誤差変数モデルにおける回帰推定値の範囲による回帰希釈 （または減衰バイアス）の図解。2本の回帰直線（赤）は、線形回帰の可能性の範囲を示しています。傾きが緩やかなのは、独立変数（または予測変数）がx軸上にある場合です。傾きが急なのは、独立変数がy軸上にある場合です。慣例として、独立変数がx軸上にある場合は、傾きが緩やかな方が得られます。緑色の参照線は、各軸に沿った任意のビン内の平均値です。傾きが急な緑色と赤色の回帰推定値は、y軸変数の誤差が小さいほど整合性が高いことに注意してください。統計学 において、変数誤差モデル または測定誤差モデルとは、 独立変数 における測定誤差 を考慮した回帰モデル のことである。これに対し、標準的な回帰モデルは、これらの回帰変数が正確に測定されている、あるいは誤差なく観測されていると仮定する。そのため、これらのモデルは従属変数 、すなわち応答変数における誤差のみを考慮する。
一部の回帰変数が誤差を伴って測定されている場合、標準的な仮定に基づく推定では不整合な 推定値が得られ、非常に大きなサンプルであってもパラメータ推定値は真の値に近づきません。単純な線形回帰 の場合、この影響は係数の過小評価であり、減衰バイアス 非線形モデル では、バイアスの方向はより複雑になる可能性があります。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]
刺激的な例 次の形式の単純な線形回帰モデルを考えてみましょう。
y t = α + β x t * + ε t 、 t = 1 、 … 、 T 、 {\displaystyle y_{t}=\alpha +\beta x_{t}^{*}+\varepsilon _{t}\,,\quad t=1,\ldots ,T,} どこx t * {\displaystyle x_{t}^{*}} これは、真の値 であるが観測されていない回帰変数 を表します。代わりに、この値は誤差を伴って観測されます。
x t = x t * + η t {\displaystyle x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}\,} 測定誤差η t \displaystyle \eta _{t}} x t * {\displaystyle x_{t}^{*}} フックの法則 の標準的な学校の理科実験があり、バネに加えた重りとバネの伸び量の関係を推定します。y t \displaystyle y_t}} x t {\displaystyle x_{t}} 単純線形回帰 を参照）の場合、傾き係数の推定値は
β ^ x = 1 T ∑ t = 1 T （ x t − x ¯ ） （ y t − y ¯ ） 1 T ∑ t = 1 T （ x t − x ¯ ） 2 、 {\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})^{2}}}\,,} サンプルサイズが大きくなるにつれて収束するT {\displaystyle T}
β ^ x → p カバー [ x t 、 y t ] バラ [ x t ] = β σ x * 2 σ x * 2 + σ η 2 = β 1 + σ η 2 / σ x * 2 。 {\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}\xrightarrow {p} {\frac {\operatorname {Cov} [\,x_{t},y_{t}\,]}{\operatorname {Var} [\,x_{t}\,]}}={\frac {\beta \sigma _{x^{*}}^{2}}{\sigma _{x^{*}}^{2}+\sigma _{\eta }^{2}}}={\frac {\beta }{1+\sigma _{\eta }^{2}/\sigma _{x^{*}}^{2}}}\,.} これは「真の」効果とは対照的である。β {\displaystyle \beta } x t * {\displaystyle x_{t}^{*}}
β ^ = 1 T ∑ t = 1 T （ x t * − x ¯ ） （ y t − y ¯ ） 1 T ∑ t = 1 T （ x t * − x ¯ ） 2 、 {\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}^{*}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}^{*}-{\bar {x}})^{2}}}\,,} 分散は非負であるため、極限では推定値はβ ^ x {\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}} β ^ {\displaystyle {\hat {\beta }}} これは統計学者が減衰 または回帰希釈 と呼ぶ効果である。[ 4 ] β ^ x {\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}} 、 β {\displaystyle \beta } β ^ x {\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}} 一貫性のある推定値 です。y {\displaystyle y} x t {\displaystyle x_{t}} β {\displaystyle \beta } y t {\displaystyle y_{t}} x t {\displaystyle x_{t}}
