ヘヴィサイド・ローレンツ単位

ヘヴィサイド・ローレンツ単位（またはローレンツ・ヘヴィサイド単位）は、オリバー・ヘヴィサイドとヘンドリック・アントーン・ローレンツにちなんで名付けられた、電磁気量を定義する特定の方程式セットでCGSを拡張した単位と量のシステムです。CGSガウスシステムと共通しているのは_、電磁気学の定義方程式に電気定数ε₀と磁気定数μ₀_が現れず、電磁気量に暗黙的に組み込まれている点です。ヘヴィサイド・ローレンツ単位は、_ε₀ = 1とμ₀ = 1_を正規化すると同時に、マクスウェル方程式を修正して光速cを使用するようにしたものと考えることができます。^{[ 1 ]}

ヘヴィサイド・ローレンツ単位系は、SI単位系の基礎となっている国際量体系と同様に合理化されており、その結果、マクスウェル方程式には4πの因子が明示的に現れません。^{[ 2 ]}このシステムが合理化されていることは、量子場理論におけるその魅力を部分的に説明しています。このシステムを使用すると、理論の基礎となるラグランジアンには4πの因子が一切含まれません。 ^{[ 3 ]}その結果、ヘヴィサイド・ローレンツシステムにおける電磁量は、電場、磁場、電荷の定義において√4πの因子で異なります。ヘヴィサイド・ローレンツ単位は、相対論的計算でよく使用され、^{[注 1 ]}素粒子物理学でも使用されます。弦理論のように、 3 次元を超える空間次元で計算を行う場合に特に便利です。

19世紀中頃から後半にかけて、電磁気測定は、いわゆる静電単位系（ESU）または電磁単位系（EMU）のいずれかで頻繁に行われた。これらはそれぞれクーロンの法則とアンペールの法則に基づいていた。これらの単位系は、後に開発されたガウスCGS単位系と同様に、円対称性や球対称性を持たないものも含め、電磁気測定結果の式に4πの係数が多数現れる結果となった。

例えば、CGS-ガウス系では、半径rの球の静電容量はrであり、平行平板コンデンサの静電容量は⁠ A / 4 πd ⁠である。ここで、Aは小さい方の平板の面積であり、dはそれらの間隔である。

電磁気学の初期の重要な理論家であり、やや孤立していたヘヴィサイドは、¹⁸⁸²年に、電荷と場の単位を再定義することで、このような関係式に現れる 4π の不合理な出現を取り除くことができると示唆した。^{[ 5} ] [ 6 ] ^{1893年に出版され}た 著書『電磁気理論』^{[ 7 ]} の序文で、ヘヴィサイドは次のように書いている。

かつては、一般的な電気単位が正しいと当然のように考えられていた時代があった。奇妙で厄介な定数4πは、一部の人々にとっては、それがなければ電気理論全体が崩壊してしまうほどの、いわば天の恵みであると考えられていた。しかし、今ではこの考え方はほとんど消え去り、4πは不幸で有害な誤りであり、多くの弊害の原因であったことが広く認識されていると私は考えている。

平易な言葉で言えば、一般的な電気単位系には、メートル法において単位面積を一辺が1の正方形ではなく、直径が1の円の面積と定義した場合に生じるのと同じような、ある種の無理性が含まれています。その場合、定数πは本来あるべきでない長方形の面積にまで入り込み、大きな混乱と不便の原因となります。一般的な電気単位系も同様で、まさに無理数なのです。

間違いを犯すことは、人間にとって簡単で自然なことである。しかし、それだけでは十分ではない。次にすべきことは、それを正すことである。一度間違いを犯してしまったら、それを延々と繰り返して、不便を積み重ねる必要はない。— オリバー・ヘヴィサイド (1893) ^{[ 7 ]}

ヘヴィサイドの正規化はローレンツによって普及し、彼は1906年の講義録（1909年に『電子の理論』というタイトルで出版）の中でそれを用いた。ローレンツは冒頭でヘヴィサイドに敬意を表し、次のように述べている。

