対数t分布

Log-t または Log-Student t

パラメータ	${\displaystyle {\hat {\mu}}}$(実数)、位置パラメータ(実数)、スケールパラメータ(実数)、自由度(形状)パラメータ ${\displaystyle \displaystyle {\hat {\sigma }}>0\!}$ ${\displaystyle \nu}$
サポート	${\displaystyle \displaystyle x\in (0,+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle p(x\mid \nu ,{\hat {\mu }},{\hat {\sigma }})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{x\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu }}{\hat {\sigma }}\,}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {\ln x-{\hat {\mu }}}{\hat {\sigma }}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$
平均	無限
中央値	${\displaystyle e^{\hat {\mu }}\,}$
分散	無限
歪度	存在しない
過剰尖度	存在しない
MGF の	存在しない

確率論において、対数t分布または対数スチューデントt分布は、対数がスチューデントのt分布に従って分布するランダム変数の確率分布です。Xがスチューデントのt分布に従うランダム変数である場合、Y = exp( X )はlog-t分布に従います。同様に、Yがlog-t分布に従う場合、X  = log( Y )はスチューデントのt分布に従います。^[1]

log-t分布の確率密度関数は次のようになります。

${\displaystyle p(x\mid \nu ,{\hat {\mu }},{\hat {\sigma }})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{x\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu }}{\hat {\sigma }}\,}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {\ln x-{\hat {\mu }}}{\hat {\sigma }}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$、

ここで、は基礎となる（標準化されていない）スチューデントt分布の位置パラメータ、は基礎となる（標準化されていない）スチューデントt分布の尺度パラメータ、は基礎となるスチューデントt分布の自由度の数です。^[1] であり、の場合には、基礎となる分布は標準化されたスチューデントt分布です。 ${\displaystyle {\hat {\mu}}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle {\hat {\mu }}=0}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}=1}$

の場合、分布は対数コーシー分布です。^{[1] が}無限大に近づくにつれて 、分布は対数正規分布に近づきます。^{[1] [2]} 対数正規分布には有限のモーメントがありますが、有限の自由度に対して、 log-t分布の平均と分散、およびすべての高次モーメントは無限大であるか、存在しません。^[1]${\displaystyle \nu =1}$${\displaystyle \nu}$

log-t分布は、第二種一般化ベータ分布の特殊なケースである。^{[1] [3] [4]} log-t分布は、対数正規分布と逆ガンマ分布の複合確率分布 の例であり、対数正規分布の分散パラメータは逆ガンマ分布に従って分布するランダム変数である。^{[3] [5]}

対数t分布は金融にも応用されている。^[3] たとえば、株式市場の収益の分布は正規分布よりも裾野が広いことが多いため、正規分布よりもスチューデントのt分布によく当てはまる傾向がある。対数正規分布に基づくブラック・ショールズ・モデルは株式オプションの価格設定によく使用されるが、収益に裾野が広い場合は、対数t分布に基づくオプション価格設定式の方が好ましい代替手段となり得る。^[6] 対数t分布の平均が無限大であるという事実は、オプションの評価に使用した場合に問題となるが、確率密度関数を任意の大きな値で切り捨てるなど、その制限を克服する手法がある。^{[6] [7] [8]}

log-t分布は水文学や癌寛解に関するデータの解析にも応用されている。^{[1] [9]}

対数正規分布と同様に、 log-t分布の多変量形式も存在する。この場合、位置パラメータはベクトルμに置き換えられ、スケールパラメータは行列Σに置き換えられる。^[1]