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立体幾何学において、面とは、立体の境界の一部を形成する平面（平面領域）である。[ 1 ]面のみで囲まれた3次元立体は多面体である。面は、多角形や円のように有限の場合もあれば、半平面や平面のように無限の場合もある。[2]
多面体や高次元多面体の幾何学のより技術的な扱いにおいては、この用語はより一般的な多面体（任意の次元数）の任意の次元の要素を意味するためにも使用される。[3]
多角形の面
初等幾何学において、面とは多面体[注 1]の境界上にある多角形[3]である。[4]多角形の面の他の名称には、多面体の側面やユークリッド平面タイルなどがある。
たとえば、立方体の境界となる6 つの正方形はいずれも立方体の面です。「面」は、4 次元多面体の 2 次元の特徴を指すために使用されることもあります。この意味では、4 次元四次元方陣には 24 の正方形の面があり、各面は 8 つの立方体セルのうち 2 つを共有しています。
多面体の多角形の面の数
ここで、Vは頂点の数、Eは辺の数、Fは面の数です。この方程式はオイラーの多面体公式として知られています。したがって、面の数は、辺の数から頂点の数を引いた数より 2 多くなります。たとえば、立方体には12 の辺と 8 つの頂点があり、したがって 6 つの面があります。
け-顔
高次元幾何学では、多面体の面はすべての次元の特徴です。[3] [5] [6]次元kの面はk面と呼ばれます。たとえば、通常の多面体の多角形の面は 2 面です。集合論では、多面体の面の集合には多面体自体と空集合が含まれます。空集合は、一貫性を保つために「次元」が -1 に与えられています。任意のn多面体 ( n次元多面体) について、-1 ≤ k ≤ nです。
たとえば、この意味では、立方体の面は、立方体自体 (3 面)、その (正方形の) ファセット (2 面)、その (線分の) エッジ (1 面)、その (点の) 頂点 (0 面)、および空の集合で構成されます。
多面体組合せ論などの数学の分野では、多面体は定義上凸状である。正式には、多面体Pの面は、境界がPの内部と交わらない任意の閉半空間とPの交差である。[7]この定義から、多面体の面の集合には多面体自体と空集合が含まれることになる。[5] [6]
抽象多面体や星型多面体の理論など、数学の他の分野では、凸性の要件は緩和されています。抽象理論では、面の集合には多面体自体と空集合が含まれることが依然として要求されます。
n + 1 個の頂点で定義されるn次元単体（線分（n = 1）、三角形（n = 2）、四面体（n = 3 ）など）には、空の集合からすべての頂点の集合まで、頂点の各サブセットに対して面があります。特に、合計で2 n + 1 個の面があります。そのうちk面（k ∈ {−1, 0, ..., n }）の数は、二項係数です。
kの値、および場合によってはkが多面体の 次元nにどれだけ近いかに応じて、 k面に特定の名前が付けられます。
頂点または0面
頂点は0 面の一般的な名前です。
エッジまたは1面
エッジは1 面の一般的な名前です。
フェイスまたは2フェイス
特定のkがkフェイスを意味するものの、明示的に指定されていないコンテキストでのfaceの使用は、通常、2 フェイスです。
セルまたは3面
セルは、 4 次元多面体または 3 次元モザイク、またはそれ以上の次元の多面体要素 ( 3 面)です。セルは、4 次元多面体および 3 次元ハニカムの 面です。
例:
ファセットまたは（ん− 1)-面
高次元幾何学では、n多面体の面（超面とも呼ばれる）[8]は、( n −1 )面（多面体自体より1次元小さい面）である。[9]多面体は面によって境界が定められている。
例えば：
- 線分の面は、その 0 面または頂点です。
- 多角形のファセットは、その 1 面またはエッジです。
- 多面体または平面タイリングのファセットは、その2 面です。
- 4D 多面体または3 ハニカムのファセットは、3 つの面またはセルです。
- 5D 多面体または 4 ハニカムのファセットは、その4 つの面です。
尾根または（ん− 2)-面
関連用語では、 n多面体の( n −2 )面は尾根（またはサブ面）と呼ばれます。 [10]尾根は、多面体またはハニカムのちょうど2つの面の間の境界として見られます。
例えば：
- 2Dポリゴンまたは 1D タイリングの尾根は、その 0 面または頂点です。
- 3D多面体または平面タイリングの尾根は、その 1 面またはエッジです。
- 4D 多面体または3 ハニカムの尾根は、その 2 面または単に面です。
- 5D 多面体または 4 ハニカムの尾根は、その 3 つの面またはセルです。
ピークまたは（ん− 3)-顔
n多面体の( n − 3 )面はピークと呼ばれます。ピークには、正多面体またはハニカムの面と尾根の回転軸が含まれます。
例えば：
- 3D多面体または平面タイリングの頂点は、その 0 面または頂点です。
- 4D 多面体または3 ハニカムの頂点は、その 1 面または辺です。
- 5D 多面体または 4 ハニカムの頂点は、その 2 面または単に面です。
参照
注記
参考文献
- ^ Merriam-Webster's Collegiate Dictionary (第11版)。スプリングフィールド、マサチューセッツ州：Merriam-Webster。2004年。
- ^ ワイリー・ジュニア、CR（1964）、幾何学の基礎、ニューヨーク：マグロウヒル、p. 66、ISBN 0-07-072191-2
- ^ abc Matoušek, Jiří (2002)、離散幾何学講義、数学大学院テキスト、第212巻、Springer、5.3凸多面体の面、p. 86、ISBN 9780387953748。
- ^ クロムウェル、ピーター・R.（1999）、多面体、ケンブリッジ大学出版局、p. 13、ISBN 9780521664059。
- ^ ab Grünbaum, Branko (2003)、凸多面体、Graduate Texts in Mathematics、vol. 221 (第2版)、Springer、p. 17。
- ^ ab Ziegler, Günter M. (1995)、多面体に関する講義、数学の大学院テキスト、第152巻、Springer、定義2.1、p. 51、ISBN 9780387943657。
- ^ Matoušek (2002) と Ziegler (1995) は、わずかに異なるが同等の定義を使用しており、これはP をPの内部から分離した超平面または空間全体と交差させることに相当します。
- ^ NW ジョンソン：幾何学と変換、（2018）ISBN 978-1-107-10340-5第11章：有限対称群、11.1 多面体とハニカム、p.225
- ^ マトウシェク (2002)、p. 87;グリュンバウム (2003)、p. 27;ジーグラー (1995)、p. 17.
- ^ マトウシェク (2002)、p. 87;ジーグラー (1995)、p. 71.
外部リンク
- Weisstein、Eric W.「Face」。MathWorld。
- ワイスタイン、エリック・W.「ファセット」。マスワールド。
- Weisstein、Eric W.「サイド」。MathWorld。