IEEE754 規格

IEEE浮動小数点演算標準( IEEE 754 ) は、もともと 1985 年に電気電子技術者協会(IEEE) によって制定された浮動小数点演算 の技術標準です。この標準は、さまざまな浮動小数点実装で見つかった、信頼性と移植性を備えた使用を困難にしていた多くの問題に対処しました。多くのハードウェア浮動小数点ユニットはIEEE 754 標準を使用しています。

この規格では以下が定義されています。

• 算術形式:有限数 (符号付きゼロと非正規数を含む)、無限大、および特殊な「非数」値 ( NaN )で構成される2進数および10 進数浮動小数点データのセット
• 交換フォーマット:浮動小数点データを効率的かつコンパクトな形式で交換するために使用できるエンコード (ビット文字列)
• 丸めルール:算術および変換中に数値を丸めるときに満たすべき特性
• 演算:算術形式における算術演算およびその他の演算 (三角関数など)
• 例外処理:例外的な状況の表示 (ゼロ除算、オーバーフローなど)

2008 年 8 月に発行されたIEEE 754-2008には、元のIEEE 754-1985標準のほぼすべてに加えて、基数に依存しない浮動小数点演算の IEEE 854-1987 標準が含まれています。 現在のバージョンであるIEEE 754-2019は、2019年7月に公開されました。^[1]これは、主に明確化、欠陥修正、および新しい推奨操作を組み込んだ、以前のバージョンのマイナーリビジョンです。

浮動小数点標準の必要性は、1960 年代と 1970 年代のビジネスおよび科学計算業界の混乱から生じました。IBM は、より長い仮数部とより短い指数部を持つ 16 進浮動小数点形式を使用しました[明確化が^{必要]。CDC}およびCrayコンピューターは、 +0 および -0 の値を許可する1 の補数表現を使用しました。CDC 60 ビット コンピューターには完全な 60 ビット加算器がなかったため、整数演算は浮動小数点ユニットからの 48 ビット精度に制限されていました。ゼロ除算による例外処理は、コンピューターごとに異なりました。システム間でデータを移動することや、異なるシステムで同じ計算を繰り返すことさえ、困難な場合がよくありました。

浮動小数点演算に関する最初の IEEE 標準であるIEEE 754-1985は、1985 年に公開されました。この標準では、2 進浮動小数点演算のみが対象とされていました。

新しいバージョンのIEEE 754-2008は、 Dan Zuras が議長を務め、 Mike Cowlishawが編集した 7 年間の改訂プロセスを経て、2008 年 8 月に発行されました。これは、 IEEE 754-1985 (2 進浮動小数点演算) とIEEE 854-1987 Standard for Radix-Independent Floating-Point Arithmetic の両方に代わるものです。元の標準の 2 進形式は、2 進形式 1 つと 10 進形式 2 つの合計 3 つの新しい基本形式とともに、この新しい標準に含まれています。現在の標準に準拠するには、実装で少なくとも 1 つの基本形式を算術形式と交換形式の両方として実装する必要があります。

国際規格ISO/IEC/IEEE 60559:2011（IEEE 754-2008と同一の内容）は、ISO/IEEE PSDO協定^{[2] [3]に基づき}ISO / IEC JTC 1 /SC 25を通じて採用が承認され、発行されました。^[4]

2019年7月に公開された現在のバージョンIEEE 754-2019は、2015年9月に開始されたDavid G. Houghが議長を務め、Mike Cowlishawが編集した改訂プロセスを経て、IEEE 754-2008から派生してこれに代わるものです。主に明確化（例：totalOrder）と欠陥修正（例：minNum）が組み込まれていますが、いくつかの新しい推奨操作（例：augmentedAddition）も含まれています。^{[5] [6]}

国際規格ISO/IEC 60559:2020（IEEE 754-2019と同一の内容）は、ISO/IEC JTC 1 /SC 25を通じて採用が承認され、発行されました。^[7]

この規格の次回の改訂は2029年に予定されている。^[8]

IEEE 754形式は「数値と記号の表現のセット」です。形式には、セットがどのようにエンコードされるかが含まれる場合もあります。^[9]

浮動小数点形式は次のように指定される。

• 基数（基数とも呼ばれる）b。IEEE 754 では 2（2進数）または 10（10進数）のいずれかになります。
• 精度p ;
• 指数範囲はeminからemaxまでで、すべての IEEE 754 形式でemin = 1 − emax、または同等のemin = − ( emax − 1 ) です。

フォーマットは

• 有限数は、3 つの整数で表すことができます。s は符号(0 または 1)、c は基数b で表記したときに p 桁を超えない仮数 部(または係数) (つまり、0 からb ^p − 1までの範囲の整数 )、qはemin ≤ q  +  p  − 1 ≤ emax を満たす指数 です。このような有限数の数値は、(−1) ^s × c × b ^qです。^{[a]さらに、}符号付きゼロと呼ばれる 2 つのゼロ値があります。符号ビットは、ゼロが +0 (正のゼロ) か -0 (負のゼロ) かを指定します。
• 2 つの無限大: +∞ と −∞。
• 2 種類のNaN (not-a-number): 静かな NaN (qNaN) とシグナリング NaN (sNaN)。

