バッハテンソル

微分幾何学と一般相対論において、バッハテンソルは、n = 4次元で共形不変な階数2のトレースフリーテンソルである。^{[1] 1968年以前は、}ワイルテンソルから代数的に独立した共形不変テンソルとして唯一知られていた。^[2]抽象的インデックスでは、バッハテンソルは次のように与えられる。

${\displaystyle B_{ab}=P_{cd}{{{W_{a}}^{c}}_{b}}^{d}+\nabla ^{c}\nabla _{c}P_{ab }-\nabla ^{c}\nabla _{a}P_{bc}}$

ここで、ワイルテンソルは、リッチテンソルとスカラー曲率によって次の ように表されるスハウテンテンソルである。${\displaystyle W}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R_{ab}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle P_{ab}={\frac {1}{n-2}}\left(R_{ab}-{\frac {R}{2(n-1)}}g_{ab}\right).}$

• コットンテンソル
• 障害テンソル

• Arthur L. Besse, Einstein Manifolds . Springer-Verlag, 2007. 第 4 章、§H「二次関数」を参照。
• Demetrios Christodoulou、「一般相対性理論の数学的な問題 I」、欧州数学会、2008 年。第 4 章 §2「ミンコフスキー時空のグローバル安定性の証明の概要」。
• Yvonne Choquet-Bruhat、「一般相対性理論とアインシュタイン方程式」。オックスフォード大学出版局、2011 年。バッハ テンソルは「共形平坦計量に対しては消えるコトン テンソルの双対」であると述べている、Ch.XV §5「クリストドゥルー-クライナーマン定理」を参照してください。
• Thomas W. Baumgarte、Stuart L. Shapiro、「数値的相対性：コンピュータ上でアインシュタインの方程式を解く」。ケンブリッジ大学出版局、2010年。第3章を参照。