β x = カバー [ x t 、 y t ] バラ [ x t ] 。 {\displaystyle \beta _{x}={\frac {\operatorname {Cov} [\,x_{t},y_{t}\,]}{\operatorname {Var} [\,x_{t}\,]}}.} これは係数であって、β {\displaystyle \beta } y {\displaystyle y} x {\displaystyle x}
既存のデータセットのほぼすべてに、性質や大きさが異なるエラーが含まれているため、減衰バイアスが非常に頻繁に発生すると主張できる（ただし、多変量回帰ではバイアスの方向は曖昧である[ 5 ] ジェリー・ハウスマンは これを計量経済学の鉄則 と見なしている。「推定値の大きさは通常、予想よりも小さい」[ 6 ]。
仕様 通常、測定誤差モデルは潜在変数 アプローチを用いて記述されます。y {\displaystyle y} x {\displaystyle x} y * {\displaystyle y^{*}} x * {\displaystyle x^{*}} 機能関係に従う g （ ⋅ ） {\displaystyle g(\cdot )}
{ y * = g （ x * 、 w | θ ） 、 y = y * + ε 、 x = x * + η 、 {\displaystyle {\begin{cases}y^{*}=g(x^{*}\!,w\,|\,\theta ),\\y=y^{*}+\varepsilon ,\\x=x^{*}+\eta ,\end{cases}}} どこθ {\displaystyle \theta } パラメータ であり、w {\displaystyle w} η {\displaystyle \eta }
変数y {\displaystyle y} x {\displaystyle x} w {\displaystyle w} 観測されて おり、統計学者はデータセット を所有している。n {\displaystyle n} 統計単位 { y 私 、 x 私 、 w 私 } 私 = 1 、 … 、 n {\displaystyle \left\{y_{i},x_{i},w_{i}\right\}_{i=1,\dots ,n}} 上記のデータ生成プロセス に従う潜在変数x * {\displaystyle x^{*}} y * {\displaystyle y^{*}} ε {\displaystyle \varepsilon } η {\displaystyle \eta }
この仕様は、既存の変数エラーモデルすべてを網羅しているわけではありません。たとえば、それらのモデルの中には、関数g （ ⋅ ） {\displaystyle g(\cdot )} 非パラメトリック またはセミパラメトリックである可能性がある。他のアプローチでは、y * {\displaystyle y^{*}} x * {\displaystyle x^{*}} y * {\displaystyle y^{*}} x * {\displaystyle x^{*}}
線形モデル 線形誤差変数モデルが最初に研究されたのは、おそらく線形モデル が広く使われており、非線形モデルよりも簡単だからでしょう。標準的な最小二乗 回帰 (OLS) とは異なり、誤差変数回帰 (EiV) を単純なケースから多変数ケースに拡張するのは簡単ではありません。ただし、すべての変数を同じように扱う、つまり信頼性が等しいと仮定すれば、以下に示すような公平方程式フィッティングのための洗練された便利な式が得られます。[ 10 ]
単純線形モデル 単純な線形誤差変数モデルについては、「動機」のセクションですでに説明しました。
{ y t = α + β x t * + ε t 、 x t = x t * + η t 、 {\displaystyle {\begin{cases}y_{t}=\alpha +\beta x_{t}^{*}+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t},\end{cases}}} ここで、 すべての変数はスカラー です。αとβ は 関心のあるパラメータであり、σε とση 。 「 真の」回帰変数x* は、測定誤差η とは独立したランダム変数（構造 モデル）として扱われます（古典的な 仮定）。
このモデルは、次の2つのケースで識別可能 です。(1)潜在回帰変数x* が正規分布に 従わない 場合、(2) x* は正規分布に従うが、εtもηtも正規分布で割り切れない場合。 [ 11 ]つまり、 パラメータ α β はデータ セットから一貫して推定できます。 （ x t 、 y t ） t = 1 T {\displaystyle \scriptstyle (x_{t},\,y_{t})_{t=1}^{T}}
この識別可能性の結果が確立される前は、統計学者はすべての変数が正規分布に従うと仮定して最尤法を適用しようと試み、モデルが識別できないと結論付けました。提案された解決策は、モデルのパラメータの一部が既知であるか、外部ソースから推定できると 仮定する ことでした。このような推定方法には、[ 12 ]が含まれます。
