形成（群論）

数学の一分野である群論において、形成とは、像を取ることに関して閉じた群のクラスであり、 G / MとG / Nがその形成にあるなら、G / M ∩ Nもその形成にあるようなものである。Gaschütz (1962) は、有限可解群のホール部分群とカーター部分群の理論を統一するために形成を導入した。

形成の例としては、素数pに対するp群の形成、素数集合 π に対する π 群の形成、および冪零群の形成が挙げられます。

メルニコフ形成は商、正規部分群、群拡大を取ることで閉じている。したがって、メルニコフ形成Mは、任意の短完全列に対して次の性質を持つ。

${\displaystyle 1\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 1\ }$

AとCがM に属する場合、かつ BがMに属する場合に限ります。^[1]

完全な形成はメルニコフ形成であり、部分群を取る場合にも閉じている。^[1]

ほぼ完全な形成とは、商、直積、部分群に対して閉じているが、拡大に対して必ずしも閉じているわけではない形成である。有限アーベル群と有限冪零群の族はほぼ完全であるが、完全でもメルニコフでもない。^[2]

Schunck (1967) によって導入された Schunck クラスは、群のクラスから構成される一般化であり、そのクラスに属する群は、すべての原始因子群がそのクラスに属する場合に限る。ここで、群は自己中心化正規アーベル部分群を持つ場合、原始群と呼ばれる。^[3]

• Ballester-Bolinches, Adolfo; Ezquerro, Luis M. (2006)、有限群のクラス、Mathematics and Its Applications (Springer)、vol. 584、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-1-4020-4718-3、MR  2241927
• ドーク、クラウス。 Hawkes、Trevor (1992)、有限可溶群、de Gruyter Expositions in Mathematics、vol. 4、ベルリン: Walter de Gruyter & Co.、ISBN 978-3-11-012892-5、MR  1169099
• フリード、マイケル D. Jarden、Moshe (2004)、フィールド算術、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 11 (第 2 改訂増補版)、Springer-Verlag、ISBN 3-540-22811-X、Zbl  1055.12003
• ヴォルフガング、ガシュッツ (1962)、「Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen」、数学時代、80 : 300–305、doi :10.1007/BF01162386、ISSN  0025-5874、MR  0179257
• Huppert、Bertram (1967)、Endliche Gruppen (ドイツ語)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-03825-2、MR  0224703、OCLC  527050
• Schunck、Hermann (1967)、「H-Untergruppen in endlichen auflösbaren Gruppen」、Mathematische Zeitschrift、97 : 326–330、doi :10.1007/BF01112173、ISSN  0025-5874、MR  0209356