例えば、b = 10、p = 7、emax = 96、emin = −95の場合、仮数は0 ≤ c ≤を満たす。9 999 999であり、指数は−101 ≤ q ≤ 90 を満たします。したがって、表現できる最小のゼロ以外の正の数は 1×10 ⁻¹⁰¹で、最大値は 9999999×10 ⁹⁰ (9.999999×10 ⁹⁶ ) なので、数値の全範囲は −9.999999×10 ⁹⁶から 9.999999×10 ⁹⁶です。数 − b ^{1− emax}とb ^{1− emax} (ここでは、 −1×10 ⁻⁹⁵と 1×10 ⁻⁹⁵ ) は、最小の (大きさが)正規数です。これらの最小数の間のゼロ以外の数は、非正規数と呼ばれます。

数値によっては、浮動小数点表現が複数存在する場合があります。たとえば、b  = 10、p  = 7 の場合、-12.345 は -12345×10 ^-3、 -123450×10 ^-4、および -1234500×10 ^-5で表すことができます。ただし、算術演算などのほとんどの操作では、結果 (値) は入力の表現に依存しません。

10 進数形式では、任意の表現が有効であり、これらの表現のセットはコホートと呼ばれます。結果に複数の表現がある場合、標準ではコホートのどのメンバーが選択されるかを指定します。

バイナリ形式では、表現可能な最小の指数を選択して値を正確に表現できるようにすることで、表現が一意になります。さらに、指数は直接表現されず、最小の表現可能な指数が 1 として表現され、非正規数には 0 が使用されるようにバイアスが追加されます。指数が通常の範囲内にある数 (指数フィールドがすべて 1 でもすべて 0 でもない数) の場合、仮数の先頭ビットは常に 1 になります。したがって、先頭の 1 は、メモリ エンコーディングで明示的に存在するのではなく、暗黙的に存在する可能性があり、標準では、仮数の明示的に表現される部分は 0 と 1 の間になります。この規則は、先頭ビット規則、暗黙のビット規則、または隠しビット規則と呼ばれます。この規則により、バイナリ形式で精度を 1 ビット追加できます。非正規数は、通常の指数範囲外の指数を持ち、最小の通常数に使用される最小の表現指数でスケールされるため、先頭ビット規則は使用できません。

複数のエンコードが可能であるため（少なくとも交換フォーマットと呼ばれるフォーマットでは）、NaNは他の情報も運ぶ可能性があります。符号ビット（意味はありませんが、一部の操作で使用される場合があります）と、 NaNの発生源を示す診断情報のためのペイロード（ただし、ペイロードにはNaNボックス化^{[10] [11] [12]}など他の用途がある場合があります）です。

この標準では、数値の基数と交換エンコードで使用されるビット数に基づいて名前が付けられた 5 つの基本形式が定義されています。3 つの 2 進浮動小数点基本形式 (32、64、または 128 ビットでエンコード) と 2 つの 10 進浮動小数点基本形式 (64 または 128 ビットでエンコード) があります。binary32 形式とbinary64形式は、それぞれIEEE 754-1985の単精度形式と倍精度形式です。準拠実装では、基本形式の少なくとも 1 つを完全に実装する必要があります。

この規格では、これらの基本フォーマットを一般化する交換フォーマットも定義されています。^[13]バイナリフォーマットの場合、先頭ビット規則が必要です。次の表は、可能な交換フォーマット（基本フォーマットを含む）のいくつかをまとめたものです。

上記の表では、整数値は正確ですが、10 進表記の値 (例: 1.0) は丸められた値です。記載されている最小指数は通常の数値に対するものです。特殊な非正規数表現では、精度が多少低下しますが、さらに小さい (絶対値で) 数値を表すことができます。たとえば、binary64 で表現できる最小の正の数は 2 ⁻¹⁰⁷⁴です。-1074 という数値には、最小値 -1022 と、53 ビットの有効数字のうち 1 ビットを除くすべて (2 ^{−1022 − (53 − 1)}  = 2 ⁻¹⁰⁷⁴ ) が含まれます。

10 進桁数は、同等の 10 進桁数で表現される形式の精度です。これは、桁数× log ₁₀ 基数として計算されます。たとえば、binary128 は、34 桁の 10 進数とほぼ同じ精度です。

log ₁₀  MAXVAL は、エンコードの範囲の尺度です。その整数部分は、小数点の前の 1 桁の仮数部を持つ科学的記数法の値の出力に表示される最大の指数です (例: 1.698·10 ³⁸は binary32 の最大値に近く、9.999999·10 ⁹⁶は decade32 の最大値です)。

現在最もよく使用されている形式は、binary32 (単精度) と binary64 (倍精度) の 2 つです。下の図は、値の範囲における両方の形式の絶対精度を示しています。この図は、数値の期待値と必要な精度に基づいて適切な形式を選択するために使用できます。

