一般化多変量対数ガンマ分布

確率論と統計学において、一般化多変量対数ガンマ分布（G-MVLG）は、 2011年にDemirhanとHamurkaroglu ^{[1]によって導入された}多変量分布です。G-MVLGは柔軟な分布です。歪度と尖度は、分布のパラメータによって適切に制御されます。これにより、分布の分散を制御することができます。この特性のため、特に尤度が正規分布などの位置スケール分布族からのものではない場合に、この分布はベイズ分析における結合事前分布として効果的に使用されます。

の場合、 の結合確率密度関数(pdf) は次のように与えられます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}\sim \mathrm {G} {\text{-}}\mathrm {MVLG} (\delta ,\nu ,{\boldsymbol {\lambda }},{\boldsymbol {\ム }})}$${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}=(Y_{1},\dots ,Y_{k})}$

${\displaystyle f(y_{1},\dots ,y_{k})=\delta ^{\nu }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-\delta )^ {n}\prod _{i=1}^{k}\mu _{i}\lambda _{i}^{-\nu -n}}{[\Gamma (\nu +n)]^{k-1}\Gamma (\nu )n!}}\exp {\bigg \{}(\nu +n)\sum _{i=1}^{k}\mu _{ i}y_{i}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}}}\exp\{\mu _{i}y_{i}\} {\ビッグ\}},}$

どこのためにそして ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{k},\nu >0,\lambda _{j}>0,\mu _{j}>0}$${\displaystyle j=1,\dots ,k,\delta =\det({\boldsymbol {\Omega }})^{\frac {1}{k-1}},}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\left({\begin{array}{cccc}1&{\sqrt {\mathrm {abs} (\rho _{12})}}&\cdots &{\ sqrt {\mathrm {abs} (\rho _{1k})}}\\{\sqrt {\mathrm {abs} (\rho _{12})}}&1&\cdots &{\sqrt {\mathrm {abs} (\rho _{2k})}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\sqrt {\ mathrm {abs} (\rho _{1k})}}&{\sqrt {\mathrm {abs} (\rho _{2k})}}&\cdots &1\end{array}}\right)、}$

${\displaystyle \rho_{ij}}$はと間の相関であり、はそれぞれ内部表現の行列式と絶対値を表し、分布のパラメータを含みます。 ${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle Y_{j}}$${\displaystyle \det(\cdot )}$${\displaystyle \mathrm {abs} (\cdot )}$${\displaystyle {\boldsymbol {g}}=(\delta ,\nu ,{\boldsymbol {\lambda }}^{T},{\boldsymbol {\mu }}^{T})}$

G-MVLG分布のジョイントモーメント生成関数は次のとおりです。

${\displaystyle M_{\boldsymbol {Y}}({\boldsymbol {t}})=\delta ^{\nu }{\bigg (}\prod _{i=1}^{k}\lambda _{i}^{t_{i}/\mu _{i}}{\bigg )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (\nu +n)}{\Gamma (\nu )n!}}(1-\delta )^{n}\prod _{i=1}^{k}{\frac {\Gamma (\nu +n+t_{i}/\mu _{i})}{\Gamma (\nu +n)}}.}$

${\displaystyle r^{\text{th}}}$の限界中心モーメントは次のようになります。 ${\displaystyle Y_{i}}$

${\displaystyle {\mu _{i}}'_{r}=\left[{\frac {(\lambda _{i}/\delta )^{t_{i}/\mu _{i}}}{\Gamma (\nu )}}\sum _{k=0}^{r}{\binom {r}{k}}\left[{\frac {\ln(\lambda _{i}/\delta )}{\mu _{i}}}\right]^{rk}{\frac {\partial ^{k}\Gamma (\nu +t_{i}/\mu _{i})}{\partial t_{i}^{k}}}\right]_{t_{i}=0}.}$

限界期待値は次のとおりです。 ${\displaystyle Y_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (Y_{i})={\frac {1}{\mu _{i}}}{\big [}\ln(\lambda _{i}/\delta )+\digamma (\nu ){\big ]},}$

${\displaystyle \operatorname {var} (Z_{i})=\digamma ^{[1]}(\nu )/(\mu _{i})^{2}}$

ここで、およびはそれぞれにおけるディガンマ関数とトリガンマ関数の値です。 ${\displaystyle \digamma (\nu )}$${\displaystyle \digamma ^{[1]}(\nu )}$${\displaystyle \nu}$

Demirhan と Hamurkaroglu は、G-MVLG 分布とGumbel 分布(タイプ I 極値分布) の関係を確立し、Gumbel 分布の多変量形式、つまり一般化多変量 Gumbel (G-MVGB) 分布を示します。の結合確率密度関数は次のとおりです。 ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}\sim \mathrm {G} {\text{-}}\mathrm {MVGB} (\delta ,\nu ,{\boldsymbol {\lambda }},{\boldsymbol {\mu }})}$

${\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{k};\delta ,\nu ,{\boldsymbol {\lambda }},{\boldsymbol {\mu }}))=\delta ^{\nu }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-\delta )^{n}\prod _{i=1}^{k}\mu _{i}\lambda _{i}^{-\nu -n}}{[\Gamma (\nu +n)]^{k-1}\Gamma (\nu )n!}}\exp {\bigg \{}-(\nu +n)\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}t_{i}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}}}\exp\{-\mu _{i}t_{i}\}{\bigg \}},\quad t_{i}\in \mathbb {R} .}$

ガンベル分布は、リスク分析の分野で幅広い用途があります。したがって、G-MVGB分布は、これらのタイプの問題に適用すると有益であるはずです。