流体力学的安定性

流体力学において、流体力学的安定性は、流体の流れの安定性と不安定性の発現を分析する分野である。流体力学的安定性の研究は、与えられた流れが安定しているか不安定であるかを調べ、安定している場合、これらの不安定性がどのように乱流の発達を引き起こすかを明らかにすることを目的とする。^[1]流体力学的安定性の基礎は、理論的および実験的に、 19世紀にヘルムホルツ、ケルビン、レイリー、レイノルズによって最も顕著に築かれた。 ^[1]これらの基礎は、流体力学的安定性を研究するための多くの有用なツールを与えた。これらには、レイノルズ数、オイラー方程式、ナビエ・ストークス方程式が含まれる。流れの安定性を研究する場合、より単純化されたシステム、例えば非圧縮性および非粘性流体を理解することは有用であり、それはさらにより複雑な流れへと発展させることができる。^[1] 1980年代以降、より複雑な流れをモデル化および分析するために、より多くの計算方法が使用されている。

流体の流れの異なる状態を区別するには、流体が初期状態における外乱にどのように反応するかを考慮する必要があります。^{[2]これらの外乱は、}速度、圧力、密度などのシステムの初期特性に関係します。ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、安定した流れと不安定な流れという定性的な概念を次のようにうまく表現しました。^[1]

「現在の状態の無限小の変化が、将来のある時点での状態を無限小量だけ変化させる場合、システムの状態は、静止しているか運動しているかにかかわらず、安定していると言われます。しかし、現在の状態の無限小の変化が有限の時間内にシステムの状態に有限の違いをもたらす可能性がある場合、システムは不安定であると言われます。」

つまり、安定した流れの場合、外乱とみなされるどんな極小の変化も、システムの初期状態に目立った影響を与えず、やがて消えていくということです。 ^[2]流体の流れが安定しているとみなされるためには、あらゆる外乱に対して安定していなければなりません。これは、流体の流れが不安定になる外乱モードが存在しないことを意味します。^[1]

一方、不安定な流れの場合、いかなる変動もシステムの状態に何らかの顕著な影響を及ぼし、その結果、擾乱の振幅が大きくなり、システムは徐々に初期状態から離れ、決して初期状態に戻らなくなります。^[2]これは、流れが不安定になる擾乱のモードが少なくとも1つ存在し、そのため、擾乱が既存の力の平衡を歪めることを意味します。^[3]

流れの安定性を決定するのに使われる重要なツールは、 1850年代初頭にジョージ・ガブリエル・ストークスによって初めて提唱されたレイノルズ数（Re）です。1880年代初頭にこの考えをさらに発展させたオズボーン・レイノルズに関連して、この無次元数は慣性項と粘性項の比率を与えます。^[4]物理的な意味では、この数は流体の運動量による力（慣性項）と、流れる流体の異なる層の相対運動から生じる力（粘性項）の比率です。この式は^[2] で、 $${\displaystyle R_{e}={\frac {\text{慣性}}{\text{粘性}}}={\frac {\rho u^{2}}{\frac {\mu u}{L}}}={\frac {\rho uL}{\mu }}={\frac {uL}{\nu }}}$$

レイノルズ数は、流れが安定しているか不安定であるかのカットオフポイント、すなわち臨界レイノルズ数を提供できるため便利です。これが増加すると、不安定性につながる可能性のある乱れの振幅が小さくなります。^[1]レイノルズ数が高いと、流体の流れが不安定になることは間違いありません。レイノルズ数を高くするには、いくつかの方法があります。たとえば、が小さい値の場合、またはとが大きい値の場合です。^[2]これは、不安定性がほぼ即座に発生し、流れが不安定または乱流になることを意味します。^[1]${\displaystyle R_{c}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle {\text{u}}}$

流体の流れの安定性を解析的に調べるには、流体力学的安定性が、磁気流体力学、プラズマ物理学、弾性などの他の分野における安定性と多くの共通点があることに注目すると便利です。物理学はそれぞれ異なりますが、使用される数学と手法は似ています。基本的な問題は非線形偏微分方程式によってモデル化され、既知の定常および非定常解の安定性が調べられます。^[1]ほとんどすべての流体力学的安定性の問題の支配方程式は、ナビエ・ストークス方程式と連続方程式です。ナビエ・ストークス方程式は次のように与えられます。^[1] $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\ mathbf {u} =-\nabla p_{0}+\mathbf {b} ,}$$

