ホッジ・ド・ラムスペクトル列

数学において、ホッジ・ド・ラーム スペクトル列（ WVD ホッジとジョルジュ・ド・ラームにちなんで名付けられた ）は、フレーリッヒャー スペクトル列（実際に発見したアルフレッド・フレーリッヒャーにちなんで名付けられた）を説明するために時々使用される別名である。このスペクトル列は、一般複素多様体のドルボー コホモロジーおよびド・ラーム コホモロジー間の厳密な関係を説明する。コンパクトなケーラー多様体上では、列は退化し、それによってド・ラームコホモロジーのホッジ分解につながる。

スペクトルの順序は次のとおりです。

${\displaystyle H^{q}(X,\Omega ^{p})\Rightarrow H^{p+q}(X,\mathbf {C} )}$

ここで、Xは複素多様体、は複素係数を持つそのコホモロジーであり、スペクトル列の -ページである左側の項は、正則微分形式の層の値を持つコホモロジーである。上記のスペクトル列の存在は、層の複素数の準同型を与える ポアンカレの補題から導かれる。${\displaystyle H^{p+q}(X,\mathbf {C} )}$${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle \mathbf {C} \rightarrow \Omega ^{*}:=[\Omega ^{0}{\stackrel {d}{\to }}\Omega ^{1}{\stackrel {d}{\to }}\cdots \to \Omega ^{\dim X}],}$

フィルタリングされた物体から生じる通常のスペクトルシーケンス（この場合はホッジフィルタリング）とともに

${\displaystyle F^{p}\Omega ^{*}:=[\cdots \to 0\to \Omega ^{p}\to \Omega ^{p+1}\to \cdots ]}$

の。 ${\displaystyle \Omega^{*}}$

このスペクトル列に関連する中心定理は、コンパクトなケーラー多様体 X、例えば射影多様体に対して、上記のスペクトル列は-page で退化するということである。特に、ホッジ分解と呼ばれる同型を与える。${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle \bigoplus _{p+q=n}H^{p}(X,\Omega ^{q})=H^{n}(X,\mathbf {C} ).}$

スペクトル列の退化はホッジ理論を用いて示すことができる。^{[1] [2]}この退化の相対的な状況における拡張、すなわち適切な滑らかな写像は、ドリーニュによっても示された。^[3]${\displaystyle f:X\to S}$

標数0の体上の滑らかな真多様体の場合、スペクトル列は次のようにも書ける。

${\displaystyle H^{q}(X,\Omega ^{p})\Rightarrow H^{p+q}(X,\Omega ^{*}),}$

ここで、 はX上の代数微分形式（ケーラー微分とも呼ばれる）の層を表し、は（代数的）ド・ラーム複体であり、の微分が外導関数であるものから構成されます。この形態では、スペクトル列のすべての項は純粋に代数的な性質（解析的性質ではなく）を持ちます。特に、このスペクトル列の退化の問題は、特性p >0の体上の多様体に対して意味を持ちます。 ${\displaystyle \Omega ^{p}}$${\displaystyle \Omega ^{*}}$${\displaystyle \Omega ^{q}}$

Deligne & Illusie (1987) は、正の標数pの完全体k上の滑らかな適切なスキームXに対して、 dim( X )< pかつXが長さ 2 のウィットベクトルの環W ₂ ( k ) 上の滑らかな適切な持ち上げを許容する場合 (たとえば、k = F _pの場合、この環はZ / p ²になる)、スペクトル列が退化することを示した。彼らの証明では、正の標数にのみ存在するカルティエ同型を使用している。標数p >0 でのこの退化の結果は、標数 0 の体上の Xのスペクトル列の退化を証明するのにも使用できる。

多様体のド・ラーム複体とド・ラームコホモロジーは、非可換幾何学への一般化が可能である。このより一般的な設定は、dg カテゴリを研究する。dg カテゴリには、そのホッホシルトホモロジーと周期巡回ホモロジーを関連付けることができる。滑らかな真多様体X上の完全複体のカテゴリに適用すると、これらの不変量はそれぞれ微分形式、 Xのド・ラームコホモロジーを返す。Kontsevich と Soibelman は 2009 年に、特性 0 の体上の任意の滑らかで真な dg カテゴリCに対して、ホッホシルトホモロジーから始まり周期巡回ホモロジーに隣接するホッジ・ド・ラームスペクトル列が退化すると予想した。

${\displaystyle HH_{*}(C/k)[u^{\pm 1}]\Rightarrow HP_{*}(C/k).}$

この予想は、Kaledin (2008) と Kaledin (2016) によって、上記の Deligne と Illusie のアイデアを滑らかで適切な dg-カテゴリの一般性に適用することで証明されました。Mathew (2020) は、位相的ホックシルトホモロジーを使用してこの退化の証明を与えました。

• フレーリッヒャースペクトル列
• ホッジ理論
• ヤコビアンイデアル- ホッジ分解のコホモロジーを計算するのに便利

• フレーリヒャー、アルフレッド (1955)、「ドルボーのコホモロジー群と位相不変量との関係」、米国科学アカデミー紀要、41 (9): 641–644、doi : 10.1073/pnas.41.9.641、JSTOR  89147、MR  0073262、PMC  528153、PMID  16589720
• ピエール・ドリーニュ; Illusie、Luc (1987)、「Relèvements modulo p ² et décomposition du complexe de de Rham」、Invent。数学。、89 (2): 247–270、Bibcode :1987InMat..89..247D、doi :10.1007/bf01389078、S2CID  119635574
• Kaledin, D. (2008)、「Deligne-Illusie 法による非可換 Hodge-to-de Rham 退化」、Pure and Applied Mathematics Quarterly、4 (3): 785–876、arXiv : math/0611623、doi :10.4310/PAMQ.2008.v4.n3.a8、MR  2435845、S2CID  16703870
• カレディン、ドミトリー (2016)、サイクリックホモロジーのスペクトルシーケンス、arXiv : 1601.00637、Bibcode :2016arXiv160100637K
• マシュー、アキル (2020) [arXiv 2017]、「カレディンの退化定理と位相的ホックシルトホモロジー」、ジオメトリとトポロジー、24 (6): 2675–2708、arXiv : 1710.09045、Bibcode :2017arXiv171009045M、doi :10.2140/gt.2020.24.2675、S2CID  119591893