カール・ワイエルシュトラス

カール・テオドール・ヴィルヘルム・ヴァイエルシュトラス^{（/ˈvaɪərˌstrɑːs, -ˌʃtrɑːs/; [1] ドイツ語: Weierstraß [ˈvaɪɐʃtʁaːs]; [2]}1815年10月31日- 1897年2月19日）^{は、ドイツ}の数学者で、「近代解析^の^父」としてしばしば挙げられる。 [ 3 ]大学を学位なし^で^中退^したにもかかわらず、数学を学び、教師の資格を取得し、最終的には数学、物理学、植物学、体操を教えた。^[⁴^]後に名誉博士号を授与され、ベルリンで数学の教授となった。

ワイエルシュトラスは、その他多くの貢献の中でも、関数の連続性の定義と複素解析を形式化し、中間値の定理とボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理を証明し、後者を用いて閉区間上の連続関数の性質を研究した。

バイオグラフィー

ヴァイエルシュトラスは、ヴェストファーレン州のエンニガーロー近郊のオステンフェルデという村で、ローマ・カトリック教徒の家庭に生まれた。^[⁵^]

カール・ヴァイエルシュトラスは、ヴィルヘルム・ヴァイエルシュトラスとテオドラ・フォンダーフォルストの息子で、父は政府高官、母子ともにカトリック教徒のラインラント出身者であった。数学への興味は、パーダーボルンのテオドリアヌム・ギムナジウム在学中に芽生えた。卒業後、政府の役職に就くための準備としてボン大学に送られたが、そこで学ぶべき分野は法律、経済学、金融学であった。これは、数学を学びたいという彼の希望と真っ向から対立するものであった。彼は、計画された学習課程をほとんど無視し、独学で数学の研究を続けることでこの葛藤を解決したが、結局、学位を取得せずに大学を去ることになった。

ワイエルシュトラスはミュンスター・アカデミー（当時すでに数学で有名な機関だった）で数学の勉強を続け、父親の尽力でミュンスターの教員養成学校に入学することができた。そこで努力を重ねた結果、最終的に同市で教員免許を取得することができた。この学生時代、ワイエルシュトラスはクリストフ・グーダーマンの講義に出席し、楕円関数に興味を持つようになった。

1843年に西プロイセンのドイチュ・クローネで教鞭を執り、1848年からはブラウンスベルクのホシアヌム高等学校で教鞭を執った。^[⁶^]数学の他に、物理学、植物学、体操も教えていた。^[⁵^]ある時期に、ヴァイエルシュトラスは友人のカール・ヴィルヘルム・ボルヒャルトの未亡人との間に非嫡出子をもうけた可能性がある。^[⁷^]

1850年以降、ヴァイエルシュトラスは長期にわたる病に苦しんだが、それでもなお、名声と栄誉をもたらすに十分な質と独創性を備えた数学論文を発表することができた。ケーニヒスベルク大学は1854年3月31日に彼に名誉博士号を授与した。1856年、彼はベルリンのゲヴェルバイインシュティト（技術者養成機関で、後にバウアカデミーと合併してシャルロッテンブルク工科大学、現在のベルリン工科大学となる）の教授に就任した。1864年、彼はフリードリヒ・ヴィルヘルム大学ベルリン（後にフンボルト大学ベルリンとなる）の教授となった。

1870年、55歳になったワイエルシュトラスは、大学入学を果たせなかったソフィア・コワレフスカヤと出会い、彼女を個人的に指導した。二人の間には、知的にも人間的にも実り豊かな関係が築かれ、「通常の教師と生徒の関係をはるかに超えた」ものだった。ワイエルシュトラスは彼女を4年間指導し、彼女を最高の教え子とみなし、口頭試問なしでハイデルベルク大学から博士号を取得できるよう尽力した。

コワレフスカヤは1870年から1891年に亡くなるまで、ワイエルシュトラスと文通していた。彼女の死を知ったワイエルシュトラスは、彼女宛の手紙を焼却した。彼から彼女宛の手紙のうち約150通が保存されている。ラインハルト・ベリング教授は、彼女がストックホルム大学の私講師に任命され、1883年にストックホルムに到着した際に、ワイエルシュトラス宛に書いた手紙の草稿を発見した。^[⁸^]

ワイエルシュトラスは晩年の３年間は寝たきりで、１８９７年２月１９日にベルリンで肺炎のため死去した。 ^[９]

数学的貢献

微積分学の健全性

ワイエルシュトラスは微積分の正当性に関心を持っていたが、当時、微積分の基礎となる定義はやや曖昧であったため、重要な定理を十分な厳密さで証明することができなかった。ボルツァーノは1817年（おそらくそれ以前）に極限のかなり厳密な定義を開発していたものの、彼の研究は数年後まで数学界のほとんどに知られておらず、多くの数学者は極限や関数の連続性について漠然とした定義しか持っていなかった。

