オセレデッツ定理

数学において、乗法エルゴード定理、またはオセレデッツ定理は、非線形動的システムのリアプノフ指数を計算するための理論的背景を提供します。これは、 1965年にヴァレリー・オセレデッツ（「オセレデック」とも綴られる）によって証明され、1966年にモスクワで開催された国際数学会議で報告されました。乗法エルゴード定理の概念的に異なる証明は、MSラグナサンによって発見されました。^{[引用が必要] [1]この定理は、VAカイマノビッチによって}半単純リー群に拡張され、デビッド・ルーエル、グリゴリー・マルグリス、アンダース・カールソン、フランソワ・レドラピエの著作でさらに一般化されました。^{[引用が必要]}

乗法エルゴード定理は、動的システムの行列コサイクルの観点から述べられます。定理は、定義限界の存在条件を述べ、リアプノフ指数を説明します。収束速度については触れていません。

自律力学系Xのコサイクルは、 C  : X×T → R ^n×nの写像であり 、

${\displaystyle C(x,0)=I_{n}{\rm {~for~all~}}x\in X}$

${\displaystyle C(x,t+s)=C(x(t),s)\,C(x,t){\rm {~for~all~}}x\in X{\rm {~and~}}t,s\in T}$

ここで、XとT（T = Z⁺またはT = R⁺）は、それぞれ動的システムの位相空間と時間範囲であり、I _{n は}n次元単位行列です。行列Cの次元nは位相空間Xとは関係ありません。

• コサイクルの代表的な例は、リアプノフ指数の理論における行列J ^tです。この特殊なケースでは、行列の次元n は多様体Xの次元と同じです。
• 任意のコサイクルCに対して、行列式det  C ( x ,  t ) は 1 次元コサイクルです。

μ をX上のエルゴード不変測度とし、C を力学系のコサイクルとし、各t  ∈  Tに対して、写像および写像がμに関して L ¹積分可能であるとする。すると、μに対してほぼすべてのxおよび各非ゼロベクトルu  ∈  R ^{n の}極限は ${\displaystyle x\rightarrow \log \|C(x,t)\|}$${\displaystyle x\rightarrow \log \|C(x,t)^{-1}\|}$

${\displaystyle \lambda =\lim _{t\to \infty }{1 \over t}\log {\|C(x,t)u\| \over \|u\|}}$

存在し、uに依存しますがxには依存せず、最大n 個の異なる値を想定します。これらがリャプノフ指数です。

さらに、λ ₁ > ... > λ _{m が} 異なる極限である場合、xに依存する部分空間R ⁿ = R ₁ ⊃ ... ⊃ R _m ⊃ R _{m +1} = {0} が存在し、u  ∈  R _i  \  R _{i +1}および i  = 1, ...,  mに対して極限はλ _iになります。

リャプノフ指数の値は、広範囲の座標変換に対して不変です。g  : X → Xが 1 対 1 の写像であり、その逆写像が存在すると仮定すると、リャプノフ指数の値は変化しません。 ${\displaystyle \partial g/\partial x}$

言葉で言えば、エルゴード性とは時間と空間の平均が等しいことを意味します。正式には、

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{1 \over t}\int _{0}^{t}f(x(s))\,ds={1 \over \mu (X)}\int _{X}f(x)\,\mu (dx)}$

ここで積分と極限が存在します。空間平均（右側、μはX上のエルゴード測度）は、μ（ dx ）で重み付けされたf（x ）値の累積です。加算は可換であるため、 f（x）μ（dx ）値の累積は任意の順序で行うことができます。対照的に、時間平均（左側）は、軌道に沿った f（x（s ））値の特定の順序を示唆しています。

行列の乗算は一般に可換ではないため、 C ( x ( t ₀ ), t _k ) = C ( x ( t _{k −1} ), t _k  −  t _{k −1} ) ... C ( x ( t ₀ ), t ₁  −  t ₀ ) に従った乗算されたコサイクル値 (およびその極限) の累積は、 t _kが大きく、ステップt _i  −  t _{i −1 が}小さい場合、規定された順序に対してのみ意味をなします。したがって、時間平均は存在する可能性があります (定理では実際に存在すると述べられています) が、空間平均に対応するものはありません。言い換えると、オセレデッツの定理は、時間平均の存在を保証するものの、空間平均については何も主張しないという点で、加法エルゴード定理 ( GD バーコフやJ. フォン ノイマンなど) とは異なります。

• オーセレデツ、VI (1968)。 "Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем" [乗算エルゴード定理: 力学系の特性リアプノフ指数]。Trudy MMO (ロシア語)。19 : 179–210。
• Ruelle, D. (1979). 「微分可能動的システムのエルゴード理論」(PDF) . IHES Publ. Math . 50 (1): 27–58. doi :10.1007/BF02684768. S2CID  56389695.

• VI Oseledets、Scholarpediaの Oseledets の定理