デミング回帰分析は、 δ = σ² ε / σ² η の比率が既知であることを前提としています。これは、例えば、y とx の両方の誤差が測定によって生じ、測定装置や測定手順の精度が既知である場合などに適しています。 δ = 1の場合も直交回帰 として知られています。δ = σ² x / σ² y の場合、幾何平均関数関係 (GMFR) となります。これは、両方の変数が同じ信頼性 を持つ、つまり ( σ y / σ ε = σ x / σ η を持つとみなします。結果として得られる傾きは、通常の最小二乗傾きと逆最小二乗傾きの幾何平均、つまり図の 2 つの赤い線です。[ 13 ] [ 14 ] x に対する OLS はδ = 0として扱うことができ、yに対する OLS は δ = ∞として扱うことができる。[ 13 ] 既知の信頼性比 λ = σ² ∗ / ( σ² η + σ² ∗ ) を用いた回帰分析。ここでσ² ∗ は潜在回帰変数の分散です。このようなアプローチは、例えば、同一ユニットの繰り返し測定が可能な場合や、信頼性比が独立した研究から既知である場合に適用できます。この場合、傾きの一貫性推定値は、最小二乗推定値をλ で割った値に等しくなります。 σ²ηが 既知の場合の回帰分析は、 x の誤差の原因が既知であり、その分散を計算できる場合に発生します。これには、丸め誤差や測定装置によって生じる誤差などが含まれます。σ²ηが既知の場合、信頼性 比をλ = (σ²x − σ²η ) / σ²xとして 計算し ができます。 モデルのパラメータの一部に関する知識を前提としない推定方法には、以下のようなものがある。
多変数線形モデル 多変数モデルは単純な線形モデルとまったく同じように見えますが、今回はβ 、η t x t x* t がk× 1 ベクトルです。
{ y t = α + β ′ x t * + ε t 、 x t = x t * + η t 。 {\displaystyle {\begin{cases}y_{t}=\alpha +\beta 'x_{t}^{*}+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}.\end{cases}}} ( ε t η t β が識別されないのは、非特異な k×k ブロック行列 [ a A ] が存在し、a が正規分布し、A′x* と独立である場合に限る 。ε t 、 η t1 、 ... η tk β が識別されないのは、上記の条件に加えて、誤差 の一部が 2 つの独立変数の和として表され、そのうちの 1 つは正規分布である場合に限る。[ 16 ]
多変数線形モデルの推定方法には以下のようなものがある。
非線形モデル 一般的な非線形測定誤差モデルは、
{ y t = g （ x t * ） + ε t 、 x t = x t * + η t 。 {\displaystyle {\begin{cases}y_{t}=g(x_{t}^{*})+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}.\end{cases}}} ここで、関数g は パラメトリック関数またはノンパラメトリック関数のいずれかになります。関数gがパラメトリック関数である場合は、 g ( x *, β )と表記されます。
一般的なベクトル値回帰変数x*の場合、モデル 識別可能性 の条件は不明です。ただし、スカラーx* の場合、関数g が「対数指数」形式でない限り、モデルは識別されます[ 21 ]
g （ x * ） = 1 + b ln （ e c x * + d ） {\displaystyle g(x^{*})=a+b\ln {\big (}e^{cx^{*}}+d{\big )}} 潜在回帰変数x* の 密度は
f x * （ x ） = { A e − B e C x + C D x （ e C x + E ） − F 、 もし d > 0 A e − B x 2 + C x もし d = 0 {\displaystyle f_{x^{*}}(x)={\begin{cases}Ae^{-Be^{Cx}+CDx}(e^{Cx}+E)^{-F},&{\text{if}}\ d>0\\Ae^{-Bx^{2}+Cx}&{\text{if}}\ d=0\end{cases}}} ここで定数A 、B 、C 、D 、E 、Fは a 、b 、c 、d に依存する可能性がある。
このような楽観的な結果にもかかわらず、現時点では、外部情報を用いずに非線形誤差変数モデルを推定する方法は存在しない。しかし、操作変数や繰り返し観測といった追加データを利用する手法はいくつか存在する。
操作変数法 パラメトリックモデルに対するニューウェイのシミュレーテッドモーメント法 [ 22 ] 予測変数 z t のセットが必要である。x t * = π 0 ′ z t + σ 0 ζ t 、 {\displaystyle x_{t}^{*}=\pi _{0}'z_{t}+\sigma _{0}\zeta _{t},} ここで、π 0 とσ 0 は（未知の）定数行列であり、ζ t ⊥ z t です 。係数π 0は、 xを z に対して標準的な最小二乗 回帰を用いて推定できます。ζ t エッジワース級数 という柔軟なパラメトリック族に属するものとしてモデル化できます。
f ζ （ v ; γ ） = ϕ （ v ） ∑ j = 1 J γ j v j {\displaystyle f_{\zeta }(v;\,\gamma )=\phi (v)\,\textstyle \sum _{j=1}^{J}\!\gamma _{j}v^{j}} ここで、ϕは 標準正規 分布である。
シミュレーションされたモーメントは、重点サンプリング アルゴリズムを使用して計算できます。まず、標準正規分布からいくつかのランダム変数 { v ts ~ ϕ 、s = 1,…, S 、t = 1,…, T } を生成し、次に t 番目の観測値でのモーメントを計算します。
