リャプノフベクトル

応用数学および力学系理論において、アレクサンドル・リャプノフにちなんで名付けられたリャプノフベクトルは、力学系の特徴的な膨張および収縮方向を記述します。これらは予測可能性分析や、数値天気予報におけるアンサンブル予測の初期摂動として使用されてきました。^{[ 1 ]}現代の実践では、この目的のためにしばしばブレッドベクトルに置き換えられます。^{[ 2 ]}

リャプノフベクトルは、動的システムの軌道に沿って定義されます。システムがd次元状態ベクトルで記述できる場合、${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$リアプノフベクトル${\displaystyle v^{(k)}(x)}$、${\displaystyle (k=1\dots d)}$微小摂動が漸近的に、リアプノフ指数によって与えられる平均速度で指数関数的に成長する方向を示す。$\displaystyle \lambda _{k}}$。

• 摂動をリアプノフベクトルで展開すると、この方向が他のすべての方向よりも大きくなるため、その展開の中で最大のリアプノフ指数に対応するリアプノフベクトルに漸近的に一致します。したがって、ほとんどすべての摂動は、システム内で最大のリアプノフ指数に対応するリアプノフベクトルに漸近的に一致します。^{[ 3 ]}
• 場合によっては、リアプノフベクトルが存在しないことがあります。^{[ 4 ]}
• リアプノフベクトルは必ずしも直交するとは限らない。
• リャプノフベクトルは、局所的な主膨張方向と収縮方向、すなわちヤコビ行列の固有ベクトルとは同一ではありません。後者はシステムの局所的な知識のみを必要とするのに対し、リャプノフベクトルは軌道に沿ったすべてのヤコビ行列の影響を受けます。
• 周期軌道のリアプノフベクトルは、その軌道のフロケベクトルである。

動的システムが微分可能で、リアプノフベクトルが存在する場合、線形化されたシステムを軌道に沿って順方向および逆方向に反復することでそれらを求めることができる。^{[ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle x_{n+1}=M_{t_{n}\to t_{n+1}}(x_{n})}$システムを状態ベクトルでマッピングする${\displaystyle x_{n}}$その時$t_n$州へ${\displaystyle x_{n+1}}$その時$t_n+1$この写像の線形化、すなわちヤコビ行列${\displaystyle ~J_{n}}$微小摂動の変化を記述する${\displaystyle h_{n}}$それは

${\displaystyle M_{t_{n}\to t_{n+1}}(x_{n}+h_{n})\approx M_{t_{n}\to t_{n+1}}(x_{n})+J_{n}h_{n}=x_{n+1}+h_{n+1}}$

恒等行列から始める${\displaystyle Q_{0}=\mathbb {I} ~}$反復

${\displaystyle Q_{n+1}R_{n+1}=J_{n}Q_{n}}$

どこ${\displaystyle Q_{n+1}R_{n+1}}$は、グラム・シュミットQR分解によって与えられる。${\displaystyle J_{n}Q_{n}}$は、点のみに依存する行列に漸近的に収束します。${\displaystyle x_{n}}$軌道の、ただし最初の選択ではない${\displaystyle Q_{0}}$直交行列の行${\displaystyle Q_{n}}$各点に局所直交参照フレームを定義し、最初の${\displaystyle k}$行は、対応するリアプノフベクトルと同じ空間に広がります。${\displaystyle k}$最大のリアプノフ指数。上三角行列${\displaystyle R_{n}}$ある局所直交座標系から次の座標系への微小摂動の変化を記述する。対角成分$\displaystyle r_{kk}^{(n)}}$の${\displaystyle R_{n}}$これらは、リアプノフベクトルの方向における局所的な成長因子である。リアプノフ指数は、平均成長率によって与えられる。

${\displaystyle \lambda _{k}=\lim _{m\to \infty }{\frac {1}{t_{n+m}-t_{n}}}\sum _{l=1}^{m}\log r_{kk}^{(n+l)}}$

そして、伸縮、回転、グラム・シュミット直交化により、リアプノフ指数は次のように順序付けられる。${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \dots \geq \lambda _{d}}$時間を順方向に反復すると、最初の要素によって張られる空間に含まれるランダムベクトル${\displaystyle k}$列${\displaystyle Q_{n}}$は、ほぼ確実に漸近的に最大のリアプノフ指数とともに増加し、対応するリアプノフベクトルと一致します。特に、最初の列は${\displaystyle Q_{n}}$最大のリアプノフ指数を持つリアプノフベクトルの方向を指す場合${\displaystyle n}$は十分に大きい。時間を逆方向に反復すると、最初のによって張られる空間に含まれるランダムベクトル${\displaystyle k}$列${\displaystyle Q_{n+m}}$ほぼ確実に、漸近的に、対応するリアプノフベクトルと一致するだろう。${\displaystyle k}$最大のリアプノフ指数、もし${\displaystyle n}$そして${\displaystyle m}$十分に大きい。${\displaystyle c_{n}=Q_{n}^{T}h_{n}}$私たちは発見します${\displaystyle c_{n-1}=R_{n}^{-1}c_{n}}$最初に選ぶ${\displaystyle k}$エントリー${\displaystyle c_{n+m}}$ランダムに、他のエントリはゼロにして、このベクトルを時間的に遡って反復すると、ベクトル${\displaystyle Q_{n}c_{n}}$ほぼ確実にリアプノフベクトルと一致する${\displaystyle v^{(k)}(x_{n})}$に対応する${\displaystyle k}$最大のリアプノフ指数は、${\displaystyle m}$そして${\displaystyle n}$が十分に大きい場合、反復処理によってベクトルは指数関数的に拡大または縮小するため、方向を変えることなく任意の反復時点で正規化できます。