シータ対応

数学において、シータ対応またはハウ対応は、簡約双対の2 つのグループの表現間の数学的な関係です。局所シータ対応は、局所体上の既約許容表現を関連付け、大域シータ対応は、大域体上の既約保型表現を関連付けます。

シータ対応は、Howe (1979) でロジャー・ハウによって導入されました。その名前は、 Weil (1964) におけるシータ級数の理論のアンドレ・ヴェイユによる表現論的定式化に由来しています。Waldspurger (1980) および Waldspurger (1991) でジャン＝ルー・ヴァルドスパーガーによって構築された志村対応は、シータ対応の例として見ることができます。

を特性を持たない局所体または大域体とします。を 上のシンプレクティックベクトル空間とし、シンプレクティック群とします。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2}$${\displaystyle W}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Sp(W)}$

における簡約双対を 固定する。簡約双対の分類がある。^{[1] [2]}${\displaystyle (G,H)}$${\displaystyle Sp(W)}$

${\displaystyle F}$は局所体になりました。の非自明な加法特性 を修正します。に関連付けられたメタプレクティック群のWeil 表現が存在し、これを と書きます。 ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Mp(W)}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \omega _{\psi }}$

における簡約双対が与えられれば、からへの射影写像を引き戻すことによって、における可換な部分群のペアが得られます。 ${\displaystyle (G,H)}$${\displaystyle Sp(W)}$${\displaystyle ({\ワイドティルデ {G}},{\ワイドティルデ {H}})}$${\displaystyle Mp(W)}$${\displaystyle Mp(W)}$${\displaystyle Sp(W)}$

局所シータ対応は、 の特定の既約許容表現と の特定の既約許容表現との間の 1-1 対応であり、 の Weil 表現をサブグループ に制限することによって得られます。この対応は、Howe (1979) でRoger Howeによって定義されました。これが 1-1 対応であるという主張は、 Howe 双対性予想と呼ばれます。 ${\displaystyle {\ワイドティルダ {G}}}$${\displaystyle {\ワイドティルダ {H}}}$${\displaystyle \omega _{\psi }}$${\displaystyle Mp(W)}$${\displaystyle {\widetilde {G}}\cdot {\widetilde {H}}}$

局所シータ対応の重要な性質としては、ベルンシュタイン-ゼレビンスキー誘導^[3]との互換性や、ウィット塔に沿った初生指数に関する保存関係などが挙げられる^{[4] 。}

スティーブン・ラリスは、ハウ双対性予想がすべての局所的場所に対して有効であると仮定して、大域体上の尖点自己同型表現に対する大域ハウ双対性予想のバージョンを示した。 ^[5]

の商として実現できる、 の既約許容表現の集合を定義します。同様に、 および を定義します。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {G}},\omega _{\psi })}$${\displaystyle {\ワイドティルダ {G}}}$${\displaystyle \omega _{\psi }}$${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {H}},\omega _{\psi })}$${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {G}}\cdot {\widetilde {H}},\omega _{\psi })}$

ハウ双対性予想は、が との間の一対一のグラフであることを主張します。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {G}}\cdot {\widetilde {H}},\omega _{\psi })}$${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {G}},\omega _{\psi })}$${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {H}},\omega _{\psi })}$

アルキメデス局所体に対するハウ双対性予想は、ロジャー・ハウによって証明された。^[6]奇数を含む -進局所体については、ジャン＝ルー・ヴァルトシュパーガーによって証明された。^{[7]アルベルト・ミンゲスは後に、}一般線型群の双対に対して証明を与えたが、これは任意の留数特性に対して有効である。^[8]直交シンプレクティックまたはユニタリ双対については、ウィー・テック・ガンと武田修一郎によって証明された。^{[9]四元数双対の最後のケースは}、ウィー・テック・ガンとビンヨン・サンによって完成された。^[10]${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

• 還元的双対
• メタプレクティックグループ

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• Gan, Wee Teck ; Sun, Binyong (2017)、「ハウ双対性予想: 四元数の場合」、Cogdell, J.、Kim, J.-L.、Zhu, C.-B. (編)、『表現理論、数論、不変理論』、Progr. Math.、323、Birkhäuser/Springer、pp. 175–192
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• Waldspurger、Jean-Loup (1991)、「Correspondances de Shimura et quaternions」、Forum Math。、3 (3): 219–307、土井:10.1515/form.1991.3.219、S2CID  123512840
• Weil、André (1964)、「Sur specifics groupes d'opérateurs unaires」、Acta Math。、111 : 143–211、土井: 10.1007/BF02391012