m t （ θ ） = A （ z t ） 1 S ∑ s = 1 S H （ x t 、 y t 、 z t 、 v t s ; θ ） ∑ j = 1 J γ j v t s j 、 {\displaystyle m_{t}(\theta )=A(z_{t}){\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}H(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )\sum _{j=1}^{J}\!\gamma _{j}v_{ts}^{j},} ここで、θ = ( β , σ , γ )、A は操作変数z の何らかの関数であり、H はモーメントの 2 成分ベクトルである。
H 1 （ x t 、 y t 、 z t 、 v t s ; θ ） = y t − g （ π ^ ′ z t + σ v t s 、 β ） 、 H 2 （ x t 、 y t 、 z t 、 v t s ; θ ） = z t y t − （ π ^ ′ z t + σ v t s ） g （ π ^ ′ z t + σ v t s 、 β ） {\displaystyle {\begin{aligned}&H_{1}(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )=y_{t}-g({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts},\beta ),\\&H_{2}(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )=z_{t}y_{t}-({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts})g({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts},\beta )\end{aligned}}} m t を使用すると、標準的なGMM 手法を適用して未知のパラメータθ を推定できます。
繰り返し観察 このアプローチでは、回帰変数x* の繰り返し観測値が 2 つ（またはそれ以上）利用可能です。どちらの観測値にもそれぞれ測定誤差が含まれていますが、これらの誤差は互いに独立している必要があります。
{ x 1 t = x t * + η 1 t 、 x 2 t = x t * + η 2 t 、 {\displaystyle {\begin{cases}x_{1t}=x_{t}^{*}+\eta _{1t},\\x_{2t}=x_{t}^{*}+\eta _{2t},\end{cases}}} ここで、x* ⊥ η 1 ⊥ η 2 である。変数η 1 、η 2 は同一分布である必要はない（ただし、同一分布であれば推定量の効率がわずかに向上する）。これら 2 つの観測値のみで、 Kotlarski のデコンボリューション手法を使用して x* の密度関数を一貫して推定することが可能である。[ 23 ]
パラメトリックモデルに対するLiの条件付き密度法 。[ 24 ] E [ y t | x t ] = ∫ g （ x t * 、 β ） f x * | x （ x t * | x t ） d x t * 、 {\displaystyle \operatorname {E} [\,y_{t}|x_{t}\,]=\int g(x_{t}^{*},\beta )f_{x^{*}|x}(x_{t}^{*}|x_{t})dx_{t}^{*},} 条件付き密度関数ƒ x*|x が分かっていれば、積分を計算することが可能です。この関数が既知または推定可能であれば、問題は標準的な非線形回帰となり、例えばNLLS 法を用いて推定できます。 簡単のため、η 1 、η 2 が同一の分布に従うと仮定すると、この条件付き密度は次のように計算できます。
f ^ x * | x （ x * | x ） = f ^ x * （ x * ） f ^ x （ x ） ∏ j = 1 k f ^ η j （ x j − x j * ） 、 {\displaystyle {\hat {f}}_{x^{*}|x}(x^{*}|x)={\frac {{\hat {f}}_{x^{*}}(x^{*})}{{\hat {f}}_{x}(x)}}\prod _{j=1}^{k}{\hat {f}}_{\eta _{j}}{\big (}x_{j}-x_{j}^{*}{\big )},} ここで、表記法を少し乱用すると、x j は ベクトルのj 番目の成分を表す。この式中のすべての密度は、経験的特性関数 の逆変換を用いて推定できる。特に、
φ ^ η j （ v ） = φ ^ x j （ v 、 0 ） φ ^ x j * （ v ） 、 どこ φ ^ x j （ v 1 、 v 2 ） = 1 T ∑ t = 1 T e 私 v 1 x 1 t j + 私 v 2 x 2 t j 、 φ ^ x j * （ v ） = exp ∫ 0 v ∂ φ ^ x j （ 0 、 v 2 ） / ∂ v 1 φ ^ x j （ 0 、 v 2 ） d v 2 、 φ ^ x （ u ） = 1 2 T ∑ t = 1 T （ e 私 u ′ x 1 t + e 私 u ′ x 2 t ） 、 φ ^ x * （ u ） = φ ^ x （ u ） ∏ j = 1 k φ ^ η j （ u j ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\varphi }}_{\eta _{j}}(v)={\frac {{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(v,0)}{{\hat {\varphi }}_{x_{j}^{*}}(v)}},\quad {\text{where }}{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(v_{1},v_{2})={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}e^{iv_{1}x_{1tj}+iv_{2}x_{2tj}},\\{\hat {\varphi }}_{x_{j}^{*}}(v)=\exp \int _{0}^{v}{\frac {\partial {\hat {\varphi }}_{x_{j}}(0,v_{2})/\partial v_{1}}{{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(0,v_{2})}}dv_{2},\\&{\hat {\varphi }}_{x}(u)={\frac {1}{2T}}\sum _{t=1}^{T}{\Big (}e^{iu'x_{1t}}+e^{iu'x_{2t}}{\Big )},\quad {\hat {\varphi }}_{x^{*}}(u)={\frac {{\hat {\varphi }}_{x}(u)}{\prod _{j=1}^{k}{\hat {\varphi }}_{\eta _{j}}(u_{j})}}.\end{aligned}}} これらの特性関数を反転させるには、逆フーリエ変換を適用する必要があります。数値的な安定性を確保するために、トリミングパラメータC が必要です。例えば、次のようになります。
f ^ x （ x ） = 1 （ 2 π ） k ∫ − C C ⋯ ∫ − C C e − 私 u ′ x φ ^ x （ u ） d u 。 {\displaystyle {\hat {f}}_{x}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{k}}}\int _{-C}^{C}\cdots \int _{-C}^{C}e^{-iu'x}{\hat {\varphi }}_{x}(u)du.} シェナッハ 推定量。 [ 25 ] { y t = ∑ j = 1 k β j g j （ x t * ） + ∑ j = 1 ℓ β k + j w j t + ε t 、 x 1 t = x t * + η 1 t 、 x 2 t = x t * + η 2 t 、 {\displaystyle {\begin{cases}y_{t}=\textstyle \sum _{j=1}^{k}\beta _{j}g_{j}(x_{t}^{*})+\sum _{j=1}^{\ell }\beta _{k+j}w_{jt}+\varepsilon _{t},\\x_{1t}=x_{t}^{*}+\eta _{1t},\\x_{2t}=x_{t}^{*}+\eta _{2t},\end{cases}}} ここで、w t は 誤差なしで測定された変数を表します。回帰変数x*はスカラーです（この方法はベクトル x* の場合にも拡張できます）。測定誤差がなければ、これは推定値を用いた標準的な線形モデル になります。
β ^ = （ E ^ [ ξ t ξ t ′ ] ） − 1 E ^ [ ξ t y t ] 、 {\displaystyle {\hat {\beta }}={\big (}{\hat {\operatorname {E} }}[\,\xi _{t}\xi _{t}'\,]{\big )}^{-1}{\hat {\operatorname {E} }}[\,\xi _{t}y_{t}\,],} どこ
ξ t ′ = （ g 1 （ x t * ） 、 ⋯ 、 g k （ x t * ） 、 w 1 、 t 、 ⋯ 、 w l 、 t ） 。 {\displaystyle \xi _{t}'=(g_{1}(x_{t}^{*}),\cdots ,g_{k}(x_{t}^{*}),w_{1,t},\cdots ,w_{l,t}).} この式に含まれるすべての期待値は、同じ逆畳み込みの手法を用いて推定できることがわかります。特に、一般的な観測量w t (1、w 1 t 、…、w ℓ t y t のいずれか) と何らかの関数h (任意のg j またはg i g j を表す) に対して、次の式が得られます。
E [ w t h （ x t * ） ] = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ φ h （ − u ） ψ w （ u ） d u 、 {\displaystyle \operatorname {E} [\,w_{t}h(x_{t}^{*})\,]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{h}(-u)\psi _{w}(u)du,} ここで、φ h はh ( x* )のフーリエ変換 ですが、特性関数 と同じ規約を使用します。
φ h （ u ） = ∫ e 私 u x h （ x ） d x {\displaystyle \varphi _{h}(u)=\int e^{iux}h(x)dx} そして
