区分的線形多様体

すべての滑らかな多様体は標準的な PL 構造を持ちます。これは、ホワイトヘッドの三角形分割 に関する定理( Whitehead 1940 ) ^{[ 1 ] [ 2 ]}により一意に三角形分割可能です。しかし、PL 多様体は滑らかな構造を持たない場合があります。つまり、滑らかにできない場合があります。滑らかな多様体と PL 多様体はどちらも区分的に滑らかな多様体の集合に含まれますが、区分的に滑らかな関数は合成に関して閉じていないため、これらはカテゴリを形成しません。

PL が DIFF よりも優れている点の 1 つは、PL では円錐を取ることができるが DIFF ではできないことである。つまり、PL では円錐の頂点が許容される。その結果、一般化ポアンカレ予想は4 次元より大きい次元で PL において真となる。証明は、ホモトピー球を取り、2 つの球を取り除き、h-コボルディズム定理を適用してこれが円柱であることを結論付け、円錐を取り付けて球を復元することである。この最後のステップは PL では機能するが DIFF では機能しないため、特異な球が生じる。

すべての位相多様体がPL構造を持つわけではなく、持つ場合でも、PL構造は一意である必要はなく、無限に多くの構造を持つ可能性がある。これについては、Hauptvermutungで詳しく説明されている。

位相多様体M上に PL 構造を配置する際の障害は、カービー・ジーベンマン類です。正確には、M x R上に PL 構造を配置する際の障害であり、次元n > 4 の場合、KS 類は、M が少なくとも 1 つの PL 構造を持つ場合に限り消滅します。

PL 多様体上の A 構造は、PL 多様体を滑らかな多様体に帰納的に分解する方法を与える構造です。コンパクト PL 多様体は A 構造を許容します。^{[ 3 ] [ 4 ]}コンパクト PL 多様体は実代数集合と同相です。^{[ 5 ] [ 6 ]} 言い換えれば、A 圏は、持ち上げを妨げることなく、より豊かな圏として PL 圏の上に存在します。つまり、BA → BPL は BA = BPL × PL/A となる積ファイブレーションであり、A 多様体は実代数集合であるため、PL 多様体は実代数集合です。

• 組み合わせ多様体とは、多様体を離散化した多様体の一種である。通常、単体複体によって構成される区分的線形多様体を指す。
• デジタル多様体は、デジタル空間で定義される特殊な組み合わせ多様体です。デジタルトポロジーを参照してください。