標準単項式理論

代数幾何学において、標準単項式理論は、標準単項式と呼ばれる要素の明示的な基底を与えることによって、簡約代数群の一般化旗多様体 またはシューベルト多様体上の直線束の切断を記述する。結果の多くは、カッツ・ムーディ代数とその群 に拡張されている。

Lakshmibai & Raghavan (2008) および Seshadri (2007) による標準単項理論に関するモノグラフと、V. Lakshmibai、C. Musili、および CS Seshadri (1979) および V. Lakshmibai および CS Seshadri (1991) による調査論文があります。

重要な未解決問題の一つは、理論を完全に幾何学的に構築することである。^[1]

アルフレッド・ヤング(1928) は、標準ヤング表 に関連した単項式を導入した。 ホッジ (1943) ((Hodge & Pedoe 1994、p.378) も参照) は、標準表にちなんで標準冪積と名付けたヤングの単項式を使用して、複素グラスマン多様体の同次座標環の基底を与えた。 セシャドリ(1978) は、標準単項式理論 と呼ばれるプログラムを開始し、ホッジの研究を多様体G / Pに拡張した。ここでPは、任意の特性における任意の簡約代数群の任意の放物型部分群であり、これらの多様体上の直線束の切断に対する標準単項式を使用して明示的な基底を与えた。ホッジが研究したグラスマン多様体の場合には、Gが特性 0 の特殊線型群であり、P が最大放物型部分群である場合に対応する。 彼らは、まずGの極小表現に対して、次に古典型の群Gに対して標準的な単項式理論を考案し、より一般的なケースについてそれを記述するいくつかの予想を定式化しました。Littelmann (1998)は、 Littelmann パス モデルを 使用して彼らの予想を証明し、特にすべての簡約群に対する標準的な単項式の統一的な記述を与えました。

Lakshmibai (2003)、Musili (2003)、Seshadri (2012) は、標準単項式理論の初期の発展について詳細に説明しています。

• 一般化された旗多様体上の直線束の切断は、対応する代数群の既約表現を形成する傾向があるため、標準単項式の明示的な基底を持つことで、これらの表現の指標式を与えることができます。同様に、デマズール加群の指標式が得られます。標準単項式理論によって与えられる明示的な基底は、表現の結晶基底やリッテルマンパスモデルと密接に関連しています。
• 標準的な単項式理論により、シューベルト多様体の特異点を記述することができ、特にシューベルト多様体が正規多様体またはコーエン・マコーレー多様体であることが証明されることがあります。
• 標準的な単項式理論はデマズールの予想を証明するために使用できます。
• 標準的な単項式理論は、シューベルト多様体上の有効直線束の高次コホモロジーに対するケンプの消失定理やその他の消失定理を証明します。
• 標準単項式理論は、不変量理論におけるいくつかの不変量環の明示的な基底を与えます。
• 標準的な単項式理論は、表現のテンソル積の分解に関するリトルウッド-リチャードソン規則をすべての簡約代数群に一般化します。
• 標準的な単項式理論は、正特性の簡約代数群のいくつかの表現における良好なフィルタリングの存在を証明するために使用できます。

• ホッジ、WVD (1943)、「形式理論におけるいくつかの列挙的結果」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、39 (1): 22–30、Bibcode :1943PCPS...39...22H、doi :10.1017/S0305004100017631、MR  0007739
• ホッジ、WVD ;ペドー、ダニエル(1994) [1952]、代数幾何学の方法: 第 2 巻 第 3 巻: 射影空間における代数多様体の一般理論。第 4 巻: 二次曲面とグラスマン多様体。、ケンブリッジ数学図書館、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-46901-2、MR  0048065
• Lakshmibai, V.; Musili, C.; Seshadri, CS (1979)、「G/P の幾何学」、アメリカ数学会報、新シリーズ、1 (2): 432–435、doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14631-7、ISSN  0002-9904、MR  0520081
• Lakshmibai, Venkatramani; Raghavan, Komaranapuram N. (2008)、「標準単項式理論」、Encyclopaedia of Mathematical Sciences、vol. 137、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-3-540-76757-2、ISBN 978-3-540-76756-5、MR  2388163
• Lakshmibai, V.; Seshadri, CS (1991)、「標準単項式理論」、Ramanan, S.; Musili, C.; Kumar, N. Mohan (編)、代数群に関するハイデラバード会議の議事録 (ハイデラバード、1989)、マドラス: Manoj Prakashan、pp. 279–322、MR  1131317
• Lakshmibai, V. (2003)、「標準単項式理論の開発 II」、CS Seshadri へのトリビュート (チェンナイ、2002)、Trends Math.、バーゼル、ボストン、ベルリン: Birkhäuser、pp. 283–309、ISBN 978-3-7643-0444-7、MR  2017589
• Littelmann, Peter (1998)、「パス モデル、量子フロベニウス マップ、標準単項式理論」(PDF)、Carter, Roger W. ; Saxl, Jan (編)、『代数群とその表現』(ケンブリッジ、1997 年)、NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences、vol. 517、ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers Group、pp. 175–212、ISBN 9780792352921、MR  1670770
• リッテルマン、ピーター (1998)、「対称化可能なカッツ・ムーディ代数の縮約モジュールと標準単項式理論」、アメリカ数学会誌、11 (3): 551–567、doi : 10.1090/S0894-0347-98-00268-9、ISSN  0894-0347、MR  1603862
• Musili, C. (2003)、「標準単項式理論の開発。I」、CS Seshadri へのトリビュート (チェンナイ、2002)、Trends Math.、バーゼル、ボストン、ベルリン: Birkhäuser、pp. 385–420、ISBN 978-3-7643-0444-7、MR  2017594
• Seshadri, CS (1978)、「G/PI の幾何学、微小表現の標準単項式理論」、Ramanathan, KG (編)、CP Ramanujam---a tribute、Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics、第 8 巻、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. 207–239、ISBN 978-3-540-08770-0、MR  0541023
• Seshadri, CS (2007)、標準単項式理論入門、Texts and Readings in Mathematics、第46巻、ニューデリー：Hindustan Book Agency、ISBN 9788185931784、MR  2347272
• Seshadri, CS (2012)、「標準単項式理論 - 歴史的説明」、CS Seshadri 論文集。第 2 巻。シューベルト幾何学と表現理論。、ニューデリー: Hindustan Book Agency、pp. 3–50、ISBN 9789380250175、MR  2905898
• ヤング、アルフレッド(1928)、「定量的置換分析について」、ロンドン数学会誌、28 (1): 255–292、doi :10.1112/plms/s2-28.1.255