等角投影

等角投影は、技術図面や工学図面で 3 次元オブジェクトを 2 次元で視覚的に表現する方法です。これは、3 つの座標軸が均等に短縮され、それらの 2 つの間の角度が 120 度になる 軸測投影です。

「等尺性」という用語は、ギリシャ語で「等しい尺度」を意味する言葉に由来しており、投影の各軸に沿ったスケールが同じであることを反映しています (他の形式のグラフィカル投影とは異なります)。

オブジェクトの等角投影図は、 x、y、z 軸の投影間の角度がすべて同じ、つまり 120° になるように視線方向を選択することで取得できます。たとえば、立方体の場合、最初に 1 つの面をまっすぐに見ることによってこれを行います。次に、立方体を垂直軸を中心に ±45° 回転させ、続いて水平軸を中心に約 35.264° (正確には arcsin 1 ⁄ √ 3または arctan 1 ⁄ √ 2で、マジック角に関連) 回転させます。立方体の場合 (画像を参照)、結果として得られる 2D 図面の周囲は完全な正六角形であることに注意してください。つまり、すべての黒い線の長さが等しく、立方体の面はすべて同じ面積です。等角投影グラフ用紙を通常の画用紙の下に置くと、計算なしで効果を得ることができます。

同様の方法で、 3D シーンでアイソメトリック ビューを取得できます。カメラを床と平行に配置し、座標軸に合わせてから、最初に水平方向に (垂直軸を中心に) ±45° 回転させ、次に水平軸を中心に 35.264° 回転させます。

等角投影を視覚化する別の方法は、立方体の部屋内の上隅から始めて、反対側の下隅に向かって眺めることです。x軸は下斜め右に伸び、y軸は下斜め左に伸び、z軸は真上です。奥行きは画像の高さによっても示されます。軸に沿って引かれた線は、互いに 120° の角度になっています。

これらすべてのケースでは、すべての軸測投影および正投影と同様に、投影された長さがカメラからの距離によって変化しないようにするために、このようなカメラには物体空間テレセントリック レンズが必要になります。

「等角投影」という用語は、一般的には軸測投影を指すものとして誤って使用されることがよくあります。ただし、実際には軸測投影には、等角投影、二角投影、斜投影の 3 種類があります。

等角投影に必要な 2 つの角度からすると、2 番目の角度の値は直感に反するように思われるかもしれません。そのため、もう少し説明が必要です。まず、長さが 2 の辺があり、中心が軸の原点にある立方体を想像してみましょう。つまり、すべての面が原点から 1 の距離で軸と交差します。ピタゴラスの定理を使用すると、中心から任意の辺の中央までの線の長さは√ 2と計算できます。立方体をx軸上で 45° 回転させると、図に示すように、点 (1, 1, 1) は (1, 0, √ 2 ) になります。2 番目の回転は、同じ点を正のz軸上に持ってくることを目的としているため、 1 ⁄ √ 2の逆正接、つまり約 35.264°に等しい値の回転を実行する必要があります。

等角投影図を得るには、観察者がどの八分円を覗くかに応じて、8 つの異なる方向があります。3D 空間の点a _x、y、zから最初の八分円を覗いた 2D 空間の点b _x、yへの等角投影変換は、回転行列を使用して数学的に次のように表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\cos \alpha }&{\sin \alpha }\\0&{-\sin \alpha }&{\cos \alpha }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos \beta }&0&{-\sin \beta }\\0&1&0\\{\sin \beta }&0&{\cos \beta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{bmatrix}{\sqrt {3}}&0&-{\sqrt {3}}\\1&2&1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}}$$

ここで、α = arcsin(tan 30°) ≈ 35.264°、β = 45° です。上で説明したように、これは垂直軸 (ここではy ) を中心にβだけ回転し、次に水平軸 (ここではx ) を中心にαだけ回転します。次に、 xy平面への正投影が続きます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{x}\\\mathbf {b} _{y}\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}$$

他の7つの可能性は、反対側に回転するかしないか、そして視線の方向を反転するかしないかによって得られます。^[1]

等長投影法の概念は、ウィリアム・ファリッシュ教授（1759-1837）によって初めて公式化されましたが、何世紀にもわたって大まかな経験的形式で存在していました。^{[3] [4]} 19世紀半ばから、等長投影法は「エンジニアにとって非常に貴重なツールとなり、その後すぐに軸測図法と等長投影法はヨーロッパと米国の建築トレーニングコースのカリキュラムに組み込まれました」^[5]しかし、ヤン・クリッケ（2000）^[6]によると、「軸測図法は中国で生まれました。中国美術におけるその機能は、ヨーロッパ美術の線遠近法に似ていました。軸測図法とそれに伴う絵画文法は、ビジュアルコンピューティングの出現により新たな重要性を帯びてきました」^{[6] 。}

すべての種類の平行投影と同様に、等角投影で描かれた物体は、見る人に近づいたり離れたりするにつれて大きくなったり小さくなったりしません。直接測定する必要がある建築図面には有利ですが、透視投影とは異なり、人間の視覚や写真の通常の動作ではないため、結果として歪みが知覚されます。また、右または上の図に示すように、深さと高度の測定が困難な状況になりがちです。これにより、ペンローズの階段などの矛盾した形状や不可能な形状が作成されることがあります。

アイソメトリック ビデオ ゲーム グラフィックスは、ビデオ ゲームやピクセル アートで使用されるグラフィックスで、平行投影を利用しますが、視点を傾けることで、上から見た視点や側面の視点からは見えない環境の側面を明らかにし、3 次元効果を生み出します。名前にもかかわらず、アイソメトリック コンピュータ グラフィックスは必ずしも真のアイソメトリックではありません。つまり、x、y、z軸は必ずしも互いに 120° の方向を向いているわけではありません。代わりに、さまざまな角度が使用され、最も一般的なのは二等辺投影と 2:1 のピクセル比です。「 3 ⁄ 4パースペクティブ」、「3 ⁄ 4ビュー」、「2.5D 」、「疑似 3D」という用語も時々使用されますが、これらの用語は他のコンテキストでは少し異なる意味を持つことがあります。

かつては一般的だったアイソメトリック投影は、より強力な3Dグラフィックシステムの登場と、ビデオゲームがアクションや個々のキャラクターに重点を置くようになったことで、あまり使用されなくなりました。^[7]しかし、アイソメトリック投影を利用するビデオゲーム、特にコンピュータロールプレイングゲームは、近年、インディーゲームシーンで復活しています。^{[7] [8]}

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