ヘウン関数

数学では、局所ヒューン関数${\displaystyle H\ell (a,q;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z)}$^{[ 1 ]}は、特異点z=Heun の微分方程式の解です。局所 Heun 関数はz=でも正則である場合はHeun 関数、Hf、3 つの有限特異点z=0、1、aHeun 多項式と呼ばれ、Hp。         

ドイツの数学者カール・ホインにちなんで名付けられた。

Heunの方程式は、次の形式の2階線形常微分方程式（ODE）である。

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0.}$

状態${\displaystyle \epsilon =\alpha +\beta -\gamma -\delta +1}$は、無限遠における正則特異点の特性指数がαとβとなるように取られる（下記参照）。

複素数qは補助パラメータと呼ばれます。 Heun の方程式には、指数が (0, 1 − γ)、(0, 1 − δ)、(0, 1 − ϵ)、(α, β) である 0、1、a、および ∞ の 4つの正則特異点があります。Lamé方程式や超幾何微分方程式など、拡張複素平面上の最大 4 つの正則特異点を持つすべての 2 階線形常微分方程式は、変数変換によってこの方程式に変換できます。           

Heun方程式の様々な正則特異点が合体して不規則特異点になると、以下の表に示すように、方程式のいくつかの合流形式が生じる。

Heunの方程式のq類似体はHahn （1971 ）^{[ 3 ]}によって発見され、2017年にTakemuraによって研究された^{[ 4 ]。} 

_{Heunの方程式は、}コクセター図D4のコクセター群と同型な192次の対称群を持ち、Kummerによって得られた超幾何微分方程式の24の対称性と類似している。

局所 Heun 関数を固定する対称性は、4 つの点の対称群と同型な位数 24 の群を形成するため、これらの対称性を局所 Heun 関数に作用させることで、本質的に異なる 192/24 =  8 =  2 × 4 個の解が得られ、それぞれが 4 つの特異点の 2 つの指数のそれぞれに対応する解を与えます。192 個の対称性の完全なリストは、Maier (2007) ^{[ 5 ]}が機械計算を使用して与えました。さまざまな著者が以前に手作業でこれらをリストアップしようと試みましたが、多くのエラーや省略がありました。たとえば、Heun がリストした 48 個の局所解のほとんどには深刻なエラーが含まれています。  

• ハイネ・スティルチェス多項式は、ヒューン多項式の一般化である。

• A. エルデリー、F. オーバーヘッティンガー、W. マグナス、F. トリコミ著『高次超越関数』第3巻（マグロウヒル、ニューヨーク、1953年）。
• Forsyth, Andrew Russell (1959) [1906],微分方程式の理論。4. 常線形方程式、ニューヨーク：ドーバー出版、p.  158、MR 0123757 
• Ronveaux, A. 編 (1995)、Heun の微分方程式、Oxford Science Publications、The Clarendon Press、Oxford University Press、ISBN 978-0-19-859695-0MR 1392976​ 
• Sleeman, BD; Kuznetzov, VB (2010)、「Heun関数」、Olver, Frank WJ、Lozier, Daniel M.、Boisvert, Ronald F.、Clark, Charles W. (編)、NIST数学関数ハンドブック、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ 。
• Valent, Galliano (2007)、「Heun関数と楕円関数」、差分方程式、特殊関数、直交多項式、World Sci. Publ.、Hackensack、NJ、pp. 664–686、arXiv : math-ph/0512006、doi : 10.1142/9789812770752_0057、ISBN  978-981-270-643-0MR 2451210、S2CID 8520520​