完全な状態フィードバック

フルステートフィードバック（FSF）または極配置は、フィードバック制御システム理論でプラントの閉ループ極をs平面の所定の位置に配置する方法である。^[1] 極の位置はシステムの応答特性を制御するシステムの固有値に直接対応するため、極を配置することが望ましい。この方法を実行するには、システムが制御可能であると見なす必要がある。

閉ループダイナミクスが状態空間方程式で表現できる場合（状態空間（制御）を参照）

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=\mathbf {A} {\underline {x}}+\mathbf {B} {\underline {u}},}$

出力方程式付き

${\displaystyle {\underline {y}}=\mathbf {C} {\underline {x}}+\mathbf {D} {\underline {u}},}$

すると、システム伝達関数の極は、次式で与えられる特性方程式の根となる。

${\displaystyle \left|s{\textbf {I}}-{\textbf {A}}\right|=0.}$

完全な状態フィードバックは、入力ベクトルに命令することによって利用されます。状態ベクトルに比例する（行列の意味で）入力を考えてみましょう。 ${\displaystyle {\下線 {u}}}$

${\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}$。

上記の状態空間方程式に代入すると、

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} ){\underline {x}}}$

${\displaystyle {\underline {y}}=(\mathbf {C} -\mathbf {D} \mathbf {K} ){\underline {x}}.}$

FSFシステムの極は行列の特性方程式によって与えられます。この方程式の項を所望の特性方程式の項と比較すると、閉ループ固有値を所望の特性方程式で指定された極の位置に強制するフィードバック行列の値が得られます。^[2]${\displaystyle \mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} }$${\displaystyle \det \left[s{\textbf {I}}-\left({\textbf {A}}-{\textbf {B}}{\textbf {K}}\right)\right]=0}$${\displaystyle {\textbf {K}}}$

次の状態空間方程式で与えられるシステムを考えます。

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}={\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}}{\underline {x}}+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\underline {u}}.}$

制御されていないシステムには、およびに開ループ極があります。これらの極は行列の固有値であり、 の根です。応答を考慮して、制御されたシステムの固有値が、現在ある極ではない、およびに配置されることを希望するとします。すると、望ましい特性方程式は、 から になります。 ${\displaystyle s=-1}$${\displaystyle s=-2}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \left|s\mathbf {I} -\mathbf {A} \right|}$${\displaystyle s=-1}$${\displaystyle s=-5}$${\displaystyle s^{2}+6s+5=0}$${\displaystyle (s+1)(s+5)}$

上記の手順に従うと、FSF制御システムの特性方程式は次のようになる。

${\displaystyle \left|s\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} \right)\right|=\det {\begin{bmatrix}s&-1\\2+k_{1}&s+3+k_{2}\end{bmatrix}}=s^{2}+(3+k_{2})s+(2+k_{1}),}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}\end{bmatrix}}.}$

この特性方程式を所望の特性方程式と等しくすると、

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}3&3\end{bmatrix}}}$。

したがって、設定により閉ループ極が目的の位置に強制され、応答が目的どおりに実行されます。 ${\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}$

これは単一入力システムでのみ機能します。複数入力システムでは、行列は一意ではありません。したがって、最適な値を選択することは簡単ではありません。このようなアプリケーションでは、線形二次レギュレータが使用される場合があります^{[引用が必要]}。 ${\displaystyle {\textbf {K}}}$${\displaystyle {\textbf {K}}}$

• 極分割
• ステップ応答
• アッカーマンの公式
• 線形二次レギュレータ

• 状態フィードバックゲインを計算するMathematica関数