一般化ベータ分布

h次モーメントは次のように表せることが示される。

${\displaystyle \operatorname {E} _{GB}(Y^{h})={\frac {b^{h}B(p+h/a,q)}{B(p,q)}}{}_{2}F_{1}{\begin{bmatrix}p+h/a,h/a;c\\p+q+h/a;\end{bmatrix}},}$

どこ$\displaystyle {}_{2}F_{1}}$は超幾何級数を表します（c < 1の場合はすべてのhに対して、c = 1の場合はすべてのh / a < qに対して収束します）。

第1種一般化ベータは、以下の確率密度関数によって定義される。

${\displaystyle GB1(y;a,b,p,q)={\frac {|a|y^{ap-1}(1-(y/b)^{a})^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)}}}$

のために$\displaystyle 0<y^{a}<b^{a}}$どこ${\displaystyle b}$、${\displaystyle p}$、 そして${\displaystyle q}$正の値です。簡単に確認できます。

${\displaystyle GB1(y;a,b,p,q)=GB(y;a,b,c=0,p,q).}$

GB1のモーメントは次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {E} _{GB1}(Y^{h})={\frac {b^{h}B(p+h/a,q)}{B(p,q)}}.}$

GB1には、第1種ベータ分布（B1）、一般化ガンマ分布（GG）、およびパレート分布（PA）が特殊なケースとして含まれる。

${\displaystyle B1(y;b,p,q)=GB1(y;a=1,b,p,q),}$

${\displaystyle GG(y;a,\beta ,p)=\lim _{q\to \infty }GB1(y;a,b=q^{1/a}\beta ,p,q),}$

${\displaystyle PA(y;b,p)=GB1(y;a=-1,b,p,q=1).}$

GB2は、以下のPDFファイルで定義されています。

${\displaystyle GB2(y;a,b,p,q)={\frac {|a|y^{ap-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+(y/b)^{a})^{p+q}}}}$

のために${\displaystyle 0<y<\infty }$それ以外の場合はゼロ。

${\displaystyle GB2(y;a,b,p,q)=GB(y;a,b,c=1,p,q).}$

GB2のモーメントは次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {E} _{GB2}(Y^{h})={\frac {b^{h}B(p+h/a,qh/a)}{B(p,q)}}.}$

GB2 は、一般化ベータプライム(Patil、Boswell、Ratnaparkhi (1984)) ^{[ 2 ]} 、変換ベータ (Venter、1983) ^{[ 3 ]} 、一般化 F (Kalfleisch および Prentice、1980) ^{[ 4 ]}としても知られており、 Feller-Pareto (Arnold、1983) ^{[ 5 ]}分布の特殊なケース (μ≡0) です。GB2 は、一般化ガンマ(GG)、Burr タイプ 3、Burr タイプ 12、Dagum、対数正規、Weibull、ガンマ、Lomax、F 統計量、Fisk またはRayleigh、カイ二乗、半正規、半スチューデントの t、指数、非対称対数ラプラス、対数ラプラス、べき関数、対数ロジスティックなどの一般的な分布を包含しています。^{[ 6 ]}

ベータ分布族（B）は次のように定義されます。^{[ 1 ]}

${\displaystyle B(y;b,c,p,q)={\frac {y^{p-1}(1-(1-c)(y/b))^{q-1}}{b^{p}B(p,q)(1+c(y/b))^{p+q}}}}$

のために${\displaystyle 0<y<b/(1-c)}$それ以外の場合はゼロとなる。GBとの関係は以下のとおりである。

${\displaystyle B(y;b,c,p,q)=GB(y;a=1,b,c,p,q).}$

ベータ族には、第1種および第2種のベータ^{[ 7 ]} （B1およびB2、B2はベータプライムとも呼ばれる）が含まれ、それぞれc = 0およびc = 1に対応する。${\displaystyle c=0}$、${\displaystyle b=1}$標準的な2パラメータベータ分布が得られる。

一般化ガンマ分布（GG）はGB2の極限ケースです。そのPDFは次のように定義されます。^{[ 8 ]}

${\displaystyle GG(y;a,\beta ,p)=\lim _{q\rightarrow \infty }GB2(y,a,b=q^{1/a}\beta ,p,q)={\frac {|a|y^{ap-1}e^{-(y/\beta )^{a}}}{\beta ^{ap}\Gamma (p)}}}$

と共に${\displaystyle h}$与えられた瞬間

${\displaystyle \operatorname {E} (Y_{GG}^{h})={\frac {\beta ^{h}\Gamma (p+h/a)}{\Gamma (p)}}.}$

