ジーンズの不安定さ

ジーンズ不安定性は、ガスや塵の雲の重力崩壊につながる不安定性を説明する天体物理学の概念です。 ^[1]ジーンズ不安定性は、星間ガス雲の崩壊とそれに続く星形成を引き起こします。これは、内部のガス圧が物質で満たされた領域の重力崩壊を防ぐのに十分でない場合に発生します。 ^[2]ジェームズ・ジーンズにちなんで名付けられました。

安定のためには、雲は静水圧平衡にある必要があり、球形の雲の場合、これは に変換されます。 ここで、 は囲まれた質量、は圧力、はガスの密度（半径）、は重力定数、は半径です。平衡は、小さな摂動が減衰すれば安定し、増幅すれば不安定になります。一般に、雲が特定の温度で非常に質量が大きいか、特定の質量で非常に冷たい場合、雲は不安定です。このような状況では、ガスの圧力勾配が重力に打ち勝つことができず、雲は崩壊します。^[3]これはジーンズの崩壊基準と呼ばれています。 $${\displaystyle {\frac {dp}{dr}}=-{\frac {G\rho (r)M_{\text{enc}}(r)}{r^{2}}},}$$${\textstyle M_{\text{enc}}(r)}$${\textstyle p}$${\textstyle \rho (r)}$${\textstyle r}$${\textstyle G}$${\textstyle r}$

ジーンズ不安定性は、分子雲内で星形成がいつ起こるかを決定すると考えられます。

1720年、エドモンド・ハレーは境界のない宇宙を考察し、宇宙内に存在する「世界のシステム」が有限か無限かで何が起こるかを考えた。有限の場合、星は中心に向かって引力を持ち、無限の場合、すべての星はほぼ平衡状態にあり、星は最終的に静止する場所に到達する。^[4] ハレーの著作とは対照的に、アイザック・ニュートンは1692/3年にリチャード・ベントレーに宛てた手紙の中で、無限の空間にある粒子がそのような配置で立って完全な平衡状態になるのは想像しにくいと書いている。^{[5] [6]}

ジェームズ・ジーンズは重力安定性の問題を圧力まで拡張した。1902年、ジーンズはハレーと同様に、圧力が妨げにならないと仮定すると、物質の有限分布は中心に向かって重力で崩壊すると書いた。物質の無限分布の場合、2つのシナリオが考えられる。完全に均質な分布には明確な質量中心がなく、重力加速方向を定義する明確な方法もない。もう1つのケースでは、ジーンズはニュートンの記述を拡張し、正確な均質性からの小さな偏差が不安定性につながることを実証した。^[7]

ジーンズ質量は、気体雲内の重力崩壊の過程を考察した英国の 物理学者、サー・ジェームズ・ジーンズにちなんで名付けられました。彼は、適切な条件下では、雲またはその一部が、重力と釣り合うだけの気体圧力のサポートが不足すると不安定になり、崩壊し始めることを証明することができました。雲は十分に小さい質量（特定の温度と半径）に対しては安定していますが、この臨界質量を超えると、他の何らかの力が崩壊を阻止するまで暴走収縮の過程を開始します。彼は、この臨界質量を密度と温度の関数として計算する式を導き出しました。雲の質量が大きいほど、サイズが大きいほど、温度が低いほど、重力崩壊に対する安定性は低くなります。

ジーンズ質量のおおよその値は、簡単な物理的議論から導き出すことができます。半径、質量、気体の音速の球状の気体領域から始めます。気体はわずかに圧縮されており、 音波が領域を横切って押し戻し、圧力バランスを回復しようとするのに時間がかかります。同時に、重力はシステムをさらに収縮させようとします。これは自由落下時間で行われます。 ここで、は万有引力定数、 は領域内の気体の密度、 は粒子あたりの平均質量 ( μ = )に対する気体の数密度です。${\textstyle R}$${\textstyle M}$ ${\textstyle c_{\text{s}}}$$${\displaystyle t_{\text{sound}}={\frac {R}{c_{\text{s}}}}\approx 0.5{\text{ Myr}}\cdot {\frac {R}{0.1{\text{ pc}}}}\cdot \left({\frac {c_{\text{s}}}{0.2{\text{ km/s}}}}\right)^{-1}}$$ $${\displaystyle t_{\text{ff}}={\frac {1}{(G\rho )^{1/2}}}\approx 2{\text{ Myr}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-1/2},}$$${\textstyle G}$${\textstyle \rho }$${\textstyle n=\rho /\mu }$3.9 × 10 ⁻²⁴  gは、ヘリウムが20%含まれる分子状水素に適切である。音速通過時間が自由落下時間よりも短い場合、圧力力が一時的に重力に打ち勝ち、系は安定した平衡状態に戻る。しかし、自由落下時間が音速通過時間よりも短い場合、重力が圧力力に打ち勝ち、領域は重力崩壊を起こす。したがって、重力崩壊の条件は次のようになる。 $${\displaystyle t_{\text{ff}'',t_{\text{sound}}.}$$

