群準同型

数学において、2つの群( G ,∗) と ( H , ·) が与えられたとき、( G ,∗) から ( H , ·)への群準同型とは、関数h : G → Hであって、 Gのすべてのuとvに対して次が成り立つものである。

h(u*v)=h(u)\cdot h(v)

ここで、式の左側のグループ演算はGのグループ演算であり、右側のグループ演算はHのグループ演算です。

この性質から、 h はGの単位元 e _{G を}Hの単位元e _Hに写像することが分かる。

h(e_{G})=e_{H}

また、逆元を逆元に写像するという意味では、

h\left(u^{-1}\right)=h(u)^{-1}.\,

したがって、 h は「グループ構造と互換性がある」と言えます。

追加の構造が与えられた群を考慮する数学の分野では、準同型写像は、(上記のように) 群の構造だけでなく追加の構造も尊重する写像を意味することがあります。たとえば、位相群の準同型写像は連続であることが求められることがよくあります。

プロパティ

を（ H ,·）群の単位元とし、をとれば、 $e_{H}$ $u\in G$

h(u)\cdot e_{H}=h(u)=h(u*e_{G})=h(u)\cdot h(e_{G})

ここで逆数を掛け合わせる（または打ち消しの規則を適用する）と、次の式が得られます。 $h(u)$

e_{H}=h(e_{G})

同様に、

e_{H}=h(e_{G})=h(u*u^{-1})=h(u)\cdot h(u^{-1})

したがって、逆関数の一意性は次のようになります。 $h(u^{-1})=h(u)^{-1}$

種類

単相性: 注入的（または、1対1）な、つまり、一意性を保持する群準同型。
エピモルフィズム: 射影的（または全射的）な群準同型。つまり、共役領域内のすべての点に到達します。
同型性: 全単射、つまり単射かつ全射である群準同型。その逆も群準同型です。この場合、群GとH は同型と呼ばれます。これらは、要素の表記法 (単位元を除く) のみが異なり、実用上は同一です。つまり、単位元以外のすべての要素にラベルを付け直します。
準同型性: 群準同型h : G → G ; 定義域と余定義域は同じです。Gの準同型とも呼ばれます。
自己同型性: 群自己同型性は全単射であり、したがって同型である。関数合成を演算とする群 G のすべての自己同型の集合は、それ自体が群、つまり G の自己同型群を形成する。これはAut ( G )と表記される。例えば、 ( Z , +) の自己同型群には恒等変換と -1 との乗算という 2 つの要素のみが含まれる。これは ( Z /2 Z , +)と同型である。

イメージとカーネル

hの核を、 Hの単位元に写像されるGの要素の集合と定義する。

\operatorname {ker} (h):=\left\{u\in G\colon h(u)=e_{H}\right\}.

そして hのイメージは

\operatorname {im} (h):=h(G)\equiv \left\{h(u)\colon u\in G\right\}.

準同型の核と像は、それが同型にどれだけ近いかを測定するものとして解釈できます。最初の同型定理は、群準同型の像h ( G ) が商群G /ker hに同型であると述べています。

h の核はGの正規部分群です。任意のについて次のように仮定して示します。 $u\in \operatorname {ker} (h)$ $g^{-1}\circ u\circ g\in \operatorname {ker} (h)$ $u,g$

{\begin{aligned}h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)&=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H},\end{aligned}}

h の像はHの部分群です。

準同型hは群単射です。つまり、hが単射（1対1）となるのは、ker( h ) = { e _G } の場合のみです。単射は、核に一意の要素があることを直接示し、逆に、核に一意の要素があることは単射となります。

{\begin{aligned}&&h(g_{1})&=h(g_{2})\\\Leftrightarrow &&h(g_{1})\cdot h(g_{2})^{-1}&=e_{H}\\\Leftrightarrow &&h\left(g_{1}\circ g_{2}^{-1}\right)&=e_{H},\ \operatorname {ker} (h)=\{e_{G}\}\\\Rightarrow &&g_{1}\circ g_{2}^{-1}&=e_{G}\\\Leftrightarrow &&g_{1}&=g_{2}\end{aligned}}