ψ w （ u ） = E [ w t e 私 u x * ] = E [ w t e 私 u x 1 t ] E [ e 私 u x 1 t ] exp ∫ 0 u 私 E [ x 2 t e 私 v x 1 t ] E [ e 私 v x 1 t ] d v {\displaystyle \psi _{w}(u)=\operatorname {E} [\,w_{t}e^{iux^{*}}\,]={\frac {\operatorname {E} [w_{t}e^{iux_{1t}}]}{\operatorname {E} [e^{iux_{1t}}]}}\exp \int _{0}^{u}i{\frac {\operatorname {E} [x_{2t}e^{ivx_{1t}}]}{\operatorname {E} [e^{ivx_{1t}}]}}dv} β ^ {\displaystyle \scriptstyle {\hat {\beta }}} シェナッハ推定量。 [ 26 ] ナダラヤ・ワトソン推定量は次の形式をとる。 g ^ （ x ） = E ^ [ y t K h （ x t * − x ） ] E ^ [ K h （ x t * − x ） ] 、 {\displaystyle {\hat {g}}(x)={\frac {{\hat {\operatorname {E} }}[\,y_{t}K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}{{\hat {\operatorname {E} }}[\,K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}},} カーネル K と帯域幅h を適切に選択すれば、両方の期待値を推定できます。ここでの期待値は、前の方法と同じ手法を使用して推定できます。
参考文献 ↑ Griliches, Zvi; Ringstad, Vidar (1970). "非線形コンテキストにおける変数誤差バイアス". Econometrica 38 (2): 368– 370. doi : 10.2307/1913020 . JSTOR 1913020 . ↑ Chesher, Andrew (1991). "測定誤差の影響" . Biometrika . 78 (3): 451– 462. doi : 10.1093/biomet/78.3.451 . JSTOR 2337015 . ↑ キャロル、レイモンド J.、ルパート、デイビッド、ステファンスキー、レナード A.、クライニセアヌ、シプリアン (2006). 非線形モデルにおける測定誤差：現代的視点 （第 2 版）. CRC Press. ISBN 978-1-58488-633-4 。↑ グリーン、ウィリアム H. (2003). 計量経済学分析 （第 5 版）. ニュージャージー州: プレンティス ホール. 第 5.6.1 章. ISBN 978-0-13-066189-0 。↑ Wansbeek, T.; Meijer, E. (2000). "測定誤差と潜在変数" . Baltagi, BH (編) 『理論計量経済学入門』所収 。 Blackwell. pp. 162–179 . doi : 10.1111/b.9781405106764.2003.00013.x . ISBN 9781405106764 。↑ Hausman, Jerry A. (2001). "計量経済分析における誤測定変数：右派からの問題と左派からの問題" . Journal of Economic Perspectives . 15 (4): 57–67 [p. 58]. doi : 10.1257/jep.15.4.57 . JSTOR 2696516 . ↑ Fuller, Wayne A. (1987). Measurement Error Models . John Wiley & Sons. p. 2. ISBN 978-0-471-86187-4 。↑ 林文雄（2000） 『計量経済学 』プリンストン大学出版局、 7-8 頁 。ISBN 978-1400823833 。↑ Koul, Hira; Song, Weixing (2008). "バークソン測定誤差を用いた回帰モデル検証". Journal of Statistical Planning and Inference . 138 (6): 1615–1628 . doi : 10.1016/j.jspi.2007.05.048 . ↑ Tofallis, C. (2023). データに公平に適合する方程式。Mathematics、11(18)、3957。https ://ssrn.com/abstract=4556739 https://doi.org/10.3390/math11183957 ↑ Reiersøl, Olav (1950). "誤差の影響を受ける変数間の線形関係の識別可能性". Econometrica . 18 (4): 375–389 [p. 383]. doi : 10.2307/1907835 . JSTOR 1907835 . Geary, RC (1942)「確率変数間の固有の関係」 Proceedings of the Royal Irish Academy . 47 : 63–76 . JSTOR 20488436 によって以前に確立された。 彼は、( ε, η )が同時正規分布に従うという追加の仮定の下では、 x* sが正規分布に従う場合に限り、モデルが識別されないことを示した。↑ Fuller, Wayne A. (1987). "A Single Explanatory Variable" . Measurement Error Models . John Wiley & Sons. pp. 1–99 . ISBN 978-0-471-86187-4 。