一般化逆ガウス分布

一般化逆ガウス分布

確率密度関数
パラメータ	a > 0、b > 0、p実数
サポート	x > 0
PDF	${\displaystyle f(x)={\frac {(a/b)^{p/2}}{2K_{p}({\sqrt {ab}})}}x^{(p-1)}e^{-(ax+b/x)/2}}$
平均	${\displaystyle \operatorname {E} [x]={\frac {{\sqrt {b}}\ K_{p+1}({\sqrt {ab}})}{{\sqrt {a}}\ K_{p}({\sqrt {ab}})}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [x^{-1}]={\frac {{\sqrt {a}}\ K_{p+1}({\sqrt {ab}})}{{\sqrt {b}}\ K_{p}({\sqrt {ab}})}}-{\frac {2p}{b}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\ln x]=\ln {\frac {\sqrt {b}}{\sqrt {a}}}+{\frac {\partial }{\partial p}}\ln K_{p}({\sqrt {ab}})}$
モード	${\displaystyle {\frac {(p-1)+{\sqrt {(p-1)^{2}+ab}}}{a}}}$
分散	${\displaystyle \left({\frac {b}{a}}\right)\left[{\frac {K_{p+2}({\sqrt {ab}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}-\left({\frac {K_{p+1}({\sqrt {ab}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}\right)^{2}\right]}$
MGF の	${\displaystyle \left({\frac {a}{a-2t}}\right)^{\frac {p}{2}}{\frac {K_{p}({\sqrt {b(a-2t)}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}}$
CF	${\displaystyle \left({\frac {a}{a-2it}}\right)^{\frac {p}{2}}{\frac {K_{p}({\sqrt {b(a-2it)}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}}$

確率論と統計学において、一般化逆ガウス分布（GIG ）は、確率密度関数を持つ3パラメータの連続確率分布族である。

${\displaystyle f(x)={\frac {(a/b)^{p/2}}{2K_{p}({\sqrt {ab}})}}x^{(p-1)}e^{-(ax+b/x)/2},\qquad x>0,}$

ここで、K _pは第二種の修正ベッセル関数、 a  > 0、b  > 0、pは実パラメータです。これは地統計学、統計言語学、金融などで広く使用されています。この分布は、エティエンヌ・ハルフェンによって最初に提案されました。^{[1] [2] [3]これは、}オーレ・バーンドルフ・ニールセン によって再発見され、一般化逆ガウス分布と名付けられて普及しました。その統計的特性については、ベント・ヨルゲンセンの講義ノートで説明されています。^[4]

と と設定することで、GIG分布を次のように表現することもできる。 ${\displaystyle \theta ={\sqrt {ab}}}$${\displaystyle \eta ={\sqrt {b/a}}}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\eta K_{p}(\theta )}}\left({\frac {x}{\eta }}\right)^{p-1}e^{-\theta (x/\eta +\eta /x)/2},}$

ここで、は濃度パラメータであり、はスケーリングパラメータです。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \eta}$

バーンドルフ・ニールセンとハルグリーンはGIG分布が無限に割り切れることを証明した。^[5]

一般化逆ガウス分布のエントロピーは次のように与えられる^[要出典]

${\displaystyle {\begin{aligned}H={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {b}{a}}\right)&{}+\log \left(2K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)\right)-(p-1){\frac {\left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left({\sqrt {ab}}\right)\right]_{\nu =p}}{K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}\\&{}+{\frac {\sqrt {ab}}{2K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}\left(K_{p+1}\left({\sqrt {ab}}\right)+K_{p-1}\left({\sqrt {ab}}\right)\right)\end{aligned}}}$

ここで、は第二種修正ベッセル関数の次数に関する微分であり、${\displaystyle \left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left({\sqrt {ab}}\right)\right]_{\nu =p}}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \nu =p}$

確率変数の特性は次のように与えられる（特性関数の導出については ^[6]の補足資料を参照）。 ${\displaystyle X\sim GIG(p,a,b)}$

${\displaystyle E(e^{itX})=\left({\frac {a}{a-2it}}\right)^{\frac {p}{2}}{\frac {K_{p}\left({\sqrt {(a-2it)b}}\right)}{K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}}$

ここでは虚数を表します。 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle i}$

逆ガウス分布とガンマ分布は、それぞれp  = −1/2とb = 0の一般化逆ガウス分布の特殊なケースである 。^[7] 具体的には、

${\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )=\left[{\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right]^{1/2}\exp {\left({\frac {-\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}\right)}}$

は、、、およびのGIGです。次の形式のガンマ分布は、 ${\displaystyle a=\lambda /\mu ^{2}}$${\displaystyle b=\lambda }$${\displaystyle p=-1/2}$

${\displaystyle g(x;\alpha ,\beta )=\beta ^{\alpha }{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}$

は、、、およびを含む GIG です。 ${\displaystyle a=2\beta }$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle p=\alpha }$

その他の特殊なケースとしては、a  = 0の逆ガンマ分布がある。 ^[7]

GIG分布は、正規分散平均混合における混合分布として機能する場合、正規分布と共役である。^{[8] [9]}ある隠れた変数の事前分布をGIGとすると、 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle P(z\mid a,b,p)=\operatorname {GIG} (z\mid a,b,p)}$

そして、正規尤度関数で観測されるデータ点が、${\displaystyle T}$${\displaystyle X=x_{1},\ldots ,x_{T}}$${\displaystyle z:}$

${\displaystyle P(X\mid z,\alpha ,\beta )=\prod _{i=1}^{T}N(x_{i}\mid \alpha +\beta z,z)}$

ここで は平均、分散の正規分布です。データが GIG である場合、 の事後分布も次のようになります。 ${\displaystyle N(x\mid \mu ,v)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle v}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle P(z\mid X,a,b,p,\alpha ,\beta )={\text{GIG}}\left(z\mid a+T\beta ^{2},b+S,p-{\frac {T}{2}}\right)}$

ここで。^{[注 1]}${\displaystyle \textstyle S=\sum _{i=1}^{T}(x_{i}-\alpha )^{2}}$

GIGをポアソンパラメータの混合分布として使用した場合、シシェル分布が得られます。^{[10] [11]}${\displaystyle \lambda }$

• 逆ガウス分布
• ガンマ分布