32ビット浮動小数点のレイアウトの例は次の通りです。

64 ビットのレイアウトも同様です。

標準では、オプションで拡張精度形式と拡張可能精度形式が指定されており、これらは基本形式よりも高い精度を提供します。^[14]拡張精度形式は、より高い精度とより広い指数範囲を使用して基本形式を拡張します。拡張可能精度形式では、ユーザーが精度と指数範囲を指定できます。実装では、このような形式に対して選択した内部表現を使用できます。定義する必要があるのはそのパラメーター ( b、p、およびemax ) だけです。これらのパラメーターは、表現できる有限数の集合 (指定された基数に対する符号、仮数、指数の組み合わせ) を一意に記述します。

標準では、言語標準が、サポートされている各基数bに対してpとemax を指定する方法を提供することが推奨されています。^{[15]標準では、言語標準と実装が、各基数}bに対してサポートされている最大の基本形式よりも高い精度を持つ拡張形式をサポートすることが推奨されています。^[16] 2つの基本形式の間の精度を持つ拡張形式の場合、指数範囲は、次に広い基本形式と同じ大きさでなければなりません。したがって、たとえば、64ビットの拡張精度2進数の「emax」は少なくとも16383でなければなりません。x87 80ビット拡張形式はこの要件を満たしています。

オリジナルのIEEE 754-1985規格にも拡張形式の概念はありましたが、eminとemaxの間には強制的な関係はありませんでした。例えば、Motorola 68881 80ビット形式^[17] （emin = − emax ）は準拠した拡張形式でしたが、2008年の改訂では非準拠になりました。

交換形式は、特定の形式の固定長のビット文字列を使用して浮動小数点データを交換することを目的としています。

2進浮動小数点数の交換には、長さ16ビット、32ビット、64ビット、および32ビットの倍数≥128 ^[e]の交換形式が定義されています。16ビット形式は、小さな数値の交換または保存を目的としています（例：グラフィックス用）。

これらのバイナリ交換形式のエンコード方式は、IEEE 754-1985 と同じです。つまり、符号ビット、バイアスによる指数オフセットを記述するw指数ビット、および仮数を記述するp  − 1 ビットが続きます。k ビット形式の指数フィールドの幅は、w  = round(4 log ₂ ( k )) − 13として計算されます。既存の 64 ビット形式と 128 ビット形式はこの規則に従いますが、16 ビット形式と 32 ビット形式には、この式で得られる指数ビット (それぞれ 3 ビットと 7 ビット) よりも多くの指数ビット (それぞれ 5 ビットと 8 ビット) があります。

IEEE 754-1985 と同様に、バイアス指数フィールドはすべて 1 ビットで埋められ、無限大 (末尾の仮数フィールド = 0) または NaN (末尾の仮数フィールド ≠ 0) を示します。NaN の場合、クワイエット NaN とシグナリング NaN は、末尾の仮数フィールドの最上位ビットのみを使用して区別され、^[f]、ペイロードは残りのビットで伝送されます。

10 進浮動小数点数の交換には、32 ビットの倍数の交換形式が定義されています。バイナリ交換と同様に、10 進交換形式のエンコード スキームは、符号、指数、および仮数をエンコードします。2 つの異なるビット レベルのエンコードが定義されており、使用中のエンコードの外部インジケーターが必要になることがあるため、交換は複雑になります。

2 つのオプションにより、有効桁を、高密度 10 進数を使用して圧縮された 10 進数のシーケンスとしてエンコードするか、または2 進整数としてエンコードすることができます。前者は標準のハードウェア実装に直接適しており、後者はバイナリ コンピュータでのソフトウェア エミュレーションに適しています。どちらの場合でも、エンコードできる数値セット (符号、有効桁、指数の組み合わせ) は同じであり、特殊な値(最小指数の ±0、±無限大、静止 NaN、シグナリング NaN) のエンコードは同じです。

この標準規格では、5 つの丸めルールが定義されています。最初の 2 つのルールは最も近い値に丸めます。その他は、方向付き丸めと呼ばれます。

• 最も近い偶数に丸める - 最も近い値に丸めます。数値が中間にある場合は、最下位桁が偶数である最も近い値に丸められます。
• 最も近い値に丸め、ゼロから離れた値(またはから離れた値) - 最も近い値に丸めます。数値が中間値になる場合は、それより上 (正の数の場合) または下 (負の数の場合) の最も近い値に丸められます。

極端な場合、絶対値が より厳密に小さい値は、最小または最大の有限数（値の符号による）に丸められます。この絶対値と同じ値を持つ数値は同点とみなされます。この同点の選択は、との中間点として概念化できます。指数に制限がなければ、これらは次に表現可能な浮動小数点数で絶対値が大きい数値になります。絶対値がkより厳密に大きい数値は、対応する無限大に丸められます。^[18]${\displaystyle k=b^{\text{emax}}\left(b-{\tfrac {1}{2}}b^{1-p}\right)}$${\displaystyle \pm b^{\text{emax}}(bb^{1-p})}$${\displaystyle \pm b^{{\text{emax}}+1}}$

