Kaniadakis Erlang ディストリビューション

κ-Erlangディストリビューション

確率密度関数 典型的な κ 値および n=1、2、3 の κ-アーラン分布のプロット。κ=0 の場合は通常のアーラン分布に対応します。
パラメータ	${\displaystyle 0\leq \kappa <1}$ ${\displaystyle n={\textrm {positive}}\,\,{\textrm {integer}}}$
サポート	${\displaystyle x\in [0,+\infty )}$
PDF	${\displaystyle \prod _{m=0}^{n}\left[1+(2m-n)\kappa \right]{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}\exp _{\kappa }(-x)}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\frac {1}{(n-1)!}}\prod _{m=0}^{n}\left[1+(2m-n)\kappa \right]\int _{0}^{x}z^{n-1}\exp _{\kappa }(-z)dz}$

カニアダキスアーラン分布（またはκ-アーラン ガンマ分布）は、連続統計分布の族であり、および正の整数のときのκ-ガンマ分布の特殊なケースです。 ^[1]この族の最初のメンバーは、タイプ I のκ-指数分布です。 κ-アーランは、アーラン分布の κ-変形バージョンです。これは、カニアダキス分布の一例です。 ${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \nu =n=}$

カニアダキスκ-アーラン分布の確率密度関数は次のようになる：^[1]

${\displaystyle f_{_{\kappa }}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\prod _{m=0}^{n}\left[1+(2m-n)\kappa \right]x^{n-1}\exp _{\kappa }(-x)}$

およびに対して有効です。ここで は、カニアダキスエントロピーに関連付けられたエントロピー指数です。 ${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle n={\textrm {positive}}\,\,{\textrm {integer}}}$${\displaystyle 0\leq |\kappa |<1}$

通常のアーラン分布は次のように復元されます。 ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

κ-アーラン分布の累積分布関数は次の形をとる: ^[1]

${\displaystyle F_{\kappa }(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\prod _{m=0}^{n}\left[1+(2m-n)\kappa \right]\int _{0}^{x}z^{n-1}\exp _{\kappa }(-z)dz}$

に対して有効であり、ここで です。累積アーラン分布は古典的な極限 で回復されます。 ${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle 0\leq |\kappa |<1}$${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

κ-アーラン分布 の生存関数は次のように表されます。

${\displaystyle S_{\kappa }(x)=1-{\frac {1}{(n-1)!}}\prod _{m=0}^{n}\left[1+(2m-n)\kappa \right]\int _{0}^{x}z^{n-1}\exp _{\kappa }(-z)dz}$

κ-アーラン分布の生存関数は、κ-率方程式を解くことによって閉じた形式でハザード関数を決定することを可能にします。

${\displaystyle {\frac {S_{\kappa }(x)}{dx}}=-h_{\kappa }S_{\kappa }(x)}$

ここで ハザード関数です。 ${\displaystyle h_{\kappa }}$

κ分布の族はκアーラン分布から生じ、それぞれが の特定の値に関連付けられ、およびに対して有効です。このようなメンバーはκアーラン累積分布から決定され、次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle 0\leq |\kappa |<1}$

${\displaystyle F_{\kappa }(x)=1-\left[R_{\kappa }(x)+Q_{\kappa }(x){\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}\right]\exp _{\kappa }(-x)}$

どこ

${\displaystyle Q_{\kappa }(x)=N_{\kappa }\sum _{m=0}^{n-3}\left(m+1\right)c_{m+1}x^{m}+{\frac {N_{\kappa }}{1-n^{2}\kappa ^{2}}}x^{n-1}}$

${\displaystyle R_{\kappa }(x)=N_{\kappa }\sum _{m=0}^{n}c_{m}x^{m}}$

と

${\displaystyle N_{\kappa }={\frac {1}{(n-1)!}}\prod _{m=0}^{n}\left[1+(2m-n)\kappa \right]}$

${\displaystyle c_{n}={\frac {n\kappa ^{2}}{1-n^{2}\kappa ^{2}}}}$

${\displaystyle c_{n-1}=0}$

${\displaystyle c_{n-2}={\frac {n-1}{(1-n^{2}\kappa ^{2})[1-(n-2)^{2}\kappa ^{2}]}}}$

${\displaystyle c_{m}={\frac {(m+1)(m+2)}{1-m^{2}\kappa ^{2}}}c_{m+2}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq m\leq n-3}$

κ-アーラン族の最初のメンバー（）はタイプIのκ-指数分布であり、確率密度関数と累積分布関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle f_{_{\kappa }}(x)=(1-\kappa ^{2})\exp _{\kappa }(-x)}$

${\displaystyle F_{\kappa }(x)=1-{\Big (}{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}+\kappa ^{2}x{\Big )}\exp _{k}({-x)}}$

κ-アーラン族の2番目のメンバー（ ）の確率密度関数と累積分布関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle f_{_{\kappa }}(x)=(1-4\kappa ^{2})\,x\,\exp _{\kappa }(-x)}$

${\displaystyle F_{\kappa }(x)=1-\left(2\kappa ^{2}x^{2}+1+x{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}\right)\exp _{k}({-x)}}$

2番目の要素（）には、確率密度関数と累積分布関数が次のように定義されます。 ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle f_{_{\kappa }}(x)={\frac {1}{2}}(1-\kappa ^{2})(1-9\kappa ^{2})\,x^{2}\,\exp _{\kappa }(-x)}$

${\displaystyle F_{\kappa }(x)=1-\left\{{\frac {3}{2}}\kappa ^{2}(1-\kappa ^{2})x^{3}+x+\left[1+{\frac {1}{2}}(1-\kappa ^{2})x^{2}\right]{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}\right\}\exp _{\kappa }(-x)}$

• タイプ I のκ -指数分布は、次の場合のκ -アーラン分布の特殊なケースです。${\displaystyle n=1}$
• κ-アーラン分布は、およびの場合には通常の指数分布に対応します。${\displaystyle \kappa =0}$${\displaystyle n=1}$

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