リャプノフ指数

数学において、力学系のリアプノフ指数またはリアプノフ特性指数は、無限に接近した軌道の分離速度を特徴付ける量である。定量的には、初期分離ベクトルを持つ位相空間内の2つの軌道は、（発散が線形近似の範囲内で処理できる場合）次式で与えられる速度で発散する。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\デルタ }}_{0}}$

$${\displaystyle |{\boldsymbol {\delta }}(t)|\approx e^{\lambda t}|{\boldsymbol {\delta }}_{0}|}$$

リャプノフ指数は どこにありますか。${\displaystyle \lambda}$

分離速度は、初期分離ベクトルの方向によって異なる場合があります。したがって、リアプノフ指数のスペクトルがあり、その数は位相空間の次元数に等しくなります。最大のものを最大リアプノフ指数(MLE)と呼ぶのが一般的です。これは、これが動的システムの予測可能性の概念を決定するためです。正の MLE は通常、システムがカオスであることを示すものと見なされます(位相空間のコンパクトさなど、他の条件が満たされている場合)。任意の初期分離ベクトルには通常、MLE に関連付けられた方向のコンポーネントがいくつか含まれ、指数関数的成長率のため、他の指数の影響は時間の経過とともに消えることに注意してください。

この指数はアレクサンドル・リャプノフにちなんで名付けられました。

最大リャプノフ指数は次のように定義できます。 $${\displaystyle \lambda =\lim _{t\to \infty }\lim _{|{\boldsymbol {\delta }}_{0}|\to 0}{\frac {1}{t}}\ln {\frac {|{\boldsymbol {\delta }}(t)|}{|{\boldsymbol {\delta }}_{0}|}}}$$

この限界は、いつでも線形近似の妥当性を保証する。^[1]${\displaystyle |{\boldsymbol {\delta }}_{0}|\to 0}$

離散時間システム（マップまたは固定小数点反復）の場合、これで始まる軌道は次のように変換されます。 ${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle \lambda (x_{0})=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|}$$

n次元位相空間で発展方程式を持つ力学系の場合、 一般に、リャプノフ指数のスペクトルは 開始点 に依存します。ただし、通常は力学系のアトラクター(または複数のアトラクター)に関心があり、各アトラクターには 1 セットの指数が関連付けられるのが普通です。開始点の選択によって、システムが複数のアトラクターに到達するかどうかが決まる場合があります (アトラクターを持たないハミルトン系の場合、これは問題ではありません)。リャプノフ指数は、位相空間の接空間におけるベクトルの挙動を記述し、ヤコビ行列 から定義されます。 このヤコビアンは、行列 によって与えられる接ベクトルの発展を、 初期条件 を持つ方程式 を介して 定義します。行列 は、点 での小さな変化が最終点 にどのように伝播するかを記述します。極限 は 行列 を定義します(極限の存在条件は、オセレデッツの定理によって与えられます)。リャプノフ指数はの固有値によって定義されます。 ${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=f_{i}(x)}$$${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}\}\,,}$$${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle J_{ij}(t)=\left.{\frac {df_{i}(x)}{dx_{j}}}\right|_{x(t)}}$$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle {\dot {Y}}=JY}$$${\displaystyle Y_{ij}(0)=\delta _{ij}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x(0)}$${\displaystyle x(t)}$$${\displaystyle \Lambda =\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {1}{2t}}\log(Y(t)Y^{T}(t))}$$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle \lambda_{i}}$${\displaystyle \Lambda}$