「最も近い値に丸め、偶数と同数」は2進浮動小数点のデフォルトであり、10進数の推奨デフォルトです。「最も近い値に丸め、偶数と同数」は10進数の実装でのみ必要です。^[19]

• 0 への丸め– ゼロへの丸め (切り捨て とも呼ばれます)。
• +∞ の方向に丸める - 正の無限大の方向に丸めます (切り上げまたは天井とも呼ばれます)。
• −∞ への丸め- 負の無限大への丸め（切り捨てまたは切り捨て とも呼ばれます）。

特に指定がない限り、浮動小数点演算の結果は、無限に正確な（数学的な）結果に丸め関数を適用することによって決定されます。このような演算は、正しく丸められていると言われています。この要件は、正しい丸めと呼ばれます。^[20]

サポートされている算術形式 (基本形式を含む) に必要な操作は次のとおりです。

• 整数への変換と整数からの変換^{[21] [22]}
• 前後の連続値^[21]
• 算術演算（加算、減算、乗算、除算、平方根、乗算加算、剰余、最小値、最大値）^{[21] [22]}
• 変換（フォーマット間、文字列間など）^{[23] [24]}
• スケーリングと（10進数の）量子化^{[25] [26]}
• 記号のコピーと操作（絶対、否定など）^[27]
• 比較と全順序付け^{[28] [29]}
• 数の分類（非正規数、有限数など）とNaNの検査^[30]
• ステータスフラグのテストと設定^[31]

標準では、サポートされている算術形式で1つの浮動小数点データを別の浮動小数点データと比較するための比較述語が提供されています。^[32] NaNとの比較は順序なしとして扱われます。-0と+0は等しいとみなされます。

標準では述語totalOrderが提供されており、これはサポートされている算術形式の標準メンバーの全順序付けを定義します。 ^[33]この述語は、一方の浮動小数点数が他方の浮動小数点数より小さい場合の比較述語（セクション § 比較述語を参照）と一致します。主な違いは次のとおりです。^[34]

• NaN はソート可能です。
  • NaN は、Infinity (またはその他の浮動小数点数) よりも絶対値​​が大きいものとして扱われます。(−NaN < −Infinity; +Infinity < +NaN。)
  • qNaN と sNaN は、qNaN の絶対値が sNaN よりも大きいかのように扱われます。 (−qNaN < −sNaN; +sNaN < +qNaN)
  • NaN はペイロードに従ってソートされます。IEEE 754-2008 では、ペイロードが小さい NaN は絶対値が小さいものとして扱われます。IEEE 754-2019 では、実装定義の順序付けはどれでも許容されます。
• 負のゼロは正のゼロよりも小さいものとして扱われます。
• 比較の両側が同じ浮動小数点データを参照している場合、指数が小さい方が絶対値が小さいものとして扱われます。^[33]

totalOrder述語は、フォーマット内のすべてのエンコーディングに完全な順序付けを強制するものではありません。特に、一方または両方のエンコーディングが非正規である場合など、同じ浮動小数点表現の異なるエンコーディングを区別しません。^[33] IEEE 754-2019にはtotalOrderの明確化が組み込まれています。

NaNシグナリングビットの配置に関するIEEE 754-2008勧告に従ったエンコードのバイナリ交換形式の場合、比較は浮動小数点数を符号絶対値の整数に変換するもの（ペイロードの順序がこの比較と一致すると仮定）と同一であり、これはFPUを使用しないFP比較の古いトリックである。^[35]

標準では 5 つの例外が定義されており、各例外はデフォルト値を返し、例外が発生したときに発生する対応するステータス フラグを持ちます。^[g] その他の例外処理は必要ありませんが、デフォルト以外の追加の代替手段が推奨されます (§ 代替例外処理を参照)。

5つの例外は

• 無効な演算: 数学的に定義されていないもの (例: 負の数の平方根)。デフォルトでは、qNaN を返します。
• ゼロ除算: 有限のオペランドに対する演算は、正確に無限の結果を返します (例: 1/0 または log(0))。デフォルトでは、±無限大を返します。
• オーバーフロー: 有限の結果が大きすぎて正確に表現できません (つまり、無制限の指数範囲を持つ指数はemaxより大きくなります)。デフォルトでは、最も近い値に丸めるモードでは ±infinity を返します (また、方向付き丸めモードの丸め規則に従います)。
• アンダーフロー: 結果が非常に小さい (通常の範囲外)。デフォルトでは、正の最小正規数以下の数値を返します (丸め規則に従います)。非正規数は常にアンダーフロー例外を意味しますが、デフォルトでは、正確な場合はフラグは生成されません。
• 不正確: 正確な (つまり、丸められていない) 結果は正確に表現できません。デフォルトでは、正しく丸められた結果を返します。

