ラグランジュの定理（群論）

群論の数学分野において、ラグランジュの定理は、 H が任意の有限群Gの部分群である場合、${\displaystyle |H|}$はの約数です${\displaystyle |G|}$つまり、各部分群の位数（要素数）は、全体群の位数を割り切る。

この定理はジョゼフ＝ルイ・ラグランジュにちなんで名付けられました。次の変形は、部分群に対して次のことを述べています。${\displaystyle H}$有限群の${\displaystyle G}$だけでなく${\displaystyle |G|/|H|}$整数ですが、その値はインデックスです${\displaystyle [G:H]}$、左剰余類の数として定義される${\displaystyle H}$で${\displaystyle G}$。

この変種は、${\displaystyle G}$無限である、ただし${\displaystyle |G|}$、${\displaystyle |H|}$、 そして${\displaystyle [G:H]}$基数として解釈されます。

GにおけるHの左剰余類は、 G上の特定の同値関係の同値類です。具体的には、x = yhとなるようなh がHに存在する場合、Gにおけるxとy は同値であると言います。したがって、左剰余類の集合はGの分割を形成します。各左剰余類aH は、 Hと同じ濃度を持ちます。${\displaystyle x\mapsto ax}$全単射を定義する${\displaystyle H\to aH}$（逆は${\displaystyle y\mapsto a^{-1}y}$) 左剰余類の数はインデックス[ G  : H ]です。前の３つの文から、

${\displaystyle \left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|.}$

ラグランジュの定理は、 Gの 3 つの部分群間の指数の等式に拡張できます。^{[ 1 ]}

K = { e } ( eはGの単位元)とすると、 [ G  : { e }] = | G |および[ H  : { e }] = | H |となります。したがって、元の式| G | = [ G  : H ] | H |を復元できます。

この定理の帰結として、有限群の任意の要素aの位数 (すなわち、群の単位元 e に対して a k = e となる最小の正の整数 k) は、その群の位数を割り切る。なぜなら、a の位数は、a によって生成される巡回部分群の位数に等しいからである。群^がn個の要素を持つ場合、次のようになる。

${\displaystyle \displaystyle a^{n}=e{\mbox{.}}}$

これは、フェルマーの小定理とその一般化であるオイラーの定理を証明するために利用できる。これらの特殊なケースは、一般定理が証明されるずっと前から知られていた。

この定理はまた、素数の位数の群は巡回群かつ単純群であることを示している。なぜなら、単位元以外の任意の元によって生成される部分群は、必ずその群全体となるからである。

ラグランジュの定理は、素数が無限に存在することを示すためにも使用できます。最大の素数が存在すると仮定しましょう。${\displaystyle p}$任意の素因数${\displaystyle q}$メルセンヌ数$2p-1$満たす${\displaystyle 2^{p}\equiv 1{\pmod {q}}}$（モジュラー算術を参照）つまり、${\displaystyle 2}$乗法群において${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{*}}$は${\displaystyle p}$ラグランジュの定理によれば、${\displaystyle 2}$順序を分割する必要があります${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{*}}$それは${\displaystyle q-1}$。 それで${\displaystyle p}$分ける${\displaystyle q-1}$与える${\displaystyle p<q}$という仮定に反して${\displaystyle p}$は最大の素数である。^{[ 2 ]}

ラグランジュの定理は、群の位数のすべての約数が何らかの部分群の位数であるかどうかという逆の疑問を提起する。一般にこれは成り立たない。有限群Gと| G |の約数dが与えられた場合、位数dのGの部分群_が必ずしも存在するとは限らない。最小の例はA4（次数4の交代群）であり、 12個の要素を持つが位数6の部分群は存在しない。

「ラグランジュの定理の逆」（CLT）群とは、群の位数のすべての約数に対して、その位数の部分群が存在するという性質を持つ有限群のことである。CLT群は必ず可解群であり、すべての超可解群はCLT群であることが知られている。しかし、可解群でありながらCLT群ではないもの（例えば、 A ₄）や、CLT群でありながら超可解群ではないもの（例えば、次数4の対称群であるS ₄ ）も存在する。

ラグランジュの定理には部分的な逆定理が存在する。一般群の場合、コーシーの定理は、群の位数を割り切る任意の素数の位数を持つ元、ひいてはその巡回部分群の存在を保証する。シローの定理はこれを拡張し、群の位数を割り切る任意の素数の最大べき乗に等しい位数を持つ部分群の存在を保証する。可解群の場合、 ホールの定理は、群の位数の任意のユニタリ因子（すなわち、その余因子と互いに素な因子）​​に等しい位数を持つ部分群の存在を保証する。

ラグランジュ自身は定理を一般形で証明していません。彼は論文「方程式の代数的解法に関する考察」 [ ^{3 ]の}中で、 n個の変数を持つ多項式の変数をn! 通りの方法で置換すると、得られる異なる多項式の数は必ずn !の約数になると述べています。（例えば、多項式x + y − zにおいて変数x、y、z を6 通りの方法で置換すると、 x + y − z、x + z − y、y + z − xの 3 つの異なる多項式が得られます。3 は 6 の約数であることに注意してください。）このような多項式の数は、多項式を保存する置換の部分群Hの対称群S _nの指数です。 (例としてx + y − zの場合、 S ₃の部分群Hには恒等写像と転置( xy )が含まれます。) したがって、 Hのサイズはn !を割り切ります。抽象群の後の発展に伴い、ラグランジュの多項式に関するこの結果は、現在彼の名を冠する有限群に関する一般的な定理に拡張されることが認識されました。

1801年の著書『算術研究』の中で、カール・フリードリヒ・ガウスは、ラグランジュの定理を次の特殊な場合について証明した。${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}}$、 pを法とする 非零整数の乗法群。ここでpは素数である。^{[ 4 ]} 1844 年、オーギュスタン＝ルイ・コーシーは対称群S _nに対してラグランジュの定理を証明した。^{[ 5 ]}

カミーユ・ジョルダンは1861年に、任意の置換群の場合についてラグランジュの定理を最終的に証明した。^{[ 6 ]}

• Bray, Henry G. (1968)、「CLT群に関する注記」、Pacific J. Math.、27 (2): 229–231、doi : 10.2140/pjm.1968.27.229
• ジョセフ・ガリアン (2006)、現代抽象代数(第 6 版)、ボストン: ホートン・ミフリン、ISBN 978-0-618-51471-7
• ダミット、デイビッド・S.、フット、リチャード・M. (2004)、抽象代数学（第3 版）、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 978-0-471-43334-7MR 2286236​ 
• Roth, Richard R. (2001)、「群に関するラグランジュの定理の歴史」、Mathematics Magazine、74 (2): 99–108、doi : 10.2307/2690624、JSTOR 2690624