密なサブモジュール

抽象代数、特に加群理論では、加群の稠密部分加群は、本質部分加群の概念の改良である。N がMの稠密部分加群である場合、代わりに「 N  ⊆  M は有理拡張である」と言うこともできる。稠密部分加群は、非可換環論における商の環と関連している。ここで出てくる結果のほとんどは、(Johnson 1951)、(Utumi 1956)、(Findlay & Lambek 1958)で初めて確立された。

この用語は、一般位相における稠密な部分集合の概念とは異なることに注意する必要があります。稠密なサブモジュールを定義するために位相は必要ありません。また、稠密なサブモジュールは、位相を持つモジュール内で位相的に稠密である場合もそうでない場合もあります。

この論文は、(Storrer 1972) および (Lam 1999, p. 272) に出てくる説明を修正するものである。R を環とし、M を部分加群Nを持つ右R加群とする。Mの元yについて、定義する。

${\displaystyle y^{-1}N=\{r\in R\mid yr\in N\}\,}$

表現y ^{−1は、モジュールの元}y が可逆であると言うことに意味がないので形式的なものであることに注意してください。ただし、この表記はy ⋅( y ⁻¹ N ) ⊆  Nであることを示唆するのに役立ちます。集合y  ⁻¹ N は常にRの右イデアルです。

Mの部分加群Nが稠密部分加群であるとは、 Mのxとyのうちx ≠ 0 に対して、 Rにr が存在し、xr  ≠ {0} かつyrがNに含まれる場合を言う。言い換えると、導入された表記法を用いると、集合

${\displaystyle x(y^{-1}N)\neq \{0\}\,}$

この場合、関係は次のように表される。

${\displaystyle N\subseteq _{d}M\,}$

もう一つの同等の定義は本質的にホモロジー的である。NがMに稠密であることは、

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M/N,E(M))=\{0\}\,}$

ここでE ( M )はMの入射包である。

• N がMの本質的部分加群であるためには、M内のすべてのy  ≠ 0に対して、集合y ⋅( y ⁻¹ N ) ≠ {0} が成立する必要があることが示されます。したがって、すべての稠密部分加群は、本質的部分加群であることがわかります。 
• Mが非特異加群である場合、N がMにおいて稠密であるためには、それがMにおいて本質的である必要があります。
• 環が右非特異環となるのは、その本質的右イデアルがすべて稠密右イデアルである場合に限ります。
• NとN' がMの稠密な部分加群である場合、N  ∩  N'も稠密な部分加群です。
• Nが稠密でN  ⊆  K  ⊆  Mの場合、Kも稠密です。
• B がRの稠密右イデアルである場合、 Rの任意のyに対してy ⁻¹ B も稠密右イデアルです。

• x がRの中心の非零因子である場合、xR はRの稠密右イデアルです。
• I がRの両側イデアルである場合、I が右イデアルとして稠密であるための必要十分条件は、Iの左 消滅子がゼロ、つまり である場合です。特に可換環では、稠密イデアルは忠実な加群であるイデアルとまったく同じです。${\displaystyle \ell \cdot \mathrm {アン} (I)=\{0\}\,}$

すべての右R加群Mには、その入射包である最大本質拡大E ( M ) があります。最大稠密拡大を使用した類似の構成は、E ( M )のサブ加群である有理包Ẽ ( M ) をもたらします。加群に適切な有理拡大がなく、 Ẽ ( M ) =  Mであるとき、加群は有理完全であるといわれます。R が右非特異である場合、もちろんẼ ( M ) =  E ( M ) です。

有理包は、単射包内で容易に識別される。S =End _R ( E ( M )) を単射包の自己準同型環とする。すると、単射包の元x が有理包内にあることと、S内のM上でゼロとなるすべての写像によってxがゼロに送られることは同じである。記号で表すと、

${\displaystyle {\tilde {E}}(M)=\{x\in E(M)\mid \forall f\in S,f(M)=0\implies f(x)=0\}\,}$

一般に、M上ではゼロであるが、 Mにない何らかのxに対してはゼロでない写像がSに存在する可能性があり、そのようなxは有理包には存在しません。

商の最大右環は、Rの稠密右イデアルに関連して 2 つの方法で記述できます。

• 一つの方法では、Ẽ ( R ) はある自己準同型環に加群同型であることが示され、この同型を横切る環構造が取られて、 Ẽ ( R ) に商の最大右環の環構造が付与される。(Lam 1999、p. 366)
• 2 番目の方法では、商の最大右環は、Rの稠密右イデアルからRへの準同型写像の同値類の集合と同一視されます。同値関係は、2 つの関数がRの稠密右イデアルに一致する場合、それらの関数は同値であることを意味します。(Lam 1999、p. 370)

• Findlay, GD; Lambek, J. (1958)、「一般化された商環。I、II」、Canadian Mathematical Bulletin、1 (2): 77–85, 155–167、doi : 10.4153/CMB-1958-009-3、ISSN  0008-4395、MR  0094370
• ジョンソン、RE (1951)、「モジュール上のリングの拡張中心化」、アメリカ数学会紀要、2 (6): 891–895、doi : 10.1090/s0002-9939-1951-0045695-9、ISSN  0002-9939、MR  0045695
• ラム・ツィット・ユエン（1999）「モジュールと環に関する講義」、大学院数学テキスト第189号、第189巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/978-1-4612-0525-8、ISBN 978-0-387-98428-5、MR  1653294
• ストーラー、ハンス H. (1972)、「ゴールドマンの一次分解について」、環とモジュールに関する講義 (チューレーン大学、環と作用素の理論)、数学の講義ノート、I (1970–1971)、ベルリン: シュプリンガー: 617–661、doi :10.1007/bfb0059571、ISBN 978-3-540-05760-4、MR  0360717
• 内海雄三 (1956)、「商環について」、大阪数学雑誌、8  : 1–18、doi : 10.18910/8001、MR0078966