どこ

• ${\displaystyle \mathbf {u} }$流体の速度場である
• ${\displaystyle p_{0}}$流体の圧力である
• ${\displaystyle \mathbf {b} }$流体に作用する体積力、例えば重力
• ${\displaystyle \nu}$動粘性は
• ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$時間に関する速度場の偏微分
• ${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$勾配演算子

ここでは、方程式の左側の速度場に対して作用し、右側の圧力に対して作用する 演算子として使用されています。${\displaystyle \nabla}$

連続の方程式は次のように与えられます。 ここで、は密度の物質微分です。 $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}+\rho \,\nabla \cdot \mathbf {u} =0}$$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}}$

再び がの演算子として使用され、速度の 発散を計算します。${\displaystyle \nabla}$${\displaystyle \mathbf {u} }$

しかし、検討中の流体が非圧縮性、つまり密度が一定である場合、次のようになります。 ${\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\rho }}}{Dt}}=0}$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$$

流れが非圧縮性であるという仮定は適切であり、ほとんどの速度で移動するほとんどの流体に適用されます。この形式の仮定は、ナビエ-ストークス方程式をオイラー方程式などの扱いやすい微分方程式に簡略化するのに役立ちます。

非粘性の流れを考えると、粘性力は小さく計算では無視できるため、オイラーの方程式が得られます。 $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-\nabla p_{0}}$$

この場合、非粘性流体を想定していますが、この想定は境界がある流れには当てはまりません。境界が存在すると境界層に粘性が生じ、これを無視することはできず、ナビエ・ストークス方程式に戻ります。さまざまな状況下でこれらの支配方程式の解を見つけ、その安定性を判断することが、流体の流れ自体の安定性を判断する基本原則です。

流れが安定しているか不安定かを判断するために、線形安定性解析法がよく使用されます。このタイプの解析では、支配方程式と境界条件が線形化されます。これは、「安定」または「不安定」の概念が、無限に小さな外乱に基づいているという事実に基づいています。このような外乱の場合、異なる波長の外乱が独立して発生すると想定するのが妥当です。(非線形支配方程式では、異なる波長の外乱が相互に作用します。)

分岐理論は 、与えられた流れの安定性と、与えられたシステムの構造に生じる変化を研究するのに役立つ方法です。流体力学的安定性は、一連の微分方程式とその解です。分岐は、システムのパラメータの小さな変化がその動作に質的な変化を引き起こすときに発生します。^[1]流体力学的安定性の場合に変化するパラメータはレイノルズ数です。分岐の発生は不安定性の発生と一致することが示されています。^[1]

実験室での実験は、より複雑な数学的手法を使用せずに、特定の流れに関する情報を得る非常に便利な方法です。 流れの経時的な変化を物理的に観察することは、数値的アプローチと同じくらい便利な場合があり、これらの実験から得られた知見は、基礎理論に関連付けることができます。 実験分析は、支配的なパラメータを非常に簡単に変更でき、その効果が目に見えるため、便利です。

分岐理論や弱非線形理論などのより複雑な数学理論を扱う場合、そのような問題を数値的に解くのは非常に困難で時間がかかりますが、コンピュータの助けを借りれば、このプロセスははるかに簡単かつ迅速になります。 1980 年代以降、計算分析はますます有用になり、ナビエ・ストークス方程式などの支配方程式を解くことができるアルゴリズムの改善により、さまざまなタイプの流れに対してより正確に積分できるようになりました。

ケルビン・ヘルムホルツ不安定性(KHI) は、自然界で見られる流体力学的安定性の応用例です。これは、異なる速度で流れる 2 つの流体がある場合に発生します。流体の速度の差により、2 つの層の界面でせん断速度が発生します。 ^[3]一方の流体のせん断速度がもう一方の流体にせん断応力を誘発し、これが拘束表面張力よりも大きい場合、両者の界面に沿って不安定性が発生します。^[3]この動きにより、ケルビン・ヘルムホルツ不安定性の特徴である一連の転覆する海洋波が発生します。実際、見かけ上の海洋波のような性質は、流体が何らかの軸の周りを回転するときに形成される渦形成の例であり、この現象と関連付けられることがよくあります。

ケルビン・ヘルムホルツ不安定性は、土星や木星などの惑星の大気中の帯状の現象、例えば巨大赤斑渦に見られる。巨大赤斑の周囲の大気には、木星の大気の異なる層の境界面におけるせん断力によって引き起こされる、知られている中で最大のケルビン・ヘルムホルツ不安定性の例がある。先に述べた海の波のような特徴がはっきりと見える画像が数多く撮影されており、4つのせん断層が見える。^[5]