ジーンズの長さはおよそ ${\textstyle \lambda _{\text{J}}}$$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}={\frac {c_{\text{s}}}{(G\rho )^{1/2}}}\approx 0.4{\text{ pc}}\cdot {\frac {c_{\text{s}}}{0.2{\text{ km/s}}}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-1/2}.}$$

この長さのスケールはジーンズ長として知られています。ジーンズ長より大きいスケールはすべて重力崩壊に対して不安定ですが、より小さいスケールは安定しています。ジーンズ質量は、半径（はジーンズ長の半分）の球に含まれる質量です。 ${\textstyle M_{\text{J}}}$${\textstyle R_{\text{J}}}$${\textstyle R_{\text{J}}={\frac {1}{2}}\lambda _{\text{J}}}$$${\displaystyle M_{\text{J}}={\frac {4\pi }{3}}\rho R_{\text{J}}^{3}={\frac {\pi }{6}}\cdot {\frac {c_{\text{s}}^{3}}{G^{3/2}\rho ^{1/2}}}\approx 2{\text{ M}}_{\odot }\cdot \left({\frac {c_{\text{s}}}{0.2{\text{ km/s}}}}\right)^{3}\left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-1/2}.}$$

後にビニーやトレメイン^[8]を含む他の天体物理学者によって、ジーンズが使用した元の分析には欠陥があったことが指摘されました。ジーンズの正式な分析では、雲の崩壊領域は無限の静的媒体に囲まれていると想定されていましたが、同じ分析によれば、より大きなスケールはすべて重力的に不安定であるため、周囲の媒体も実際には崩壊しているはずです。この媒体の影響は、ジーンズの分析では完全に無視されていました。この欠陥は「ジーンズ詐欺」として知られるようになりました。

驚くべきことに、宇宙の膨張などの他の要因を考慮したより慎重な分析を行うと、ジーンズの分析の明らかな誤りが偶然にも相殺され、たとえその導出が疑わしかったとしても、ジーンズの方程式は正しいものとなる。^[9]

エネルギーを考慮すると、おそらくさらに簡単な別の導出法が見つかります。星間雲では、2 つの反対の力が働いています。雲を構成する原子または分子の熱運動によって生じるガス圧は雲を膨張させようとしますが、重力は雲を収縮させようとします。ジーンズ質量は、両方の力が互いに平衡状態にある臨界質量です。以下の導出では、数値定数 ( など) と自然定数 (重力定数など) は無視されます。これらは結果で再導入されます。 ${\textstyle \pi }$

半径 の均質な球状のガス雲を考えてみましょう。この球を半径 に圧縮するには、ガス圧に逆らって仕事をしなければなりません。圧縮中に、重力エネルギーが解放されます。このエネルギーがガスに行う仕事の量に等しくなると、臨界質量に達します。雲の質量を 、(絶対)温度を 、粒子密度を 、ガス圧を とします。行う仕事は です。理想気体の法則を用いると、仕事は次の式で表されます。 ${\textstyle R}$${\textstyle R-dR}$${\textstyle M}$${\textstyle T}$${\textstyle n}$${\textstyle p}$${\textstyle pdV}$${\textstyle p=nT}$$${\displaystyle dW=nTR^{2}\,dR.}$$

質量と半径を持つ球の重力による位置エネルギーは、定数を除けば、次の式で表されます。 ${\textstyle M}$${\textstyle R}$$${\displaystyle U={\frac {M^{2}}{R}}.}$$

球が半径から半径に収縮するときに放出されるエネルギーの量は、この式を に微分することで得られるので、 ${\textstyle R}$${\textstyle R-dR}$${\textstyle R}$$${\displaystyle dU={\frac {M^{2}}{R^{2}}}\,dR.}$$

解放された重力エネルギーがガスに対して行われた仕事と等しくなるとすぐに臨界質量が達成されます。 $${\displaystyle {\frac {M^{2}}{R^{2}}}=nTR^{2}.}$$

次に、半径は粒子の密度と質量で表す必要があります。これは次の関係式で表すことができます。 ${\textstyle R}$${\textstyle n}$${\textstyle M}$$${\displaystyle M=nR^{3}.}$$

少し代数計算すると、臨界質量は次の式で表されます。 $${\displaystyle M_{\text{J}}=\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{1/2}.}$$

導出中にすべての定数をとれば、結果として得られる式は次のようになる。 ここで はボルツマン定数、重力定数、ガスを構成する粒子の質量である。雲が原子水素で構成されていると仮定すると、前因子を計算することができる。質量の単位として太陽質量をとり、粒子密度の単位として を使用すると、結果は次のようになる。 $${\displaystyle M_{\text{J}}=\left({\frac {375k_{\text{B}}^{3}}{4\pi m^{4}G^{3}}}\right)^{1/2}\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{1/2},}$$${\textstyle k_{\text{B}}}$${\textstyle G}$${\textstyle m}$${\textstyle m^{-3}}$$${\displaystyle M_{\text{J}}=3\times 10^{4}\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{1/2}.}$$