リャプノフ指数のセットは、動的システムの エルゴード成分のほぼすべての開始点で同じになります。

リャプノフ指数を導入するために、基本行列を考えます（たとえば、連続システムの定常解に沿った線形化の場合）。基本行列は、システムの1次近似の線形独立な解で構成されます。行列の特異値は、行列の固有値の平方根です。最大のリャプノフ指数は次のとおりです^。[2] リャプノフは、最初の近似のシステムが正則（たとえば、定数および周期係数を持つすべてのシステムが正則）であり、その最大のリャプノフ指数が負の場合、元のシステムの解は漸近的にリャプノフ安定であることを証明しました。後に、O.ペロンは、最初の近似の正則性の要件が重要であると述べました。 ${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \exp \left(\left.{\frac {df^{t}(x)}{dx}}\right|_{x_{0}}t\right)}$${\displaystyle \{\alpha _{j}{\big (}X(t){\big )}\}_{1}^{n}}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle X(t)^{*}X(t)}$${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }}$ $${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }=\max \limits _{j}\limsup _{t\rightarrow \infty }{\frac {1}{t}}\ln \alpha _{j}{\big (}X(t){\big )}.}$$

1930 年にO. Perron は、最初の近似が元のシステムのゼロ解に沿って負の Lyapunov 指数を持つが、同時に元の非線形システムのこのゼロ解は Lyapunov 不安定である 2 次システムの例を構築しました。さらに、このゼロ解の特定の近傍では、元のシステムのほぼすべての解が正の Lyapunov 指数を持ちます。また、最初の近似が元のシステムのゼロ解に沿って正の Lyapunov 指数を持つが、同時に元の非線形システムのこのゼロ解は Lyapunov 安定である逆の例を構築することもできます。^{[3] [4]} 同じ初期データを持つ元のシステムと最初の近似システムの解の Lyapunov 指数の符号反転の効果は、その後 Perron 効果と呼ばれました。^{[3] [4]}

ペロンの反例は、負の最大リャプノフ指数は一般に安定性を示さず、正の最大リャプノフ指数は一般にカオスを示さないことを示しています。

したがって、時間変動線形化には追加の正当化が必要である。^[4]

システムが保存的である場合（つまり、散逸がない場合）、位相空間の体積要素は軌道に沿って同じままになります。したがって、すべてのリャプノフ指数の合計はゼロでなければなりません。システムが散逸的である場合、リャプノフ指数の合計は負になります。

システムが流れであり、軌道が単一の点に収束しない場合は、1 つの指数 (流れの方向の固有ベクトルを持つ の固有値に対応する Lyapunov 指数) が常に 0 になります。 ${\displaystyle L}$

リャプノフスペクトルは、検討対象の動的システムのエントロピー生成率、フラクタル次元、ハウスドルフ次元の推定値を与えるために使用できます。^[5]特に、リャプノフスペクトルの知識から、いわゆるリャプノフ次元（またはカプラン・ヨーク次元）を取得できます。これは次のように定義されます。 ここで、は最大指数の合計が負にならない最大の整数です。は、システムの情報次元の上限を表します。 ^[6]さらに、すべての正のリャプノフ指数の合計は、ペシンの定理に従ってコルモゴロフ・シナイエントロピーの推定値を与えます。 ^[7]リャプノフ次元を 推定および計算するための広く使用されている数値的方法に加えて、特別なリャプノフのような関数を使用した直接リャプノフ法に基づく効果的な解析的アプローチがあります。^[8] 有界軌道のリアプノフ指数とアトラクターのリアプノフ次元は位相空間の微分同相写像に対して不変である。 ^[9]${\displaystyle D_{KY}}$$${\displaystyle D_{KY}=k+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i}}{|\lambda _{k+1}|}}}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle D_{KY}}$

最大のリャプノフ指数の逆数は、文献ではリャプノフ時間と呼ばれることもあり、特性e折り返し時間を定義します。カオス軌道の場合、リャプノフ時間は有限ですが、通常の軌道の場合は無限になります。

一般的に、上で定義したリャプノフ指数の計算は解析的に行うことはできず、ほとんどの場合、数値的手法に頼らなければなりません。カオス軌道の指数発散の最初の実証でもあった初期の例は、1964年にRHミラーによって実行されました。^[10]現在、最も一般的に使用されている数値手順は、を定義する極限のいくつかの有限時間近似を平均化することに基づいて行列を推定します。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