デルタ-イプシロン証明の基本的な考え方は、おそらく1820年代のコーシーの著作に初めて見られる。^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} コーシーは、区間上の連続性と一様連続性を明確に区別していなかった。特に、1821年の『解析学講義』で、コーシーは、（点ごとに）連続な関数の（点ごとの）極限はそれ自体が（点ごとに）連続であると主張したが、これは一般には誤りである。正しい記述は、連続な関数の一様極限は連続である（また、一様連続な関数の一様極限は一様連続である）ということである。これには一様収束の概念が必要であり、これはワイエルシュトラスの指導教官であるクリストフ・グーダーマンが1838年の論文で初めて観察したが、グーダーマンはその現象に言及したものの、定義したり詳しく説明したりはしなかった。ワイエルシュトラスはこの概念の重要性を認識し、それを体系化するとともに、微積分学の基礎全体にわたって広く応用した。

ワイエルシュトラスによって定式化された関数の連続性の正式な定義は次のとおりです。

$\displaystyle f(x)$ 連続 $\displaystyle x=x_{0}$ もし $\displaystyle \forall \ \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0$ すべての $x$ の領域において $f$ 、 $\displaystyle \ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .$ 簡単な英語で言うと、 $\displaystyle f(x)$ ある点で連続している $\displaystyle x=x_{0}$ 各 $x$ 十分近い $x_{0}$ 関数値 $f(x)$ 非常に近い $f(x_{0})$ ここで、「十分近い」という制約は通常、望ましい近さに依存する。 $f(x_{0})$ に $f(x).$ 彼はこの定義を用いて中間値の定理を証明した。また、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理も証明し、それを用いて閉区間および有界区間における連続関数の性質を研究した。

変分法

ワイエルシュトラスは変分法の分野でも進歩を遂げた。彼が開発に貢献した解析の手法を用いて、変分法の理論を完全に再定式化し、現代の変分法研究への道を開いた。ワイエルシュトラスはいくつかの公理の中でも、変分問題の強い極値の存在に必要な条件を確立した。また、ワイエルシュトラスはワイエルシュトラス＝エルドマン条件の考案にも貢献した。この条件は、極値が与えられた極値に沿って角を持つための十分条件を与え、与えられた積分に対する最小化曲線を見つけることを可能にする。

その他の解析定理

栄誉と受賞歴

月のクレーター「ワイエルシュトラス」と小惑星「14100ワイエルシュトラス」は、彼の名にちなんで名付けられました。また、ベルリンにはワイエルシュトラス応用解析・確率論研究所があります。

選りすぐりの作品

Zur Theorie der Abelschen Funktionen (1854)
アーベルシェン関数理論(1856)
アブハンドルンゲン-1、数学。ヴェルケ。 Bd. 1. ベルリン、1894年
アブハンドルンゲン-2、数学。ヴェルケ。 Bd. 2. ベルリン、1895年
アブハンドルンゲン-3、数学。ヴェルケ。 Bd. 3. ベルリン、1903年
ヴォル。超越理論、数学。ヴェルケ。 Bd. 4. ベルリン、1902年
ヴォル。 ueber variationsrechnung、数学。ヴェルケ。 Bd. 7. ライプツィヒ、1927年

参考文献

↑「ワイエルシュトラス」。ランダムハウス・ウェブスター大辞典。
↑デューデン。 Das Aussprachewörterbuch。 7. オーフラージュ。書誌研究所、ベルリン、2015、 ISBN 978-3-411-04067-4
↑ 「カール・ワイエルシュトラス｜ドイツの数学者、近代解析の父」。ブリタニカ百科事典。
↑ Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm. (2018). In Helicon (Ed.), The Hutchinson unabridged encyclopedia with atlas and weather guide . [オンライン]. Abington: Helicon. 入手先: http://libezproxy.open.ac.uk/login?url=リンク2018年7月8日アクセス。
1 2 O'Connor, JJ; Robertson, EF (1998 年 10 月)。「カール・テオドール・ヴィルヘルム・ワイエルシュトラス」。スコットランド、セント・アンドリュース大学数学統計学部。2014年9 月 7 日に取得。
↑エルストロッド、ユルゲン (2016)。「Die prägenden Jahre im Leben von Karl Weierstraß」。ヴォルフガングのケーニッヒにて。シュプレケルス、ユルゲン（編）。Karl Weierstraß (1815–1897) (ドイツ語)。ヴィースバーデン: Springer Fachmedien Wiesbaden。 pp. 11–51 . doi : 10.1007/978-3-658-10619-5_2。ISBN 978-3-658-10618-82023年8月12日に取得。
↑ビアマン、カート-R。シューブリング、ゲルト (1996)。「Einige Nachträge zur Biographie von Karl Weierstraß. (ドイツ語) [カールヴァイエルシュトラスの伝記へのいくつかの追記]」。数学の歴史。カリフォルニア州サンディエゴ：アカデミックプレス。65～ 91ページ。
↑クズネツォフ、ヴァディム・B. 編 (2002) 「ロジャー・L・クック著『SV・コワレフスカヤの生涯』」『コワレフスキー特性』（リーズ、2000年）CRM Proceedings & Lecture Notes、第32巻、アメリカ数学会、1–19頁。ISBN 978-0-8218-7330-4。2002年版の書籍の7ページを参照。オンラインテキスト
↑ギレスピー、チャールズ・コールストン編 (1970)。『科学者伝記辞典 14：アディソン・エメリー・ヴェリル - ヨハン・ツヴェルファー』第14巻。アメリカ学術団体協議会科学者伝記辞典委員会。ニューヨーク：スクリブナー。223ページ。ISBN 978-0-684-12926-6. OCLC 89822 .
↑グラビナー、ジュディス・V. (1983年3月)、「誰があなたにイプシロンを与えたのか？コーシーと厳密な微積分の起源」(PDF)、アメリカ数学月報、90 (3): 185–194、doi : 10.2307/2975545、JSTOR 2975545、2014年11月29日にオリジナルからアーカイブされた(PDF)
↑コーシー、A.-L. (1823)、「Septième Leçon – Valeurs de quelques 表現 qui se présentent sous les formes indéterminées」 ${\frac {\infty }{\infty }},\infty ^{0},\ldots$ Relation qui presente entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée"、Résumé des leçons données à l'école Royale Polytechnique sur le calcul infinitésimal、パリ、p. 44、2009 年 5 月4 日にオリジナルからアーカイブ、取得2009-05-01