1 2 Xu, Shaoji (2014-10-02). "幾何平均回帰の性質" . The American Statistician . 68 (4): 277– 281. doi : 10.1080/00031305.2014.962763 . ISSN 0003-1305 . ↑ Tofallis, Chris (2002). "幾何平均偏差を最小化する多変数モデル適合". Van Huffel, Sabine ; Lemmerling, P. (編). Total Least Squares and Errors-in-Variables Modeling: Analysis, Algorithms and Applications . Dordrecht: Kluwer Academic Publ. doi : 10.1007/978-94-017-3552-0 . ISBN 978-1402004766 SSRN 1077322 ↑ Pal, Manoranjan (1980). "変数に誤差がある場合の回帰係数の一貫性のあるモーメント推定量". Journal of Econometrics . 14 (3): 349–364 (pp. 360–361). doi : 10.1016/0304-4076(80)90032-9 . ↑ Ben-Moshe, Dan (2020). "Identification of linear regressions with errors in all variables". Econometric Theory . 37 (4): 1– 31. arXiv : 1404.1473 . doi : 10.1017/S0266466620000250 . S2CID 225653359 . ↑ Tofallis, Chris (2023年9月18日). 「データに公平に適合する方程式」 . Mathematics . 11 (18): 3957. arXiv : 2409.02573 . doi : 10.3390/math11183957 . SSRN 4556739 . ↑ Dagenais, Marcel G.; Dagenais, Denyse L. (1997). "変数に誤差のある線形回帰モデルの高次モーメント推定量". Journal of Econometrics . 76 ( 1– 2): 193– 221. CiteSeerX 10.1.1.669.8286 . doi : 10.1016/0304-4076(95)01789-5 . Pal（1980）は、ベクトル（ ε 、η ）のすべての成分が独立で対称的に分布しているという、より単純なケースを検討した。↑ Fuller, Wayne A. (1987). Measurement Error Models . John Wiley & Sons. p. 184. ISBN 978-0-471-86187-4 。↑ Erickson, Timothy; Whited, Toni M. (2002). "高次モーメントを用いた誤差変数モデルの2段階GMM推定". Econometric Theory . 18 (3): 776–799 . doi : 10.1017/s0266466602183101 . JSTOR 3533649. S2CID 14729228 . ↑ Schennach, S. ; Hu, Y.; Lewbel, A. (2007). "Nonparametric identification of the classical errors-in-variables model without side information" . Working Paper . ↑ Newey, Whitney K. (2001). "非線形誤差変数モデルの柔軟なシミュレーテッドモーメント推定". Review of Economics and Statistics . 83 (4): 616–627 . doi : 10.1162/003465301753237704 . hdl : 1721.1 /63613 . JSTOR 3211757. S2CID 57566922 . ↑ Li, Tong; Vuong, Quang (1998). "複数の指標を用いた測定誤差モデルのノンパラメトリック推定" . Journal of Multivariate Analysis . 65 (2): 139– 165. doi : 10.1006/jmva.1998.1741 . ↑ Li, Tong (2002). "非線形誤差変数モデルの頑健かつ一貫性のある推定". Journal of Econometrics . 110 (1): 1– 26. doi : 10.1016/S0304-4076(02)00120-3 . ↑ Schennach, Susanne M. (2004). "測定誤差を伴う非線形モデルの推定". Econometrica . 72 (1): 33– 75. doi : 10.1111/j.1468-0262.2004.00477.x . JSTOR 3598849 . ↑ Schennach, Susanne M. (2004). "測定誤差が存在する場合のノンパラメトリック回帰". Econometric Theory . 20 (6): 1046– 1093. doi : 10.1017/S0266466604206028 . S2CID 123036368 .