これらの公式は、マクスウェルの論文にあるようなかなり複雑な形式ではなく、ヘヴィサイドとヘルツによって与えられた、より明快で簡潔な形式で使用します。できるだけ物事を単純化するために、公式を元々複雑にしていた4 πや√ 4 πのような因子の大部分を取り除くような単位をさらに導入します。ご存じのとおり、これらの余分な因子を排除することを最も強く主張したのはヘヴィサイドであり、彼の助言に従うのが良いと思います。したがって、私たちの電気の単位は、通常の静電気の単位よりも√ 4 π倍小さくなります。この選択を行ったことで、電気力を表す数値をあらゆる場合について同時に固定しました。磁力については、引き続き単位強度の北極に作用する力と理解しますが、後者も同様に、一般的に使用される単位よりも√ 4 π倍小さくなります。^{[ 8 ]}

ガウス系（G）と同様に、ヘヴィサイド・ローレンツ系（HL）も長さ・質量・時間の次元を使用します。これは、電気量と磁気量のすべての単位が、基本量である長さ、時間、質量の単位で表せることを意味します。

これらのシステムにおける電荷を定義するために用いられるクーロンの式は、ガウス系ではF = q ^G ₁ q ^G ₂ / r ² 、HL系ではF = q ^HL ₁ q ^HL ₂ / (4 πr ² )となります。電荷の単位は1 dyn⋅cm ² = 1 statC ² = 4 π HLC ²と結び付けられます。ここで「HLC」は電荷のHL単位です。電荷を表すHL量q ^{HLは、対応するガウス量よりも}√ 4 π倍大きくなります。他の電磁気量についても同様の関係があります（下記参照）。

一般的に使用される単位系はSI単位系と呼ばれ、真空誘電率（ε₀）と真空透磁率（μ₀ ）という2つの定数_{を定義します。これらを用いて}、SI単位を対応するヘビサイド・ローレンツ値に変換できます（詳細は後述）。例えば、SI電荷は√ε₀L³M/T²_です^{。ε₀ =} 8.854 pF / m_、L = 1 cm 、 M = 1 g、T = 1 sを代入すると、次のようになります。9.409 669 × 10 ⁻¹¹ C は、ヘヴィサイド・ローレンツ電荷単位のSI単位に相当する値です。

このセクションには、SI、ヘヴィサイド・ローレンツ、ガウスのシステムで与えられた電磁気学の基本公式のリストがあります。ここで、EとDはそれぞれ電場と変位場、 BとHは磁場、 Pは分極密度、 Mは磁化、 ρは電荷密度、 Jは電流密度、 cは真空中の光速、 ϕは電位、 A は磁気ベクトルポテンシャル、 Fは電荷qと速度vの物体に作用するローレンツ力、 εは誘電率、 χe_は電気感受率、 μは透磁率、 χm_は磁化率です。

SI単位系、ヘヴィサイド・ローレンツ単位系、ガウス単位系の間で任意の式を変換するには、以下の表に示す対応する式を等式化し、互いに置き換えることができます。${\displaystyle 1/c^{2}}$による${\displaystyle \varepsilon _{0}\mu _{0}}$またはその逆。これにより、上記のリストに記載されている特定の数式が再現されます。

例として、方程式から始めます。 $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ^{\textsf {SI}}=\rho ^{\textsf {SI}}/\varepsilon _{0},}$$ そして表の式 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\varepsilon _{0}}}\ \mathbf {E} ^{\textsf {SI}}&=\mathbf {E} ^{\textsf {HL}}\\{\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}}}}\rho ^{\textsf {SI}}&=\rho ^{\textsf {HL}}\,.\end{aligned}}}$$

後者の恒等式で因子を移動して代入すると、結果は次のようになる。 $${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}}}}\mathbf {E} ^{\textsf {HL}}\right)=\left({\sqrt {\varepsilon _{0}}}\rho ^{\textsf {HL}}\right)/\varepsilon _{0},}$$ すると、それは次のように簡略化されます。 $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ^{\textsf {HL}}=\rho ^{\textsf {HL}}.}$$