前述のように、GB分布の系統樹は、特殊なケースと限定的なケースを視覚的に示しています（McDonaldとXu（1995）を参照）。

パレート分布（PA）は、一般化ガンマ分布の以下の極限ケースである。

${\displaystyle PA(y;\beta ,\theta )=\lim _{a\rightarrow -\infty }GG(y;a,\beta ,p=-\theta /a)=\lim _{a\rightarrow -\infty }\left({\frac {\theta y^{-\theta -1}e^{-(y/\beta )^{a}}}{\beta ^{-\theta }(-\theta /a)\Gamma (-\theta /a)}}\right)=}$

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow -\infty }\left({\frac {\theta y^{-\theta -1}e^{-(y/\beta )^{a}}}{\beta ^{-\theta }\Gamma (1-\theta /a)}}\right)={\frac {\theta y^{-\theta -1}}{\beta ^{-\theta }}}}$のために${\displaystyle \beta <y}$そして${\displaystyle 0}$さもないと。

べき関数分布（P）は、一般化ガンマ分布の以下の極限ケースである。

${\displaystyle P(y;\beta ,\theta )=\lim _{a\rightarrow \infty }GG(y;a=\theta /p,\beta ,p)=\lim _{a\rightarrow \infty }{\frac {\mid {\frac {\theta }{p}}|y^{\theta -1}e^{-(y/\beta )^{a}}}{\beta ^{\theta }\Gamma (p)}}=\lim _{a\rightarrow \infty }{\frac {\theta y^{\theta -1}}{p\Gamma (p)\beta ^{\theta }}}e^{-(y/\beta )^{a}}=}$

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }{\frac {\theta y^{\theta -1}}{\Gamma (p+1)\beta ^{\theta }}}e^{-(y/\beta )^{a}}=\lim _{a\rightarrow \infty }{\frac {\theta y^{\theta -1}}{\Gamma ({\frac {\theta }{a}}+1)\beta ^{\theta }}}e^{-(y/\beta )^{a}}={\frac {\theta y^{\theta -1}}{\beta ^{\theta }}}}$のために${\displaystyle 0<y<\beta }$そして${\displaystyle \theta >0}$。

非対称対数ラプラス分布（二重パレート分布とも呼ばれる^{[ 9 ]}）は次のように定義される：^{[ 10 ]}

${\displaystyle ALL(y;b,\lambda _{1},\lambda _{2})=\lim _{a\rightarrow \infty }GB2(y;a,b,p=\lambda _{1}/a,q=\lambda _{2}/a)={\frac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{y(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}{\begin{cases}({\frac {y}{b}})^{\lambda _{1}}&{\mbox{for }}0<y<b\\({\frac {b}{y}})^{\lambda _{2}}&{\mbox{for }}y\geq b\end{cases}}}$

どこで${\displaystyle h}$thモーメントは次のように与えられます

${\displaystyle \operatorname {E} (Y_{ALL}^{h})={\frac {b^{h}\lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+h)(\lambda _{2}-h)}}.}$

いつ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}}$これは対数ラプラス分布に相当します。

上記と同様の表記法を用いると、EGBのモーメント生成関数は次のように表すことができる。

${\displaystyle M_{EGB}(Z)={\frac {e^{\delta t}B(p+t\sigma ,q)}{B(p,q)}}{}_{2}F_{1}{\begin{bmatrix}p+t\sigma ,t\sigma ;c\\p+q+t\sigma$ ;\end{bmatrix}}.}

それぞれ${\displaystyle c_{i}}$が 0 に等しい場合、MGB 関数は多変量一般化ベータ第 1 種 (MGB1) に単純化され、これは次のように定義されます。

${\displaystyle MGB1(y;a,b,p,q)={\frac {(\prod _{i=1}^{n}|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1})(1-\sum _{i=1}^{n}({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{q-1}}{(\prod _{i=1}^{n}b_{i}^{a_{i}p_{i}})B(p_{1},...,p_{n},q)}}}$

どこ${\displaystyle 0}$${\displaystyle <}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}}}$${\displaystyle <}$${\displaystyle 1}$。

それぞれの${\displaystyle c_{i}}$が 1 に等しい場合、MGB は多変量一般化ベータ第 2 種 (MGB2) に単純化され、その確率密度関数は以下のように定義されます。

${\displaystyle MGB2(y;a,b,p,q)={\frac {(\prod _{i=1}^{n}|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1})}{(\prod _{i=1}^{n}b_{i}^{a_{i}p_{i}})B(p_{1},...,p_{n},q)(1+\sum _{i=1}^{n}({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{{\bar {p}}+q}}}}$

いつ${\displaystyle 0}$${\displaystyle <}$${\displaystyle y_{i}}$すべての人々のために${\displaystyle y_{i}}$。

多変量一般化ガンマ（MGG）の確率密度関数は、MGBの確率密度関数から代入することで導出できます。${\displaystyle b_{i}}$=${\displaystyle \beta _{i}q^{\frac {1}{a_{i}}}}$そして極限を取ると${\displaystyle q}$${\displaystyle \to }$${\displaystyle \infty }$ガンマ関数に対するスターリングの近似を用いると、次の関数が得られる。