気象衛星は、この不安定性を利用して、大きな水域の風速を測定します。波は風によって発生し、風は水と周囲の空気の境界で水をせん断します。衛星に搭載されたコンピューターは、波の高さを測定することで海の荒さを判断します。これは、レーダーを使用して行われます。レーダーでは、無線信号が表面に送信され、反射信号からの遅延が記録されます。これは「飛行時間」として知られています。これにより、気象学者は雲の動きと、雲の近くで予想される空気の乱気流を理解することができます。

レイリー・テイラー不安定性は流体力学的安定性の別の応用であり、2つの流体の間で発生しますが、この場合は流体の密度が異なります。^[6]密度の違いにより、2つの流体は結合した位置エネルギーを減らそうとします。^[7]密度の低い流体は上方向に移動しようとし、密度の高い流体は下方向に移動しようとします。^[6]したがって、2つの可能性があります。軽い流体が上にある場合、界面は安定していると言えますが、重い流体が上にある場合は、システムの平衡は界面のいかなる擾乱に対しても不安定になります。 この場合、両方の流体が混ざり始めます。^[6]少量の重い流体が下方向に押し下げられ、同量の軽い流体が上方向に押し上げられると、位置エネルギーは初期状態よりも低くなります。^[7]そのため、擾乱が大きくなり、レイリー・テイラー不安定性に関連する乱流につながります。^[6]

この現象は、かに星雲などの星間ガスで見られます。磁場と宇宙線によって銀河面から押し出され、通常のスケールの高さを超えて押し出されるとレイリー・テイラー不安定になります。^[6]この不安定性は、火山の噴火や原子爆弾などの過程で形成される キノコ雲も説明します。

レイリー・テイラー不安定性は地球の気候に大きな影響を与える。グリーンランドとアイスランドの海岸から吹く風は、通過する海面の蒸発を引き起こし、海面近くの海水の塩分濃度を高め、海面近くの水をより濃くする。これによりプルームが発生し、海流が推進される。このプロセスはヒートポンプとして機能し、暖かい赤道の水を北に運ぶ。海洋の反転がなければ、北ヨーロッパは気温の急激な低下に直面する可能性が高い。^[6]

二成分液体混合物中に均一に分散したコロイド粒子（通常、サイズは 1 ナノメートルから 1 ミクロンの範囲）の存在は、たとえシステムが最初は安定した重力平衡の状態にあったとしても、対流流体力学的不安定性を引き起こす可能性があります（したがって、上で説明したレイリー・テイラー不安定性とは逆です）。液体に、高さとともに濃度が減少する重い分子溶質が含まれている場合、システムは重力的に安定しています。実際、流体の一部が自発的な変動により上方に移動すると、密度の低い流体に囲まれることになり、下方に押し戻されます。したがって、このメカニズムは対流運動を抑制します。ただし、二成分混合物に均一に分散したコロイド粒子が含まれている場合、このメカニズムは機能しないことが示されています。その場合、システムが重力的に安定していても対流運動が発生します。^[8] この不安定性を理解するための鍵となる現象は拡散泳動である。コロイド粒子と液体溶液の間の界面エネルギーを最小化するために、分子溶質の勾配がコロイドの内部移動を決定し、コロイドを上方に持ち上げ、底部でコロイドを枯渇させる。言い換えれば、コロイドは液体混合物よりもわずかに密度が高いため、高さとともに密度が局所的に増加する。この不安定性は、温度勾配がない場合でも、液体が底から加熱されたときに観察されるもの（ レイリー・ベナール対流として知られる）に似た対流運動を引き起こし、上方移動は熱膨張によるものであり、パターン形成につながる。^[8] この不安定性は、熱帯魚のカラフルな縞模様など、動物が複雑で独特の模様を得る仕組みを説明しています。^[9]

• 流体力学的不安定性のリスト
• 層流-乱流遷移
• プラズマの安定性
• スクワイアの定理
• テイラー・クエット流

• 「流れの不安定性」。全米流体力学フィルム委員会 (NCFMF) 。2009年3 月 9 日閲覧。
• 「Advanced Instability Methods (AIM) Network」。さまざまな著者による。2015年2月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年5月12日閲覧。
• Shankar, V (2014). 「流体力学的安定性入門」(PDF) . インド工科大学カンプール校数学部. 2015 年10 月 31 日閲覧。