ブラットナーの予想

数学において、ブラットナー予想またはブラットナーの公式は、一般半単純群Gの離散級数表現を、最大コンパクト部分群Kへの制限された表現(いわゆるK型)によって記述したものである。ロバート・ジェームズ・ブラットナーによって予想として定式化されたわけではないが、彼 にちなんで名付けられた。

ブラットナーの公式によれば、無限小特性λを持つ離散級数表現が最大コンパクト部分群Kに制限されている場合、 Kの最高重みμを持つ 表現は重複度で発生する。

${\displaystyle \sum _{w\in W_{K}}\epsilon (\omega )Q(w(\mu +\rho _{c})-\lambda -\rho _{n})}$

どこ

Qはベクトルが非コンパクトな正の根の和として表される方法の数である。

W _KはKのワイル群である

ρ _{c は}コンパクト根の和の半分である

ρ _{n は}非コンパクト根の合計の半分である

_{ε は W K}の符号特性です。

ブラットナーの公式は、離散級数表現のハリシュ・チャンドラ特性式を最大コンパクト群の最大トーラスに形式的に制限することで得られる。ブラットナーの公式を証明する際の問題は、これが最大トーラスの正則要素上の特性しか与えず、特異要素上の特性の挙動も制御する必要があることである。非離散既約表現の場合、ハリシュ・チャンドラ特性式の形式的制限は、最大コンパクト部分群の下での分解を与える必要はない。例えば、SL ₂の主級数表現の場合、特性は最大コンパクト部分群の非特異要素上では恒常的にゼロであるが、この部分群上の表現はゼロではない。この場合、特性は特異要素上にサポートを持つ最大コンパクト部分群上の分布である。

ハリシュ＝チャンドラは、この予想はロバート・ジェームズ・ブラットナーが提起した疑問であり、ブラットナーが作った予想ではないと口頭で説明した。ブラットナーはいかなる形でもこの予想を公表しなかった。この予想が初めて印刷されたのはシュミット（1968、定理2）で、この論文の結果はブラットナーの疑問を知らずに得られ、ブラットナーがそのような予想をしていなかったにもかかわらず、この予想は「ブラットナーの予想」として初めて言及された。オカモトとオゼキ（1967）は、少し前にこの予想の特別なケースについて言及している。

Schmid (1975a) は、Blattner の公式がK表現の重複度の上限を与えることを示し、Schmid (1975b) は対称空間がエルミートである群に対する Blattner の予想を証明し、Hecht & Schmid (1975) は線型半単純群に対する Blattner の予想を証明した。 Blattner の予想 (公式) は、Hecht と Schmid (1975) のものとはまったく新しい、完全に異なる無限小法によって Enright (1979) によっても証明された。 Enright の論文 (1979) の推進力の一部は、Enright & Varadarajan (1975)、Wallach (1976)、Enright & Wallach (1978) など、いくつかの情報源から生まれた。Enright (1979) では、いわゆる模擬離散級数表現に対する重複度公式も与えられている。エンライト (1978) は彼のアイデアを使用して、任意の実半単純リー代数の既 約ハリシュ・チャンドラ加群の構築と分類に関する結果を得ました。

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