${\displaystyle MGG(y;a,\beta ,p)=({\frac {(\prod _{i=1}^{n}|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1})}{(\prod _{i=1}^{n}\beta _{i}^{a_{i}p_{i}})\Gamma (p_{i})}})e^{-\sum _{i=1}^{n}({\frac {y_{i}}{\beta _{i}}})^{a_{i}}}=\prod _{i=1}^{n}GG(y_{i};a_{i},\beta _{i},p_{i})}$

これは、独立ではあるが必ずしも同一分布ではない一般化ガンマ確率変数の積である。

上記の系統樹の他の変数についても同様のpdfを構築できます。各pdf名の前にMを付け、単変量分布の制約と限界によって示されるMGBの適切な極限と特殊ケースを見つけるだけで済みます。文献にある追加の多変量pdfには、ディリクレ分布（標準形）が含まれます。${\displaystyle MGB1(y;a=1,b=1,p,q)}$多変量逆ベータ分布および逆ディリクレ分布（ディリクレ型2）は、次式で与えられる。${\displaystyle MGB2(y;a=1,b=1,p,q)}$多変量バー分布は次のように表される。${\displaystyle MGB2(y;a,b,p,q=1)}$。

MGB1とMGB2の周辺密度関数は、それぞれ第1種および第2種の一般化ベータ分布であり、以下のように表される。

${\displaystyle GB1(y_{i};a_{i},b_{i},p_{i},{\bar {p}}-p_{i}+q)={\frac {|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1}(1-({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{{\bar {p}}-p_{i}+q-1}}{b_{i}^{a_{i}p_{i}}B(p_{i},{\bar {p}}-p_{i}+q)}}}$

${\displaystyle GB2(y_{i};a_{i},b_{i},p_{i},q)={\frac {|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1}}{b_{i}^{a_{i}p_{i}}B(p_{i},q)(1+({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{p_{i}+q}}}}$

GB2とそのいくつかの特殊ケースや極限ケースは、所得分布のモデルとして広く用いられてきた。初期の例としては、Thurow (1970) ^{[ 13 ]}、Dagum (1977) ^{[ 14 ]} 、 Singh and Maddala (1976) ^{[ 15 ]} 、 McDonald (1984) ^{[ 6 ]}などが挙げられる。 これらの分布を用いると、個人データ、グループデータ、またはトップコードデータを用いた最尤推定を容易に行うことができる。

ジニ係数（G）、ピエトラ係数（P）、タイル係数（T）などの不平等の尺度は、マクドナルドとランサム（2008）が示したように、分布パラメータの観点から表現することができる。^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}G=\left({\frac {1}{2\mu }}\right)\operatorname {E} (|Y-X|)=\left(P{\frac {1}{2\mu }}\right)\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }|x-y|f(x)f(y)\,dxdy\\=1-{\frac {\int _{0}^{\infty }(1-F(y))^{2}\,dy}{\int _{0}^{\infty }(1-F(y))\,dy}}\\P=\left({\frac {1}{2\mu }}\right)\operatorname {E} (|Y-\mu |)=\left({\frac {1}{2\mu }}\right)\int _{0}^{\infty }|y-\mu |f(y)\,dy\\T=\operatorname {E} (\ln(Y/\mu )^{Y/\mu })=\int _{0}^{\infty }(y/\mu )\ln(y/\mu )f(y)\,dy\end{aligned}}}$

ハザード関数h(s) は、f(s) が確率密度関数、F(s) が対応する累積分布関数である場合、次のように定義されます。

${\displaystyle h(s)={\frac {f(s)}{1-F(s)}}}$

ハザード関数は、失業期間、製品の故障時間、平均寿命のモデリングなど、多くの用途で役立ちます。具体的な例を挙げると、s が寿命を表す場合、h(s) は、個人が年齢 s まで生存したという条件の下での、年齢 s での死亡率です。人間の死亡率データに対するハザード関数の形状は、次のようになるかもしれません。生後数か月間は死亡率が低下し、その後、死亡率が比較的一定になる期間があり、最後に高齢になるにつれて死亡確率が上昇します。

一般化ベータ分布の特殊なケースでは、ハザード関数の形状をモデル化する際に、より柔軟性が高まります。ハザード関数の形状は、「∪」または「∩」の形状、あるいは厳密に増加する（I で表される）または減少する（D で表される）線を必要とする場合があります。一般化ガンマは、a>1 かつ p<1/a の場合は「∪」型、a<1 かつ p>1/a の場合は「∩」型、a>1 かつ p>1/a の場合は I 型、a<1 かつ p>1/a の場合は D 型です。^{[ 17 ]}これは、下の図にまとめられています。^{[ 18 ] [ 19 ]}