カニアダキス指数分布

カニアダキス指数分布（またはκ指数分布）は、適切な制約の下でカニアダキスエントロピーを最大化することから生じる確率分布です。これはカニアダキス分布の一例です。κ指数は指数分布の一般化であり、カニアダキスエントロピーが標準的なボルツマン-ギブスエントロピーまたはシャノンエントロピーの一般化であるのと同じです。[1]タイプIのκ指数分布はκガンマ分布の特殊なケースであり^、タイプIIのκ指数分布はκワイブル分布の特殊なケースです。

κ-タイプIの指数分布

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle 0<\kappa <1}$ 形状（実数）レート（実数） ${\displaystyle \beta >0}$
サポート	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle (1-\kappa ^{2})\beta \exp _{\kappa }(-\beta x)}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle 1-{\Big (}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\beta ^{2}x^{2}}}+\kappa ^{2}\beta x{\Big )}\exp _{k}({-\beta x)}}$
平均	${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}}$
分散	${\displaystyle \sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {2(1-4\kappa ^{2})^{2} -(1-\kappa ^{2})^{2}(1-9\kappa ^{2})}{(1-4\kappa ^{2})^{2}(1-9\kappa ^{2})}}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2(1-\kappa ^{2})(144\kappa ^{8}+23\kappa ^{6}+27\kappa ^{4}-6\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{3}\sigma _{\kappa }^{3}(4\kappa ^{2}-1)^{3}(144\kappa ^{4}-25\kappa ^{2}+1)}}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {9(1200\kappa ^{14}-6123\kappa ^{12}+562\kappa ^{10}+1539\kappa ^{8}-544\kappa ^{6}+143\kappa ^{4}-18\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{4}\sigma _{\kappa }^{4}(1-\kappa ^{2})^{-1}(1-4\kappa ^{2})^{4}(3600\kappa ^{8}-4369\kappa ^{6}+819\kappa ^{4}-51\kappa ^{2}+1)}}-3}$
モーメント法	${\displaystyle {\frac {1-\kappa ^{2}}{\prod _{n=0}^{m+1}[1-(2n-m-1)\kappa ]}}{\frac {m!}{\beta ^{m}}}}$

タイプIのカニアダキスκ指数分布は、カニアダキスκ統計から生じる、べき乗則の裾を示す統計分布のクラスの一部です。この分布の確率密度関数は次のようになります。^[2]

${\displaystyle f_{_{\kappa }}(x)=(1-\kappa ^{2})\beta \exp _{\kappa }(-\beta x)}$

は に対して有効であり、ここで はカニアダキスエントロピーに関連するエントロピー指数であり、速度パラメータとして知られている。指数分布は次のように回復される。${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle 0\leq |\kappa |<1}$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle \kappa \rightarrow 0.}$

タイプIのκ指数分布 の累積分布関数は次のように与えられる。

${\displaystyle F_{\kappa }(x)=1-{\Big (}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\beta ^{2}x^{2}}}+\kappa ^{2}\beta x{\Big )}\exp _{k}({-\beta x)}}$

に対して。累積指数分布は古典的極限で回復される。 ${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

タイプIのκ指数分布の順序モーメントは^[2]で与えられる。${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{m}]={\frac {1-\kappa ^{2}}{\prod _{n=0}^{m+1}[1-(2n-m-1)\kappa ]}}{\frac {m!}{\beta ^{m}}}}$

ここで はの場合には有限です。 ${\displaystyle f_{\kappa }(x)}$${\displaystyle 0<m+1<1/\kappa }$

期待値は次のように定義されます。

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}}$

そして分散は次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {2(1-4\kappa ^{2})^{2}-(1-\kappa ^{2})^{2}(1-9\kappa ^{2})}{(1-4\kappa ^{2})^{2}(1-9\kappa ^{2})}}}$

タイプIのκ指数分布の尖度は次のように計算できます。

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {\left[X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}\right]^{4}}{\sigma _{\kappa }^{4}}}\right]}$

したがって、タイプI分布のκ指数分布の尖度は次のように表されます。

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {9(1-\kappa ^{2})(1200\kappa ^{14}-6123\kappa ^{12}+562\kappa ^{10}+1539\kappa ^{8}-544\kappa ^{6}+143\kappa ^{4}-18\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{4}\sigma _{\kappa }^{4}(1-4\kappa ^{2})^{4}(3600\kappa ^{8}-4369\kappa ^{6}+819\kappa ^{4}-51\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/5}$

