適切な凸関数

数学的解析、特に凸解析と最適化の分野において、真凸関数（しんとうこく、英: true convex function）とは、空でない定義域を持つ拡張された実数値凸関数であり、決して の値をとらず、 と全く等しくない関数である。 ${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle +\infty .}$

凸解析と変分解析では、通常、ある与えられた関数が最小化される点（定義域内）が求められ、ここで は拡張された実数直線上で値を持つ^[1]。そのような点が存在する場合、それは関数の大域的最小点と呼ばれ、この点におけるその値は関数の大域的最小値（値）と呼ばれる。関数が を値として取る場合、 は必然的に大域的最小値であり、最小化問題は解決できる。これが、結局のところ、「適切な」定義において、関数が を値として取らないことを要求する理由である。これを前提として、関数の定義域が空であるか、関数が と全く等しい場合、最小化問題は再び即座に解決される。最小化問題がこれら 3 つの自明なケースのいずれによっても解決されない拡張された実数値関数は、まさに適切なものと呼ばれるものである。関数が適切であることを仮説が要求する多くの（すべてではないが）結果では、これらの自明なケースを除外するために特にこの要件が追加されている。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle +\infty}$

問題が最大化問題である場合 (関数が凸ではなく凹であるなど、明確に示される) 、「適切な」定義は類似した (技術的には異なる) 方法で定義されますが、目的は同じです。つまり、最大化問題に即座に答えられるケースを除外することです。具体的には、凹関数は、その否定が凸関数であり、上で定義した意味で適切である 場合に適切と呼ばれます。${\displaystyle g}$ ${\displaystyle -g,}$

が拡張された実数直線上の値を取る関数であるとする。が凸関数である か、またはの最小点が求められている場合、が適切な関数 と呼ばれるのは、${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)>-\infty }$     すべての ${\displaystyle x\in X}$

そして、もしある点が存在するならば、 ${\displaystyle x_{0}\in X}$

${\displaystyle f\left(x_{0}\right)<+\infty .}$

つまり、関数が値に決して達せず、その有効定義域が空でない場合、その関数は適切である。 ^[2]これは、およびが決して等しくならない凸 関数が存在することを意味する。適切でない凸関数は不適切凸関数と呼ばれる。 ^[3]${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle -\infty .}$

適切な凹関数とは、定義により、が適切な凸関数であるような関数です。明示的には、が凹関数であるか、 の最大点が求められている場合、 は、その定義域が空でなく、 の値をとらず、 と完全に等しくない場合に適切と呼ばれます。${\displaystyle g:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle f:=-g}$${\displaystyle g:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle +\infty ,}$${\displaystyle -\infty .}$

任意の適切な凸関数に対して、 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to [-\infty ,\infty ],}$${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)\geq x\cdot br}$

すべての${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

2つの適切な凸関数の和は凸であるが、必ずしも適切ではない。^[4] 例えば、集合とがベクトル空間内の空でない凸集合である場合、特性関数とが適切な凸関数であるが、 の場合、は${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle B\subset X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I_{A}}$${\displaystyle I_{B}}$${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$${\displaystyle I_{A}+I_{B}}$${\displaystyle +\infty .}$

2つの適切な凸関数の最小畳み込みは凸であるが、必ずしも適切な凸ではない。[ 5 ^]

• 有効ドメイン

• R・ティレル・ロッカフェラー;ウェッツ、ロジャー J.-B. (2009 年 6 月 26 日)。変分分析。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 317. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 9783642024313. OCLC  883392544.