：H ）の別名です。モデル磁気回路では容量として表されます。一部の著者は $C_{\mathrm {M} }$ 磁気容量を表すために、他のものは $P$ そして、静電容量を透磁率と呼ぶ。素子の透磁率は、磁束として定義される示量性である。 $\Phi$ 磁力によって分割された要素の断面を通して、 ${\mathcal {F}}$ 要素全体にわたって: ^{[ 3 ]}^{: 6} $C_{\mathrm {M} }=P={\frac {\int \mathbf {B} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} \mathbf {S} }{\int \mathbf {H} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}}={\frac {\Phi }{\mathcal {F}}}.$

断面が均一な棒の場合、磁気容量は次のように表される。 $C_{\mathrm {M} }=P=\mu _{\mathrm {r} }\mu _{0}{\frac {S}{l}}$ どこ：

$\mu =\mu _{\mathrm {r} }\mu _{0}$ は透磁率です。
$S$ は要素の断面積であり、
$l$ は要素の長さです。

フェーザ解析では、透磁率^{[ 5 ]}とパーミアンスは複素数値です。^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

浸透性とは、抵抗感の逆数である。

磁気誘導

磁気回路のジャイレータ・キャパシタモデルの文脈では、磁気インダクタンス $L_{\mathrm {M} }$ （SI単位：F）は、電気回路におけるインダクタンスに相当する概念です。

フェーザ解析における磁気誘導リアクタンスは次のようになります。 $x_{\mathrm {L} }=\omega L_{\mathrm {M} }$ どこ：

$L_{\mathrm {M} }$ 磁気インダクタンス
$\omega$ は磁気回路の角周波数です。

複素数形式では、正の虚数となる。 $jx_{\mathrm {L} }=j\omega L_{\mathrm {M} }$

磁気インダクタンスによって保持される磁気ポテンシャルエネルギーは、電界の振動周波数によって変化します。一定期間における平均電力はゼロです。周波数依存性があるため、磁気インダクタンスは主にVHFおよび/またはUHF周波数で動作する磁気回路で観測されます。

磁気インダクタンスの概念は、電気回路におけるインダクタンスと同様の方法で、ジャイレータ・キャパシタモデルにおける回路挙動の解析および計算に用いられる。

磁気インダクタは電気コンデンサを表すことができる。^{[ 4 ]}^{： 43 巻}線内容量などの電気回路の並列容量は、磁気回路の直列インダクタンスとして表すことができる。

例

三相変圧器

この例では、ジャイレータ・コンデンサ方式でモデル化された三相変圧器を示します。この例の変圧器は、3つの一次巻線と3つの二次巻線を持っています。磁気回路は、7つのリラクタンスまたはパーミアンス要素に分割されます。各巻線はジャイレータでモデル化されます。各ジャイレータの回転抵抗は、関連する巻線の巻数に等しくなります。各パーミアンス要素はコンデンサでモデル化されます。各コンデンサのファラッド単位の値は、関連するパーミアンスのインダクタンス（ヘンリー単位）と同じです。

⁠ $N_{1}$ ⁠、 ⁠ $N_{2}$ ⁠、そして⁠ $N_{3}$ は、 3つの一次巻線の巻数です。 $N_{4}$ ⁠、 ⁠ $N_{5}$ ⁠、そして⁠ $N_{6}$ ⁠ are the number of turns in the three secondary windings. ⁠ $\Phi _{1}$ ⁠, ⁠ $\Phi _{2}$ ⁠, and ⁠ $\Phi _{3}$ ⁠ are the fluxes in the three vertical elements. Magnetic flux in each permeance element in webers is numerically equal to the charge in the associated capacitance in coulombs. The energy in each permeance element is the same as the energy in the associated capacitor.

The schematic shows a three phase generator and a three phase load in addition to the schematic of the transformer model.

Transformer with gap and leakage flux

The gyrator-capacitor approach can accommodate leakage inductance and air gaps in the magnetic circuit. Gaps and leakage flux have a permeance which can be added to the equivalent circuit as capacitors. The permeance of the gap is computed in the same way as the substantive elements, except a relative permeability of unity is used. The permeance of the leakage flux may be difficult to compute due to complex geometry. It may be computed from other considerations such as measurements or specifications.

⁠ $C_{\mathrm {PL} }$ ⁠ and ⁠ $C_{\mathrm {SL} }$ ⁠ represent the primary and secondary leakage inductance respectively. ⁠ $C_{\text{GAP}}$ ⁠ represents the air gap permeance.

Magnetic impedance

Magnetic complex impedance

Magnetic complex impedance, also called full magnetic resistance, is the quotient of a complex sinusoidal magnetic tension (magnetomotive force⁠ ${\mathcal {F}}$ ⁠, on a passive magnetic circuit and the resulting complex sinusoidal magnetic current ⁠ ${\dot {\Phi }}$ ⁠ in the circuit. Magnetic impedance is analogous to electrical impedance.

Magnetic complex impedance (SI unit: S) is determined by: $Z_{\mathrm {M} }={\frac {\mathcal {F}}{\dot {\Phi }}}=z_{\mathrm {M} }e^{j\phi }$ where $z_{\mathrm {M} }$ is the modulus of $Z_{\mathrm {M} }$ and $\phi$ is its phase. The argument of a complex magnetic impedance is equal to the difference of the phases of the magnetic tension and magnetic current. Complex magnetic impedance can be presented in following form: ${\begin{aligned}Z_{\mathrm {M} }&=z_{\mathrm {M} }e^{j\phi }\\&=z_{\mathrm {M} }\cos \phi +jz_{\mathrm {M} }\sin \phi )\\&=r_{\mathrm {M} }+jx_{\mathrm {M} }\end{aligned}}$ where

⁠ $r_{\mathrm {M} }=\operatorname {Re} (Z_{\mathrm {M} })$ ⁠⁠ $=z_{\mathrm {M} }\cos \phi$ ⁠ is the real part of the complex magnetic impedance, called the effective magnetic resistance; and
⁠ $x_{\mathrm {M} }=\operatorname {Im} (Z_{\mathrm {M} })$ ⁠⁠ $=z_{\mathrm {M} }\sin \phi$ ⁠ is the imaginary part of the complex magnetic impedance, called the reactive magnetic resistance.