滑らかな動的システムのリアプノフスペクトルを計算するための最もよく使用され、効果的な数値手法の1つは、最大拡大方向に沿ったすべてのベクトルのずれを避けるために、リアプノフベクトルの周期的なグラム・シュミット正規直交化に依存しています。 ^{[11] [12] [13] [14]}さまざまなモデルのリアプノフスペクトルについて説明します。^[15]ヘノンマップ、ローレンツ方程式、遅延微分方程式などの非線形システムのソースコードを紹介します。^{[16] [17] [18]}

限られた実験データからリャプノフ指数を計算するために、さまざまな方法が提案されている。しかし、これらの方法を適用するには多くの困難があり、そのような問題には注意して取り組む必要がある。主な困難は、データが位相空間を完全に探索しておらず、特定の方向に沿った拡張が非常に限られている（あったとしても）アトラクターに限定されていることだ。データセット内のこれらのより薄い、またはより特異な方向は、より負の指数に関連付けられている。アトラクターからの小さな変位の進化をモデル化するために非線形マッピングを使用すると、データのノイズレベルが非常に低い場合、リャプノフスペクトルを復元する能力が劇的に向上することがわかっている^{[19] [20]}。データの特異性とそれがより負の指数とどのように関連しているかについても調査されている^{[21] 。}

（グローバル）リャプノフ指数はシステムの全体的な予測可能性の尺度を与えるが、位相空間内の点x ₀の周りの局所的な予測可能性を推定することが興味深い場合がある。これはヤコビ行列J ⁰ ( x ₀ )の固有値を通じて行うことができる。これらの固有値は局所リャプノフ指数とも呼ばれる。^[22]局所指数は座標の非線形変化に対して不変ではない。

この用語は通常、カオスの同期に関して使用されます。カオスの同期では、通常、駆動（またはマスター）システムと応答（またはスレーブ）システムが存在するように、一方向に結合された2つのシステムがあります。条件指数は、駆動システムを（カオス）駆動信号の単なるソースとして扱った応答システムのものです。同期は、すべての条件指数が負のときに発生します。^[23]

• カオス理論
• 代替導出のためのカオス混合
• エデンのリアプノフ次元に関する予想
• フロケ理論
• リウヴィルの定理（ハミルトニアン）
• リャプノフ次元
• リャプノフ時間
• 再発定量分析
• オセレデッツ定理
• バタフライ効果

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• [1] R. Hegger、H. Kantz、T. Schreiber、「非線形時系列解析」、TISEAN 3.0.1（2007年3月）。
• [2] ScientioのChaosKit製品は、他のカオス的尺度とともにリャプノフ指数を計算します。アクセスは、WebサービスとSilverlightデモを通じてオンラインで提供されます。
• [3] 2022-06-28にWayback Machineにアーカイブされました。ロナルド・ジョー・レコード博士の数学再現ソフトウェア研究室には、強制ロジスティックマップのリアプノフ指数や単位区間の他のマップをグラフィカルに探索するためのX11グラフィカルクライアントlyapが含まれています。mathrecソフトウェア研究室のコンテンツとマニュアルページも利用できます。
• [4] このページのソフトウェアは、指数の全範囲を効率的かつ正確に計算するために特別に開発されました。これには、運動方程式が既知の場合の LyapOde と、実験的な時系列データを含む場合の Lyap が含まれます。C で記述されたソース コードを含む LyapOde は、結合された同一システムの条件付き Lyapunov 指数を計算することもできます。これは、ユーザーが独自のモデル方程式のセットを用意したり、含まれている方程式の 1 つを使用できるようにするためのものです。変数、パラメーターなどの数に固有の制限はありません。Fortran で記述されたソース コードを含む Lyap は、Lyapunov 方向ベクトルを計算し、時系列データからより負の指数を計算する際の主な困難さの原因であるアトラクターの特異点を特徴付けることもできます。どちらの場合も、広範なドキュメントとサンプル入力ファイルがあります。ソフトウェアは、Windows、Mac、または Linux/Unix システムで実行できるようにコンパイルできます。このソフトウェアはテキスト ウィンドウで実行され、グラフィック機能はありませんが、Excel などのプログラムで簡単にプロットできる出力ファイルを生成できます。

• リャプノフ指数の符号反転のペロン効果