これらは IEEE 754-1985 で定義された 5 つの例外と同じですが、ゼロ除算の例外は除算以外の演算にも拡張されています。

いくつかの10進浮動小数点実装では、IEEE 754の一部ではない 追加の例外^{[36] [37]が定義されている。}

• クランプ: 結果の指数が宛先形式に対して大きすぎます。デフォルトでは、末尾のゼロが係数に追加され、指数が使用可能な最大値に減らされます。これが不可能な場合 (これにより、必要な桁数が宛先形式より多くなるため)、オーバーフロー例外が発生します。
• 丸め: 結果の係数には、宛先の形式が提供するよりも多くの桁数が必要です。ゼロ以外の桁が破棄されると、不正確な例外が通知されます。

さらに、どちらかのオペランドが無限大の場合や、結果が宛先のフォーマットに適合しない場合の量子化などの操作も、無効な操作例外を通知します。^[38]

IEEE 754 標準では、ゼロは符号付きであり、つまり「正のゼロ」(+0) と「負のゼロ」(-0) の両方が存在することを意味します。ほとんどのランタイム環境では、正のゼロは通常「 」として0、負のゼロは「-0」として印刷されます。数値比較では 2 つの値は等しく動作しますが、一部の操作では +0 と -0 に対して異なる結果が返されます。たとえば、1/(-0) は負の無限大を返しますが、1/(+0) は正の無限大を返します (したがって、1/(1/±∞) = ±∞という恒等式が維持されます)。x =0で不連続になり、 +0 と -0 を異なる方法で処理する可能性のあるその他の一般的な関数には、 Γ ( x ) や、任意の負の数yに対するy + xiの主平方根などがあります。あらゆる近似方式と同様に、「負のゼロ」を含む操作は、ときどき混乱を引き起こすことがあります。例えば、IEEE 754では、x = yは常に1/ x = 1/ yを意味するわけではなく、0 = −0ですが、1/0 ≠ 1/(−0)です。^[39]さらに、逆平方根の場合、rSqrt(±0)は±∞ですが、実数上の数学関数は負の値を持ちません。 ${\displaystyle 1{\big ></\sqrt {x{\vphantom {t}}}}}$

非正規値は、アンダーフローギャップのすぐ外側にある隣接する値と絶対距離が同じ値でアンダーフローギャップを埋めます。これは、アンダーフローギャップにゼロを入れ、アンダーフローの結果をゼロに置き換える（ゼロにフラッシュする）という従来の方法よりも改善されています。 ^[40]

最新の浮動小数点ハードウェアは通常、非正規値 (および正規値) を処理し、非正規値のソフトウェア エミュレーションを必要としません。

拡張実数ラインの無限大は、1、1.5 などの通常の浮動小数点値と同様に、IEEE 浮動小数点データ型で表すことができます。これらはエラー値ではありませんが、オーバーフローが発生した場合に置換値として使用されることがよくあります (丸めによって異なります)。ゼロ除算例外が発生すると、正確な結果として正または負の無限大が返されます。無限大は、数値として導入することもできます (C の "INFINITY" マクロ、またはプログラミング言語でその構文が許可されている場合は " ∞ " など)。

IEEE 754では、無限大を次のように適切に処理することが求められています。

• (+∞) + (+7) = (+∞)
• (+∞) × (−2) = (−∞)
• (+∞) × 0 = NaN – 意味のあることは何もない

IEEE 754 では、0/0、 ∞×0 、sqrt(−1)などの特定の「無効な」演算の結果として返される「非数」(NaN) と呼ばれる特別な値が指定されています。一般に、NaN は伝播されます。つまり、NaN を含むほとんどの演算は NaN になりますが、任意の浮動小数点値に対して定義された結果を返す関数は、NaN に対しても同様の結果を返します (例: NaN ^ 0 = 1)。NaN には、デフォルトの静かなNaN と、オプションでシグナルNaN の 2 種類があります。任意の算術演算 (数値比較を含む) でシグナル NaN が発生すると、「無効な演算」例外がシグナルされます。

標準で指定されている NaN の表現には、エラーの種類や原因をエンコードするために使用できる未指定のビットがいくつかありますが、そのエンコードの標準はありません。理論的には、シグナリング NaN は、ランタイム システムで初期化されていない変数にフラグを立てたり、通常の値による計算を遅くすることなく浮動小数点数を他の特殊な値で拡張したりするために使用できますが、このような拡張は一般的ではありません。

ここで説明する IEEE 754 標準のより難解な機能 (拡張形式、NaN、無限大、非正規数など) は、数値解析者や高度な数値アプリケーションにのみ関係する、という誤解がよくあります。実際はその逆です。これらの機能は、専門家による高度な数値ライブラリのサポートに加えて、数値解析に詳しくないプログラマーに安全で堅牢なデフォルトを提供するように設計されています。 IEEE 754 の主要設計者であるウィリアム・カーハンは、 「数値の専門家以外には利用できない機能であると認識されている IEEE 標準 754 の 2 進浮動小数点演算の機能を...[見なす]のは誤りである。事実は全く逆である。1977 年に、これらの機能は可能な限り幅広い市場に対応するために Intel 8087 に設計された...エラー分析により、IEEE 標準 754 のような浮動小数点演算を、プログラマーの善意による無知に対して適度に許容するように設計する方法がわかる」と指摘している。^[41]