The magnetic impedance is equal to ${\begin{aligned}z_{\mathrm {M} }&={\sqrt {r_{\mathrm {M} }^{2}+x_{\mathrm {M} }^{2}}}\\\phi &=\arctan {\frac {x_{\mathrm {M} }}{r_{\mathrm {M} }}}\end{aligned}}$

Magnetic effective resistance

磁気実効抵抗は、複素磁気インピーダンスの実数成分です。これにより、磁気回路は磁気ポテンシャルエネルギーを失います。^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}磁気回路の有効電力は、磁気実効抵抗の積に等しくなります。 $r_{\mathrm {M} }$ そして磁束の二乗 $I_{\mathrm {M} }^{2}$ ⁠ : $P=r_{\mathrm {M} }I_{\mathrm {M} }^{2}.$

複素平面上の磁気有効抵抗は、交流磁気回路の抵抗三角形の一辺として現れる。有効磁気抵抗は有効磁気伝導率と結びついている。 $g_{\mathrm {M} }$ 表現によって $g_{\mathrm {M} }={\frac {r_{\mathrm {M} }}{z_{\mathrm {M} }^{2}}}$ どこ $z_{\mathrm {M} }$ これは磁気回路の全磁気インピーダンスです。

磁気リアクタンス

磁気リアクタンスは、受動磁気回路、または回路要素のパラメータであり、磁気電流に対する磁気複素インピーダンスと磁気有効抵抗の二乗の差の平方根に等しくなります。磁気電流が磁気電圧に対して位相が遅れている場合はプラスの符号、磁気電流が磁気電圧に対して位相が進んでいる場合はマイナスの符号をとります。

磁気リアクタンス^{[ 7 ]}^{[ 6 ]}^{[ 8 ]}は、交流回路の磁気複素インピーダンスの成分であり、回路内の磁気電流と磁気張力の間^{の位相差を生じさせます。逆オーム（}Ω⁻¹ ）単位で測定され、で表されます。 $x$ （または） $X$ （）帰納的である可能性がある（） $x_{\mathrm {L} }=\omega L_{\mathrm {M} }$ ⁠ ) または容量性 ( ⁠ $\textstyle x_{\mathrm {C} }={\frac {1}{\omega C_{\mathrm {M} }}}$ ⁠ )、 $\omega$ は磁流の角周波数であり、 $L_{\mathrm {M} }$ は回路の磁気インダクタンスであり、 $C_{\mathrm {M} }$ は回路の磁気容量です。直列に接続されたインダクタンスと容量を持つ未発達回路の磁気リアクタンスは、次の式で表されます。 $\textstyle x=x_{\mathrm {L} }-x_{\mathrm {C} }=\omega L_{\mathrm {M} }-{\frac {1}{\omega C_{\mathrm {M} }}}$ ⁠ . もし⁠ $x_{\mathrm {L} }=x_{\mathrm {C} }$ ⁠、すると正味リアクタンスはゼロになります（ ⁠ $x=0$ ⁠ ) そして回路内で共振が発生する。一般的には⁠ $\textstyle x={\sqrt {z^{2}-r^{2}}}$ エネルギー損失がない場合（ $r=0$ )システムは完全に反応型です。 $x=z$ 磁気回路における位相シフトの角度 $\textstyle \phi =\arctan {\frac {x}{r}}$ 複素平面上では、磁気リアクタンスは交流回路の抵抗三角形の一辺として現れます。

類推の限界

磁気回路と電気回路の類似性には、以下のような限界がある。

一般的な電気回路では、電流は回路内に限定され、「漏れ」はほとんどありません。一方、一般的な磁気回路では、磁気透磁率が材料の外部にも存在するため（真空透磁率を参照）、磁場のすべてが磁気回路内に限定されるわけではありません。そのため、磁気コアの外部空間にはかなりの「漏れ磁束」が存在する可能性があります。漏れ磁束が主回路に比べて小さい場合は、多くの場合、追加の要素として表現できます。極端な場合、集中定数モデルは全く適切ではなく、代わりに場理論が用いられます。
磁気回路は非線形です。磁気回路の透磁率は、電気回路の静電容量とは異なり一定ではなく、磁場によって変化します。高磁束では、磁気回路のコアに使用される強磁性材料が飽和し、それ以上の磁束の増加が制限されるため、このレベルを超えると透磁率は急速に減少します。さらに、強磁性材料中の磁束はヒステリシス現象を起こします。磁束は、瞬間的な起磁力だけでなく、起磁力の履歴にも依存します。磁束源がオフになった後も、強磁性材料には残留磁気が残り、起磁力のない磁束が発生します。

参考文献

↑「磁気」という語が前に付くことが多い
↑ハミルは97ページで括弧内に「（ターンごと）」と付け加えている。^{[ 1 ]}

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[5] 「磁気」という語が前に付くことが多い

[6] ハミルは97ページで括弧内に「（ターンごと）」と付け加えている。^{[ 1 ]}

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命名法