または

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {9(9\kappa ^{2}-1)^{2}(\kappa ^{2}-1)(1200\kappa ^{14}-6123\kappa ^{12}+562\kappa ^{10}+1539\kappa ^{8}-544\kappa ^{6}+143\kappa ^{4}-18\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{2}(1-4\kappa ^{2})^{2}(9\kappa ^{6}+13\kappa ^{4}-5\kappa ^{2}+1)(3600\kappa ^{8}-4369\kappa ^{6}+819\kappa ^{4}-51\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/5}$

通常の指数分布の尖度は、極限で回復します。 ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

タイプIのκ指数分布の歪度は次のように計算できる。

${\displaystyle \operatorname {Skew} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {\left[X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}\right]^{3}}{\sigma _{\kappa }^{3}}}\right]}$

したがって、タイプI分布のκ指数分布の歪度は次のように表されます。

${\displaystyle \operatorname {Shew} [X]={\frac {2(1-\kappa ^{2})(144\kappa ^{8}+23\kappa ^{6}+27\kappa ^{4}-6\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{3}\sigma _{\kappa }^{3}(4\kappa ^{2}-1)^{3}(144\kappa ^{4}-25\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/4}$

通常の指数分布の尖度は、極限で回復します。 ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

κ-タイプIIの指数分布

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle 0\leq \kappa <1}$ 形状（実数）レート（実数） ${\displaystyle \beta >0}$
サポート	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\beta }{\sqrt {1+\kappa ^{2}\beta ^{2}x^{2}}}}\exp _{\kappa }(-\beta x)}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle 1-\exp _{k}({-\beta x)}}$
クォンタイル	${\displaystyle \beta ^{-1}\ln _{\kappa }{\Bigg (}{\frac {1}{1-F_{\kappa }}}{\Bigg )},0\leq F_{\kappa }\leq 1}$
平均	${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}}$
中央値	${\displaystyle \beta ^{-1}\ln _{\kappa }(2)}$
モード	${\displaystyle {\frac {1}{\kappa \beta {\sqrt {2(1-\kappa ^{2})}}}}}$
分散	${\displaystyle \sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {1+2\kappa ^{4}}{(1-4\kappa ^{2})(1-\kappa ^{2})^{2}}}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2(15\kappa ^{6}+6\kappa ^{4}+2\kappa ^{2}+1)}{(1-9\kappa ^{2})(2\kappa ^{4}+1)}}{\sqrt {\frac {1-4\kappa ^{2}}{1+2\kappa ^{4}}}}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {3(72\kappa ^{10}-360\kappa ^{8}-44\kappa ^{6}-32\kappa ^{4}+7\kappa ^{2}-3)}{(4\kappa ^{2}-1)^{-1}(2\kappa ^{4}+1)^{2}(144\kappa ^{4}-25\kappa ^{2}+1)}}}$
モーメント法	${\displaystyle {\frac {\beta ^{-m}m!}{\prod _{n=0}^{m}[1-(2n-m)\kappa ]}}}$

タイプIIのカニアダキスκ指数分布も、カニアダキスκ統計から派生した統計分布の一種で、べき乗則の裾を示すが、制約条件が異なる。この分布は、カニアダキスκワイブル分布の特殊なケースであり、次の式で表される。^[2]${\displaystyle \alpha =1}$

${\displaystyle f_{_{\kappa }}(x)={\frac {\beta }{\sqrt {1+\kappa ^{2}\beta ^{2}x^{2}}}}\exp _{\kappa }(-\beta x)}$

は に対して有効です。ここで はKaniadakis エントロピーに関連付けられたエントロピー指数であり、速度パラメータとして知られています。 ${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle 0\leq |\kappa |<1}$${\displaystyle \beta >0}$

指数分布は次のように表される。${\displaystyle \kappa \rightarrow 0.}$

タイプIIのκ指数分布 の累積分布関数は次のように与えられる。

${\displaystyle F_{\kappa }(x)=1-\exp _{k}({-\beta x)}}$

に対して。累積指数分布は古典的極限で回復される。 ${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

タイプIIのκ指数分布の順序モーメントは[ ^2]で与えられる。${\displaystyle m<1/\kappa }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{m}]={\frac {\beta ^{-m}m!}{\prod _{n=0}^{m}[1-(2n-m)\kappa ]}}}$