外部リンク

オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドモンド・F.、「カール・ワイエルシュトラス」、マックチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
ヴァイエルシュトラスのオリジナル出版物のデジタル版は、ベルリンブランデンブルク大学アカデミーの図書館からオンラインで無料で入手できます。
プロジェクト・グーテンベルクにおけるカール・ワイエルシュトラスの作品
インターネットアーカイブにあるカール・ワイエルシュトラスによる作品またはワイエルシュトラスに関する作品

[1] 「ワイエルシュトラス」。ランダムハウス・ウェブスター大辞典。

[2] デューデン。 Das Aussprachewörterbuch。 7. オーフラージュ。書誌研究所、ベルリン、2015、 ISBN 978-3-411-04067-4

[3] 「カール・ワイエルシュトラス｜ドイツの数学者、近代解析の父」。ブリタニカ百科事典。

[4] Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm. (2018). In Helicon (Ed.), The Hutchinson unabridged encyclopedia with atlas and weather guide . [オンライン]. Abington: Helicon. 入手先: http://libezproxy.open.ac.uk/login?url=リンク2018年7月8日アクセス。

[StAndrews-5] 1 2 O'Connor, JJ; Robertson, EF (1998 年 10 月)。「カール・テオドール・ヴィルヘルム・ワイエルシュトラス」。スコットランド、セント・アンドリュース大学数学統計学部。2014年9 月 7 日に取得。

[6] エルストロッド、ユルゲン (2016)。「Die prägenden Jahre im Leben von Karl Weierstraß」。ヴォルフガングのケーニッヒにて。シュプレケルス、ユルゲン（編）。Karl Weierstraß (1815–1897) (ドイツ語)。ヴィースバーデン: Springer Fachmedien Wiesbaden。 pp. 11–51 . doi : 10.1007/978-3-658-10619-5_2。ISBN 978-3-658-10618-82023年8月12日に取得。

[7] ビアマン、カート-R。シューブリング、ゲルト (1996)。「Einige Nachträge zur Biographie von Karl Weierstraß. (ドイツ語) [カールヴァイエルシュトラスの伝記へのいくつかの追記]」。数学の歴史。カリフォルニア州サンディエゴ：アカデミックプレス。65～ 91ページ。

[8] クズネツォフ、ヴァディム・B. 編 (2002) 「ロジャー・L・クック著『SV・コワレフスカヤの生涯』」『コワレフスキー特性』（リーズ、2000年）CRM Proceedings & Lecture Notes、第32巻、アメリカ数学会、1–19頁。ISBN 978-0-8218-7330-4。2002年版の書籍の7ページを参照。オンラインテキスト

[9] ギレスピー、チャールズ・コールストン編 (1970)。『科学者伝記辞典 14：アディソン・エメリー・ヴェリル - ヨハン・ツヴェルファー』第14巻。アメリカ学術団体協議会科学者伝記辞典委員会。ニューヨーク：スクリブナー。223ページ。ISBN 978-0-684-12926-6. OCLC 89822 .

[10] グラビナー、ジュディス・V. (1983年3月)、「誰があなたにイプシロンを与えたのか？コーシーと厳密な微積分の起源」(PDF)、アメリカ数学月報、90 (3): 185–194、doi : 10.2307/2975545、JSTOR 2975545、2014年11月29日にオリジナルからアーカイブされた(PDF)

[11] コーシー、A.-L. (1823)、「Septième Leçon – Valeurs de quelques 表現 qui se présentent sous les formes indéterminées」 ${\frac {\infty }{\infty }},\infty ^{0},\ldots$ Relation qui presente entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée"、Résumé des leçons données à l'école Royale Polytechnique sur le calcul infinitésimal、パリ、p. 44、2009 年 5 月4 日にオリジナルからアーカイブ、取得2009-05-01

（/ˈvaɪərˌstrɑːs, -ˌʃtrɑːs/; [1] ドイツ語: Weierstraß [ˈvaɪɐʃtʁaːs]; [2]

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