• 無限大や NaN などの特殊な値は、浮動小数点演算が代数的に完全であることを保証します。つまり、すべての浮動小数点演算は明確に定義された結果を生成し、デフォルトではマシン割り込みやトラップをスローしません。さらに、例外的な場合に返される特殊な値の選択は、多くの場合に正しい答えを返すように設計されています。たとえば、IEEE 754 演算では、 R(z) := 7 − 3/[z − 2 − 1/(z − 7 + 10/[z − 2 − 2/(z − 3)])] などの連分数は、すべての入力に対して正しい答えを返します。これは、たとえばz = 3の場合のゼロ除算が + 無限大を与えることで正しく処理されるため、このような例外は無視しても問題ありません。^{[42]カハンが指摘したように、}アリアン5ロケットの損失の原因となった浮動小数点から16ビット整数への変換オーバーフローに続く未処理のトラップは、デフォルトのIEEE 754浮動小数点ポリシーでは発生しなかっただろう。^[41]
• 非正規数は有限の浮動小数点数xとyに対して、x = yの場合にのみx − y = 0となることを保証するが、これは予想通りであるが、以前の浮動小数点表現では成立しなかった。^[43]
• x87 80ビット形式の設計原理について、Kahanは次のように述べている。「この拡張形式は、速度の低下がほとんどなく、浮動小数点および倍精度オペランドを使用する最も単純な演算を除くすべての演算に使用できるように設計されています。たとえば、多項式評価、スカラー積、部分分数と連分数などの再帰を実装するループ内のスクラッチ変数に使用する必要があります。これにより、単純なアルゴリズムを台無しにする可能性のある、時期尚早なオーバーフロー/アンダーフローや深刻なローカルキャンセルを回避できることがよくあります。」^{[44]高精度と拡張指数を使用して拡張形式で中間結果を計算することは、科学}計算の歴史的な実践と科学計算機の設計で前例があります。たとえば、ヒューレット・パッカードの金融計算機は、算術関数と金融関数を、格納または表示される小数点以下3桁まで実行しました。^{[44]拡張精度の実装により、通常は}最後の桁の1単位（ULP）以内の倍精度結果を高速で提供する標準的な基本関数ライブラリを簡単に開発できるようになりました。
• 値を最も近い表現可能な値に正しく丸めると、計算における体系的な偏りが回避され、エラーの増加が遅くなります。同点を均等に丸めると、同様の数字を加算するときに発生する可能性のある統計的な偏りが除去されます。
• 有向丸めは、たとえば区間演算において、誤差の境界をチェックする補助として意図されていました。また、いくつかの関数の実装にも使用されます。
• 演算の数学的基礎、特に正しい丸めにより、数学的特性を証明し、2Sum、Fast2Sum、Kahan 加算アルゴリズムなどの浮動小数点アルゴリズムを設計して、たとえば精度を向上させたり、多倍長演算サブルーチンを比較的簡単に実装したりすることが可能になります。

単精度および倍精度形式の特徴は、そのエンコードにより、ビットが符号付き絶対値の整数を表しているかのように、浮動小数点ハードウェアを使用せずに簡単にソートできることですが、これが設計上の考慮事項であったかどうかは不明です（以前のIBM 16 進浮動小数点表現にも、正規化された数値に対してこの特徴があったことは注目に値します）。一般的な2 の補数表現では、ビットを符号付き整数として解釈すると、正の値は正しくソートされますが、負の値は逆になります。これを修正する方法の 1 つとして、正の値の符号ビットと負の値のすべてのビットを反転するxor を使用すると、すべての値が符号なし整数（ -0 < +0）としてソート可能になります。 ^[35]

この標準では、ユーザー定義のデフォルト値の事前置換、トラップ (何らかの方法で制御フローを変更する例外)、および try/catch などのフローを中断するその他の例外処理モデルなど、さまざまな形式でのオプションの例外処理が推奨されています。トラップやその他の例外メカニズムは、IEEE 754-1985 と同様にオプションのままです。

標準規格の第9項では、言語規格で定義すべき追加の数学演算^{[45]を推奨しています。 [46]} 標準規格に準拠するために必須の演算はありません。

以下は推奨される算術演算であり、正しく丸められなければならない。^[47]