期待値と分散は次のとおりです。

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {1+2\kappa ^{4}}{(1-4\kappa ^{2})(1-\kappa ^{2})^{2}}}}$

モードは次のように与えられます。

${\displaystyle x_{\textrm {mode}}={\frac {1}{\kappa \beta {\sqrt {2(1-\kappa ^{2})}}}}}$

タイプ II のκ指数分布の尖度は次のように計算できます。

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}}{\sigma _{\kappa }}}\right)^{4}\right]}$

したがって、タイプ II 分布のκ指数分布の尖度は次のように表されます。

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {3(72\kappa ^{10}-360\kappa ^{8}-44\kappa ^{6}-32\kappa ^{4}+7\kappa ^{2}-3)}{\beta ^{4}\sigma _{\kappa }^{4}(\kappa ^{2}-1)^{4}(576\kappa ^{6}-244\kappa ^{4}+29\kappa ^{2}-1)}}\quad {\text{ for }}\quad 0\leq \kappa <1/4}$

または

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {3(72\kappa ^{10}-360\kappa ^{8}-44\kappa ^{6}-32\kappa ^{4}+7\kappa ^{2}-3)}{(4\kappa ^{2}-1)^{-1}(2\kappa ^{4}+1)^{2}(144\kappa ^{4}-25\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{ for }}\quad 0\leq \kappa <1/4}$

タイプIIのκ指数分布の歪度は次のように計算できる。

${\displaystyle \operatorname {Skew} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {\left[X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}\right]^{3}}{\sigma _{\kappa }^{3}}}\right]}$

したがって、タイプII分布のκ指数分布の歪度は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {Skew} [X]=-{\frac {2(15\kappa ^{6}+6\kappa ^{4}+2\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{3}\sigma _{\kappa }^{3}(\kappa ^{2}-1)^{3}(36\kappa ^{4}-13\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/3}$

または

${\displaystyle \operatorname {Skew} [X]={\frac {2(15\kappa ^{6}+6\kappa ^{4}+2\kappa ^{2}+1)}{(1-9\kappa ^{2})(2\kappa ^{4}+1)}}{\sqrt {\frac {1-4\kappa ^{2}}{1+2\kappa ^{4}}}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/3}$

通常の指数分布の歪度は、極限で回復されます。 ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

分位数は次の式で与えられる。

${\displaystyle x_{\textrm {quantile}}(F_{\kappa })=\beta ^{-1}\ln _{\kappa }{\Bigg (}{\frac {1}{1-F_{\kappa }}}{\Bigg )}}$

の場合、中央値はとなります。${\displaystyle 0\leq F_{\kappa }\leq 1}$

${\displaystyle x_{\textrm {median}}(F_{\kappa })=\beta ^{-1}\ln _{\kappa }(2)}$

タイプIIのκ指数分布に関連するローレンツ曲線は次のように与えられる: ^[2]

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\kappa }(F_{\kappa })=1+{\frac {1-\kappa }{2\kappa }}(1-F_{\kappa })^{1+\kappa }-{\frac {1+\kappa }{2\kappa }}(1-F_{\kappa })^{1-\kappa }}$

ジニ 係数は

${\displaystyle \operatorname {G} _{\kappa }={\frac {2+\kappa ^{2}}{4-\kappa ^{2}}}}$

タイプIIのκ指数分布は漸近的に次のように振る舞う：^[2]

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f_{\kappa }(x)\sim \kappa ^{-1}(2\kappa \beta )^{-1/\kappa }x^{(-1-\kappa )/\kappa }}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f_{\kappa }(x)=\beta }$

κ指数分布は、次のようなさまざまな分野で応用されています。

• 地質力学では、岩盤の特性を分析するために用いられる。^[3]
• 量子論では、プランクの放射法則を用いた物理解析において、^[4]
• 逆問題では、κ指数分布が堅牢なアプローチを定式化するために使用されている。^[5]
• ネットワーク理論では^[6]

• ジョルジオ・カニアダキス
• カニアダキス統計
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• カニアダキスκ-ワイブル分布
• カニアダキスκロジスティック分布
• Kaniadakis κ-Erlang ディストリビューション
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• ジョルジオ・カニアダキス Google Scholar ページ
• arXiv.org のカニアダキス統計