カニアダキスガンマ分布

κ-ガンマ分布

確率密度関数
パラメータ	${\displaystyle 0\leq \kappa <1}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ 形状（実数）レート（実数） ${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle 0<\nu <1/\kappa }$
サポート	${\displaystyle x\in [0,+\infty )}$
PDF	${\displaystyle (1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle (1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}\int _{0}^{x}z^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\beta z^{\alpha })dz}$
モード	${\displaystyle \beta ^{-1/\alpha }{\Bigg (}\nu -{\frac {1}{\alpha }}{\Bigg )}^{\frac {1}{\alpha }}{\Bigg [}1-\kappa ^{2}{\bigg (}\nu -{\frac {1}{\alpha }}{\bigg )}^{2}{\Bigg ]}^{-{\frac {1}{2\alpha }}}}$
モーメント法	${\displaystyle \beta ^{-m/\alpha }{\frac {(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{-m/\alpha }}{1+\kappa {\big (}\nu +{\frac {m}{\alpha }}{\big )}}}{\frac {\Gamma {\big (}\nu +{\frac {m}{\alpha }}{\big )}}{\Gamma (\nu )}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}-{\frac {m}{2\alpha }}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {m}{2\alpha }}{\Big )}}}}$

カニアダキス一般化ガンマ分布（またはκ-一般化ガンマ分布）は、カニアダキス統計から生じる半無限区間 [0,∞) でサポートされる4パラメータの連続統計分布族です。これはカニアダキス分布の一例です。κ-ガンマは、一般化ガンマ分布の変形です。

カニアダキスκ-ガンマ分布の確率密度関数は次のようになる：^[1]

${\displaystyle f_{_{\kappa }}(x)=(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })}$

は に対して有効です。ここで はKaniadakis エントロピーに関連付けられたエントロピー指数、は スケールパラメータ、 は形状パラメータです。 ${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle 0\leq |\kappa |<1}$${\displaystyle 0<\nu <1/\kappa }$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle \alpha >0}$

通常の一般化ガンマ分布は次 のように回復されます。${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$${\displaystyle f_{_{0}}(x)={\frac {|\alpha |\beta ^{\nu }}{\Gamma \left(\nu \right)}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })}$

κ-ガンマ分布の累積分布関数は次の形式をとります。

${\displaystyle F_{\kappa }(x)=(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}\int _{0}^{x}z^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\beta z^{\alpha })dz}$

は に対して有効であり、ここで です。累積一般化ガンマ分布は、古典的な極限 で回復されます。 ${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle 0\leq |\kappa |<1}$${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

κ-ガンマ分布のモーメントは^[1]で与えられる。${\displaystyle m}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{m}]=\beta ^{-m/\alpha }{\frac {(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{-m/\alpha }}{1+\kappa {\big (}\nu +{\frac {m}{\alpha }}{\big )}}}{\frac {\Gamma {\big (}\nu +{\frac {m}{\alpha }}{\big )}}{\Gamma (\nu )}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}-{\frac {m}{2\alpha }}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {m}{2\alpha }}{\Big )}}}}$

κ-ガンマ分布の次数のモーメントはに対して有限です。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle 0<\nu +m/\alpha <1/\kappa }$

モードは次のように与えられます。

${\displaystyle x_{\textrm {mode}}=\beta ^{-1/\alpha }{\Bigg (}\nu -{\frac {1}{\alpha }}{\Bigg )}^{\frac {1}{\alpha }}{\Bigg [}1-\kappa ^{2}{\bigg (}\nu -{\frac {1}{\alpha }}{\bigg )}^{2}{\Bigg ]}^{-{\frac {1}{2\alpha }}}}$

κ-ガンマ分布は漸近的に次のように振る舞う：^[1]

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f_{\kappa }(x)\sim (2\kappa \beta )^{-1/\kappa }(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}x^{\alpha \nu -1-\alpha /\kappa }}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f_{\kappa }(x)=(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}x^{\alpha \nu -1}}$

• κ-ガンマ分布は以下の一般化です:
  • κ -タイプ I の指数分布、次の場合;${\displaystyle \alpha =\nu =1}$
  • Kaniadakis κ-アーラン分布、および正の整数の場合。${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \nu =n=}$
  • κ-半正規分布、およびの場合;${\displaystyle \alpha =2}$${\displaystyle \nu =1/2}$
• κ-ガンマ分布は、次のようないくつかの確率分布に対応します。 ${\displaystyle \kappa =0}$
  • ガンマ分布の場合、${\displaystyle \alpha =1}$
  • 指数分布の場合、${\displaystyle \alpha =\nu =1}$
  • アーラン分布、および正の整数の場合;${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \nu =n=}$
  • カイ二乗分布、および半整数の場合;${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \nu =}$
  • 仲上分布、およびの場合;${\displaystyle \alpha =2}$${\displaystyle \nu >0}$
  • レイリー分布、およびの場合;${\displaystyle \alpha =2}$${\displaystyle \nu =1}$
  • カイ分布、および半整数の場合;${\displaystyle \alpha =2}$${\displaystyle \nu =}$
  • マクスウェル分布、およびの場合;${\displaystyle \alpha =2}$${\displaystyle \nu =3/2}$
  • 半正規分布、およびのとき;${\displaystyle \alpha =2}$${\displaystyle \nu =1/2}$
  • ワイブル分布、およびの場合;${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \nu =1}$
  • 伸張指数分布、およびの場合;${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \nu =1/\alpha }$

• ジョルジオ・カニアダキス
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