• ${\displaystyle e^{x}}$、、​${\displaystyle 2^{x}}$${\displaystyle 10^{x}}$
• ${\displaystyle e^{x}-1}$、、​${\displaystyle 2^{x}-1}$${\displaystyle 10^{x}-1}$
• ${\displaystyle \lnx}$、、​${\displaystyle \log_{2}x}$${\displaystyle \log_{10}x}$
• ${\displaystyle \ln(1+x)}$、、​${\displaystyle \log_{2}(1+x)}$${\displaystyle \log_{10}(1+x)}$
• ${\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$
• ${\displaystyle 1{\big /}{\sqrt {x{\vphantom {t}}}}}$
• ${\displaystyle (1+x)^{n}}$（名前付き化合物であり、指数関数的増加を計算するために使用される。その率は−1未満にはならない）^[48]${\displaystyle x\geq -1}$
• ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}}}$
• ${\displaystyle x^{n}}$、${\displaystyle x^{y}}$
• ${\displaystyle \sin x}$、、​${\displaystyle \cos x}$${\displaystyle \tan x}$
• ${\displaystyle \arcsin x}$、、、​​${\displaystyle \arccos x}$${\displaystyle \arctan x}$${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$
• ${\displaystyle \operatorname {sinPi} x=\sin \pi x}$、、（πの倍数も参照）${\displaystyle \operatorname {cosPi} x=\cos \pi x}$${\displaystyle \operatorname {tanPi} x=\tan \pi x}$
• ${\displaystyle \operatorname {asinPi} x={\tfrac {1}{\pi }}\arcsin x}$、、、（πの倍数も参照）${\displaystyle \operatorname {acosPi} x={\tfrac {1}{\pi }}\arccos x}$${\displaystyle \operatorname {atanPi} x={\tfrac {1}{\pi }}\arctan x}$${\displaystyle \operatorname {atan2Pi} (y,x)={\tfrac {1}{\pi }}\operatorname {atan2} (y,x)}$
• ${\displaystyle \sinh x}$、、​${\displaystyle \cosh x}$${\displaystyle \tanh x}$
• ${\displaystyle \operatorname {arsinh} x}$、、​${\displaystyle \operatorname {arcosh} x}$${\displaystyle \operatorname {artanh} x}$

、および関数は必要性が低いと判断されたため、IEEE 754-2008規格には含まれませんでした。^[49]およびについても言及されていましたが、これは誤りとみなされました。^[5]これら3つはすべて2019年の改訂版で追加されました。 ${\displaystyle \operatorname {asinPi} }$${\displaystyle \operatorname {acosPi} }$${\displaystyle \operatorname {tanPi} }$ ${\displaystyle \operatorname {asinPi} }$${\displaystyle \operatorname {acosPi} }$

推奨される操作には、動的モードの丸め方向の設定とアクセスも含まれ、^[50]実装定義のベクトル縮小操作（合計、スケール積、ドット積など）が含まれますが、その精度は標準では指定されていません。^[51]

2019年現在^[update]、バイナリ形式の拡張算術演算^[52]も推奨されています。加算、減算、乗算に指定されたこれらの演算は、形式で最も近い値に正しく丸められた結果と、形式で正確に表現できる誤差項からなる値のペアを生成します。標準の発行時点では、ハードウェア実装は知られていませんが、よく知られたアルゴリズムを使用して、非常によく似た演算がソフトウェアですでに実装されていました。標準化の歴史と動機は、背景文書で説明されています。^{[53] [54]}

2019年現在、IEEE 754-2008で以前必須であったminNum、maxNum、minNumMag、maxNumMagは、非結合性のため非推奨となっています。代わりに、2セットの新しい最小および最大演算が推奨されています。^[55] 最初のセットには、 minimum、minimumNumber、maximum、およびmaximumNumberが含まれます。2番目のセットには、minimumMagnitude、minimumMagnitudeNumber、maximumMagnitude、およびmaximumMagnitudeNumberが含まれます。この変更の履歴と動機については、背景文書で説明されています。^[56]

この標準では、言語標準が演算シーケンスのセマンティクスをどのように指定すべきかを推奨し、結果の値を変更するリテラルの意味と最適化の微妙な点を指摘しています。対照的に、以前の1985 年バージョンの標準では、言語インターフェイスの側面が指定されていなかったため、コンパイラ間の動作に一貫性がなかったり、最適化コンパイラで異なる最適化レベルが発生したりしていました。

プログラミング言語では、ユーザーが各基数の式の中間計算の最小精度を指定できるようにする必要があります。これは標準ではpreferredWidthと呼ばれ、ブロックごとに設定できる必要があります。式内の中間計算は、オペランドの幅と、設定されている場合は優先幅の最大値を使用して計算され、一時データが保存される必要があります。したがって、たとえば、x87浮動小数点ハードウェアをターゲットとするコンパイラには、中間計算で拡張倍精度形式を使用する必要があることを指定する手段が必要です。後続の式を評価するときは、丸めて変数に割り当てる前の前駆値ではなく、変数に格納された値を常に使用する必要があります。

IEEE 754-1985 バージョンの標準では、実装において多くのバリエーションが許可されていました (一部の値のエンコードや特定の例外の検出など)。IEEE 754-2008 ではこれらの許可が削減されましたが、いくつかのバリエーションはまだ残っています (特にバイナリ形式の場合)。再現性条項では、言語標準が再現可能なプログラム (つまり、言語のすべての実装で同じ結果を生成するプログラム) を作成する手段を提供することを推奨し、再現可能な結果を​​達成するために何を行う必要があるかを説明しています。