ジーンズ長は、雲（通常は星間分子ガスと塵の雲）の臨界半径であり、雲の膨張を引き起こす熱エネルギーが、雲の収縮を引き起こす重力によって打ち消される。1900年代初頭に球状星雲の安定性に関心を寄せていたイギリスの天文学者、サー・ジェームズ・ジーンズにちなんで名付けられた。 ^[7]

ジーンズ長の公式は、 ボルツマン定数、雲の温度、粒子の平均分子量、万有引力定数、雲の質量密度（つまり雲の質量を雲の体積で割った値）である。 [ ^{10] [11]}$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}=\left({\frac {15k_{\text{B}}T}{4\pi G\mu \rho }}\right)^{1/2},}$$${\textstyle k_{\text{B}}}$${\textstyle T}$${\textstyle \mu }$${\textstyle G}$${\textstyle \rho }$

おそらく、ジーンズの長さを概念化する最も簡単な方法は、近似値で表すことです。この近似値では、 と の要素を捨て、を と言い換えます。ジーンズの長さの式は次のようになります。 ここで は雲の半径です。 ${\textstyle 15}$${\textstyle 4\pi }$${\textstyle \rho }$${\textstyle M/r^{3}}$$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}\approx \left({\frac {k_{\text{B}}Tr^{3}}{GM\mu }}\right)^{1/2}.}$$${\textstyle r}$

すぐに次のことが分かります。つまり、雲の半径がジーンズの長さで、粒子あたりの熱エネルギーが粒子あたりの重力仕事に等しいときです。この臨界長さでは、雲は膨張も収縮もしません。熱エネルギーが重力仕事に等しくないときのみ、雲は膨張して冷えるか、収縮して温まるかのどちらかになり、このプロセスは平衡に達するまで続きます。 ${\textstyle \lambda _{\text{J}}=r}$${\textstyle k_{\text{B}}T=GM\mu /r}$

ジーンズ長は振動の波長（それぞれジーンズの波数、）であり、これ以下では重力崩壊ではなく安定した振動が発生します。 ここで、Gは重力定数、は音速、は囲まれた質量密度です。 ${\textstyle k_{\text{J}}}$$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}={\frac {2\pi }{k_{\text{J}}}}=c_{\text{s}}\left({\frac {\pi }{G\rho }}\right)^{1/2},}$$${\textstyle c_{\text{s}}}$${\textstyle \rho }$

これは、崩壊時間中に 音波が移動する距離でもあります。

ジーンズ不安定性は、特定の条件下ではフラグメンテーションを引き起こすこともあります。フラグメンテーションの条件を導出するには、理想気体における断熱過程を仮定し、ポリトロープ状態方程式も採用します。次元解析による導出は、以下のとおりです。

断熱過程の場合、${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}}\rightarrow V\propto P^{-1/\gamma }.}$

理想気体の場合、${\displaystyle PV=nRT\Rightarrow P\cdot P^{-1/\gamma }=P^{(\gamma -1)/\gamma }\propto T\Rightarrow P\propto T^{\gamma /(\gamma -1)}.}$

ポリトロープ 状態方程式、${\displaystyle P=K\rho ^{\gamma }\rightarrow T\propto \rho ^{\gamma -1}.}$

ジーンズマス、${\displaystyle M_{\text{J}}\propto T^{3/2}\rho ^{-1/2}\propto \rho ^{(3/2)(\gamma -1)}\rho ^{-1/2}.}$

したがって、${\displaystyle M_{\text{J}}\propto \rho ^{(3/2)(\gamma -4/3)}.}$

断熱指数 が の場合、ジーンズ質量は密度の増加とともに増加し、 の場合、ジーンズ質量は密度の増加とともに減少します。重力崩壊の間、密度は常に増加するため、^[12] 2 番目のケースでは、ジーンズ質量は崩壊中に減少し、より小さな過密度領域が崩壊して、巨大分子雲の断片化につながります。理想的な単原子ガスの場合、断熱指数は 5/3 です。ただし、天体物理学的オブジェクトでは、この値は通常 1 に近くなります (たとえば、イオン化エネルギーに比べて温度が低い部分的にイオン化されたガス)。^[13]より一般的には、プロセスは実際には断熱的ではなく、収縮よりもはるかに速い放射による冷却を伴うため、断熱指数が 1 という低い値でモデル化できます (これは等温ガスのポリトロープ指数に対応します)。^[要出典]そのため、2 番目のケースは、例外ではなく、星では規則です。これが、星が通常クラスターで形成される理由です。 ${\textstyle \gamma >{\frac {4}{3}}}$${\textstyle \gamma <{\frac {4}{3}}}$

• ボンノル・エーベルト質量
• ラングミュア波（プラズマ中の同様の波）