例

巡回群Z ₃ = ( Z /3 Z , +) = ({0, 1, 2}, +) と整数群 ( Z , +) を考えます。 h ( u ) = u mod 3となる写像h : Z → Z /3 Z は群準同型です。これは全射であり、その核は 3 で割り切れるすべての整数から構成されます。

セット
$G\equiv \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0,b\in \mathbf {R} \right\}$

は行列の乗法の下で群を形成する。任意の複素数uに対して関数f _u : G → C ^*は次のように定義される。

${\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}$
群準同型です。
任意の複素数uに対して、正の実数（R ⁺ , ⋅）の乗法群を考える。すると、関数f _u : R ⁺ → Cは次のように定義される。
$f_{u}(a)=a^{u}$
群準同型です。

指数写像は、加算を伴う実数群 Rから乗算を伴う非ゼロ実数群R * への群準同型写像を生成します。核は {0} であり、像は正の実数で構成されます。
指数写像は、加法を伴う複素数 Cの群から乗法を伴う非ゼロ複素数C * の群への群準同型も生成します。この写像は射影的であり、核 {2π ki : k ∈ Z } を持ちます。これはオイラーの公式からわかります。RやCのように、加法群から乗法群への準同型を持つ体は指数体と呼ばれます。
によって定義される関数は準同型です。 $\Phi :(\mathbb {N} ,+)\rightarrow (\mathbb {R} ,+)$ $\Phi (x)={\sqrt[{}]{2}}x$
とでそれぞれ表される2 つのグループとを考えます。ここでは正の実数です。このとき、対数関数によって定義される関数は準同型です。 $(\mathbb {R} ^{+},*)$ $(\mathbb {R} ,+)$ $G$ $H$ $\mathbb {R} ^{+}$ $f:G\rightarrow H$

グループのカテゴリ

h : G → Hとk : H → Kが群準同型ならば、 k ∘ h : G → Kも群準同型である。これは、すべての群のクラスが、群準同型を射として、カテゴリ（具体的には群のカテゴリ）を形成することを示しています。

アーベル群の準同型

GとHが可換群であるとき、 GからHへの群準同型写像全体の集合Hom( G , H )はそれ自体が可換群である。すなわち、2つの準同型写像の和h + kは次のように定義される。

Gのすべてのuについて、 ( h + k )( u ) = h ( u ) + k ( u ) です。

Hの可換性は、 h + kが再び群準同型であることを証明するために必要です。

準同型の加算は、次の意味で準同型の合成と両立する。すなわち、fがHom( K , G )に含まれ、h、k がHom( G , H )の要素であり、gがHom( H , L )に含まれる場合、

( h + k ) ∘ f = ( h ∘ f ) + ( k ∘ f ) かつ g ∘ ( h + k ) = ( g ∘ h ) + ( g ∘ k )です。

合成は結合的であるため、アーベル群のすべての自己準同型の集合 End( G ) は環、つまりGの自己準同型環を形成することが示される。たとえば、 Z / n Zのm個のコピーの直和からなるアーベル群の自己準同型環は、 Z / n Zに要素を持つ m 行 m 列の行列の環と同型である。上記の互換性は、群準同型を持つすべてのアーベル群のカテゴリが前加法カテゴリを形成することも示しており、直和と行儀の良いカーネルの存在により、このカテゴリはアーベルカテゴリの典型的な例となっている。

参照

参考文献

ダミット, DS; フット, R. (2004).抽象代数(第3版). Wiley. pp. 71–72. ISBN 978-0-471-43334-7。
ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR 1878556、Zbl 0984.00001

外部リンク

Rowland, Todd & Weisstein, Eric W. 「群準同型性」。MathWorld。