標準では、基本形式と外部文字シーケンス形式間の変換操作が必要です。^[57]すべての形式で、10進文字形式との間の変換が必要です。外部文字シーケンスへの変換は、最も近い偶数に丸め、偶数に丸めることで元の数値を復元できるものでなければなりません。静かなNaNまたはシグナリングNaNのペイロードを保持する必要はなく、外部文字シーケンスからの変換によってシグナリングNaNが静かなNaNに変換される可能性があります。

元の2進値は、次のように10進数に変換して戻すことで保存されます。^[58]

• 2進数16進数の場合は5桁
• バイナリ32の場合は9桁の10進数、
• バイナリ64の場合は17桁の10進数、
• バイナリ128の場合は36桁の10進数。

他のバイナリ形式の場合、必要な小数点以下の桁数は^[h]です。

${\displaystyle 1+\lceil p\log _{10}(2)\rceil ,}$

ここで、p はバイナリ形式の有効ビット数です。たとえば、binary256 の場合は 237 ビットです。

10 進浮動小数点形式を使用する場合、10 進表現は次のように保持されます。

• 10進数32の場合は7桁、
• 10進数64の場合は16桁、
• 10進数128の場合は34桁の10進数。

2進数から10進数、10進数から2進数への正しく丸められた変換のアルゴリズムとコードについては、Gay ^[59]によって議論されており、テストについてはPaxsonとKahan ^{[60]によって議論されている。}

この標準では、 C99の16進浮動小数点リテラルに基づいて、外部16進仮数文字シーケンスとの間の変換を提供することが推奨されています。このようなリテラルは、オプションの符号（または）、インジケータ「0x」、ピリオドの有無にかかわらず16進数、指数インジケータ「p」、およびオプションの符号付きの10進指数で構成されます。構文では大文字と小文字は区別されません。^[61] 10進指数は2の累乗でスケーリングされるため、たとえば1/256になります。^[62]+-0x0.1p-4

• bfloat16 浮動小数点形式
• ビナーデ
• コプロセッサ
• IEEE 754 機能へのアクセスと使用を示すコード例についてはC99 を参照してください。
• 浮動小数点演算、IEEE 754 機能の歴史、設計原理、使用例
• 固定小数点演算、有理数を使った計算の代替アプローチ（コンパイル時に指数範囲が既知、固定、または制限されている場合に特に有益）
• IBM System z9 は、IEEE 754-2008 10進演算を実装した最初のCPUです（ハードウェアマイクロコードを使用）。
• IBM z10、IBM z196、IBM zEC12、IBM z13、IEEE 754-2008 10進演算をハードウェアで完全に実装した CPU
• ISO/IEC 10967、言語に依存しない算術演算（LIA）
• Minifloat、IEEE 754 原則に準拠した低精度の 2 進浮動小数点形式
• IEEE 754-2008 10進演算をハードウェアで完全に実装したPOWER6、POWER7、およびPOWER8 CPU
• strictfpは、 Java プログラミング言語の廃止されたキーワードで、以前は一般的なハードウェア プラットフォーム間での再現性を確保するために、算術演算を IEEE 754 の単精度と倍精度に制限していました (Java 17 以降では、この動作が必須です)。
• 関数の正しい丸めの詳細については、テーブル作成者のジレンマを参照してください。
• 標準の Apple Numerics 環境
• テーパード浮動小数点
• 代替の数値形式であるPosit

• IEEE バイナリ浮動小数点演算標準。ANSI/IEEE STD 754-1985。IEEE。1985-10-12。pp. 1–20。doi :10.1109/ IEEESTD.1985.82928。ISBN 0-7381-1165-1。
• IEEE コンピュータ協会 (2008-08-29)。IEEE浮動小数点演算標準。IEEE STD 754-2008。IEEE。pp. 1–70。doi : 10.1109/ IEEESTD.2008.4610935。ISBN 978-0-7381-5753-5IEEE 規格 754-2008。
• IEEE コンピュータ協会 (2019-07-22)。IEEE浮動小数点演算標準。IEEE STD 754-2019。IEEE。pp. 1–84。doi : 10.1109/ IEEESTD.2019.8766229。ISBN 978-1-5044-5924-2IEEE 規格 754-2019。
• ISO/IEC JTC 1/SC 25 (2011 年 6 月)。ISO/IEC/IEEE 60559:2011 - 情報技術 - マイクロプロセッサ システム - 浮動小数点演算。ISO。pp. 1–58。{{cite book}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• ISO/IEC JTC 1/SC 25 (2020 年 5 月). ISO/IEC 60559:2020 — 情報技術 — マイクロプロセッサシステム — 浮動小数点演算. ISO. pp. 1–74.{{cite book}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)

• 10進浮動小数点演算、FAQ、参考文献、リンク
• 2進浮動小数点数の比較
• IEEE 754 参考資料
• IEEE 854-1987 – 歴史と議事録
• IEEE 754 の補足資料。歴史的観点も含まれています。

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• IEEE 標準浮動小数点の作成について語る Kahan。チューリング賞受賞者クリップ。2020 年 11 月 16 日。2021 年 11 月 8 日にオリジナルからアーカイブ。