さらに読む ドハティ、クリストファー（2011）。「確率的回帰変数と測定誤差」。計量経済学入門 （第4 版）。オックスフォード大学出版局。300 ～ 330頁。ISBN 978-0-19-956708-9 。 Kmenta, Jan (1986). 「不足データによる推定」 . 『計量経済学の基礎』 版）. ニューヨーク：Macmillan. pp. 346–391 . ISBN 978-0-02-365070-3 。シェナッハ、スザンヌ （2013）。「非線形モデルにおける測定誤差 ― レビュー」。アセモグル、ダロン、アレラーノ、マヌエル、デケル、エディ編『経済学と計量経済学の進歩』 所収 。ケンブリッジ大学出版局。pp. 296–337。doi : 10.1017 / CBO9781139060035.009。hdl : 10419 / 79526。ISBN 9781107017214 。
外部リンク 両変数に誤差が含まれる線形回帰の歴史的概観、JW Gillard 2006 マーク・トーマ によるYouTube の 計量経済学講義（トピック：確率的回帰変数と測定誤差） 。
![{\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}\xrightarrow {p} {\frac {\operatorname {Cov} [\,x_{t},y_{t}\,]}{\operatorname {Var} [\,x_{t}\,]}}={\frac {\beta \sigma _{x^{*}}^{2}}{\sigma _{x^{*}}^{2}+\sigma _{\eta }^{2}}}={\frac {\beta }{1+\sigma _{\eta }^{2}/\sigma _{x^{*}}^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e831a024ada7aa5567da4b62888168b73bb60e)
![{\displaystyle \beta _{x}={\frac {\operatorname {Cov} [\,x_{t},y_{t}\,]}{\operatorname {Var} [\,x_{t}\,]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f85337e7adf5dc85f1151b5a21149c1549d60fd)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\eta |x^{*}]\,=\,0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f582199baa64e433bfbc070f6ca1cd14d582c8a4)
![{\displaystyle \alpha =\operatorname {Pr} [\eta =-1|x^{*}=1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae13c5226fe0e441d7f99d96c73f7d90e9eb647)
![{\displaystyle \beta =\operatorname {Pr} [\eta =1|x^{*}=0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df26f5a1c5afa4b64bc34a1225a30fdcaee4d0e0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&z_{t}=\left(1\ z_{t1}'\ z_{t2}'\ z_{t3}'\ z_{t4}'\ z_{t5}'\ z_{t6}'\ z_{t7}'\right)',\quad {\text{ただし}}\\&z_{t1}=x_{t}\circ x_{t}\\&z_{t2}=x_{t}y_{t}\\&z_{t3}=y_{t}^{2}\\&z_{t4}=x_{t}\circ x_{t}\circ x_{t}-3{\big (}\operatorname {E} [x_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}x_{t}\\&z_{t5}=x_{t}\circ $x_{t}y_{t}-2{\big (}\operatorname {E} [y_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}x_{t}-y_{t}{\big (}\operatorname {E} [x_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}\iota _{k}\\&z_{t6}=x_{t}y_{t}^{2}-\operatorname {E} [y_{t}^{2}]x_{t}-2y_{t}\operatorname {E} [x_{t}y_{t}]\\&z_{t7}=y_{t}^{3}-3y_{t}\operatorname {E} [y_{t}^{2}]\end{aligned}}}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ecb7ca4ed41a50e2b152d1f7e7fca5a40d909b)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\,y_{t}|x_{t}\,]=\int g(x_{t}^{*},\beta )f_{x^{*}|x}(x_{t}^{*}|x_{t})dx_{t}^{*},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27918e2a9b583e2315d252b3d42b6875f6a67eda)
![{\displaystyle {\hat {\beta }}={\big (}{\hat {\operatorname {E} }}[\,\xi _{t}\xi _{t}'\,]{\big )}^{-1}{\hat {\operatorname {E} }}[\,\xi _{t}y_{t}\,],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f3ff27dccb72aa60aa497f76cbd82a2f1bc3ff)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\,w_{t}h(x_{t}^{*})\,]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{h}(-u)\psi _{w}(u)du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c77215b400b8a31c6083ae054e5eb0885cb4f9)
![{\displaystyle \psi _{w}(u)=\オペレータ名 {E} [\,w_{t}e^{iux^{*}}\,]={\frac {\オペレータ名 {E} [w_{t}e^{iux_{1t}}]}{\オペレータ名 {E} [e^{iux_{1t}}]}}\exp \int _{0}^{u}i{\frac {\オペレーター名 {E} [x_{2t}e^{ivx_{1t}}]}{\オペレーター名 {E} [e^{ivx_{1t}}]}}dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10012101ed93d980603ae2b70bb8f2f6115cea6b)
![{\displaystyle {\hat {g}}(x)={\frac {{\hat {\operatorname {E} }}[\,y_{t}K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}{{\hat {\operatorname {E} }}[\,K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0ab49c7a4dad7b326a206f00968cf528eb1302)