ボンフェローニ補正

統計学において、ボンフェローニ補正は多重比較問題に対処する方法である。

この方法はボンフェローニ不等式を使用していることから名付けられました。^[1] この方法の信頼区間への応用はオリーブ・ジーン・ダンによって説明されました。^[2]

統計的仮説検定は、帰無仮説が正しいとすると観測データの尤度が低い場合に帰無仮説を棄却することに基づいています。複数の仮説を検定すると、まれな事象を観測する確率が高まり、したがって帰無仮説を誤って棄却する（すなわち、タイプIの誤りを犯す）可能性が高まります。^[3]

Bonferroni補正は、各仮説を有意水準 で検定することでその増加を補正します。ここで、 は望ましい全体のアルファ水準、 は仮説の数です。^[4]たとえば、試行で望ましい全体の で仮説を検定する場合、Bonferroni補正は各仮説を で検定します。 ${\displaystyle \alpha /m}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle m}$${\displaystyle m=20}$${\displaystyle \alpha =0.05}$${\displaystyle \alpha =0.05/20=0.0025}$

Bonferroni 補正は、p 値調整としても適用できます。このアプローチを使用すると、アルファ レベルを調整する代わりに、各 p 値にテストの数を掛け合わせ (調整された p 値が 1 を超える場合は 1 に減らされます)、アルファ レベルは変更されません。このアプローチを使用した有意性の決定は、アルファ レベル調整アプローチを使用した場合と同じになります。

を帰無仮説の族とし、 をそれらの対応するp値とします。を帰無仮説の総数とし、 を真の帰無仮説の数（研究者にはおそらく未知である）とします。族全体の誤り率（FWER）は、少なくとも1つの真の を棄却する確率、つまり少なくとも1つのタイプIの誤りを犯す確率です。Bonferroni補正は、各 について帰無仮説を棄却し、それによってFWERを で制御します。この制御の証明は、次のように ブールの不等式から得られます。${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{m}}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle p_{i}\leq {\frac {\alpha }{m}}}$${\displaystyle \leq \alpha }$

${\displaystyle {\text{FWER}}=P\left\{\bigcup _{i=1}^{m_{0}}\left(p_{i}\leq {\frac {\alpha }{m}}\right)\right\}\leq \sum _{i=1}^{m_{0}}\left\{P\left(p_{i}\leq {\frac {\alpha }{m}}\right)\right\}\leq m_{0}{\frac {\alpha }{m}}\leq \alpha .}$

この制御では、p値間の依存性や帰無仮説のいくつが真であるかといった仮定を必要としません。^[5]

各仮説を レベルで検定するのではなく、各検定のレベルがデータを見る前に決定されている限り、 の合計が になる任意のレベルの組み合わせで仮説を検定することができます。 ^[6]たとえば、2つの仮説検定の場合、1つの検定を0.04で、もう1つを0.01で実施することで、全体を0.05に維持できます。 ${\displaystyle \alpha /m}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

^ダン[2]が提案した手順は、信頼区間を調整するために使用できます。信頼区間を確立し、全体の信頼水準を にしたい場合は、個々の信頼区間を の水準に調整できます。^[2]${\displaystyle m}$${\displaystyle 1-\alpha }$${\displaystyle 1-{\frac {\alpha }{m}}}$

連続パラメータ空間で信号を探す場合、多重比較、つまり他所探し効果の問題も生じる可能性がある。例えば、物理学者は質量の広い範囲を検討することで質量が未知の粒子を発見しようとしているかもしれない。これはノーベル賞を受賞したヒッグス粒子の検出のときがそうだった。このような場合、ベイズ論理を用いて実効試行回数 を事前体積比と事後体積比に関連付けることで、ボンフェローニ補正の連続一般化を適用することができる。^[7]${\displaystyle m}$

ファミリー全体のエラー率を制御する別の方法があります。たとえば、Holm-Bonferroni法とŠidák補正は、Bonferroni補正よりも普遍的に強力な手順であり、常に少なくとも同等の強力さを意味します。しかし、Bonferroni手順とは異なり、これらの方法はファミリーあたりのタイプIエラーの期待数（ファミリーあたりのタイプIエラー率）を制御しません。 ^[8]

FWER制御に関しては、テストの数が多い場合やテスト統計量が正の相関関係にある場合、ボンフェローニ補正は保守的になる可能性がある。^[9]

ボンフェローニ法を含む多重検定補正は、帰無仮説が偽の場合にタイプIIの誤りの確率を増加させ、すなわち統計的検出力を低下させる。^{[10] [9]}

• Bonferroni、Sidak オンライン計算機