有効ドメイン

数学の一分野である凸解析において、有効定義域は、拡張された実数直線上の値を取る関数に対して定義された関数の定義域の拡張である。 ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$

凸解析と変分解析では、通常、与えられた拡張実数値関数が最小になる点が求められ、そのような点は大域的最小点と呼ばれます。この関数の有効定義域は、関数の定義域内で値が に等しくないすべての点の集合として定義されます^[1]。このように定義されるのは、これらの点だけが大域的最小点になる可能性がわずかでもあるためです。実際、これらの分野では、ある点で関数を に等しく設定して、その点が（最小化問題の）潜在的な解として考慮されることさえないようにするのが一般的です^[1] 。関数が 値（もしあれば）を取る点は有効定義域に属します。なぜなら、そのような点は最小化問題の受け入れ可能な解と見なされるためです^[1]。その理由は、そのような点が解として受け入れられないのであれば、関数はその点で既に に設定されているはずだからです。 ${\displaystyle +\infty .}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle +\infty}$

関数の最小点（ ）を求める必要があるが、の定義域が何らかのベクトル空間の適切な部分集合である場合、 のすべての点を に設定することによって のすべての点に拡張することが技術的に有用であることが多い。^[1]定義により、 のどの点もの有効定義域に属しておらず、 のすべての点への新しく定義された拡張の最小点を求めるのではなく、元の関数の最小点を求めるという要求と矛盾しない。${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f(x):=+\infty }$${\displaystyle x\in V\setminus X.}$${\displaystyle V\setminus X}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle V.}$

問題が最大化問題である場合（これは明確に示される）、有効領域は関数の領域内で等しくないすべての点から構成される。${\displaystyle -\infty .}$

が拡張実数直線上に値を持つ写像で、その定義域が で表され（ただし、この仮定が必要な場合は、 が何らかのベクトル空間の部分集合であると仮定する）、の有効定義域は で表され、通常は集合^{[1] [2] [3]}と定義される。 ただし、が凹関数である場合、または の最大値（最小値ではなく）を求めている場合は、の有効定義域は集合^{[2]となる。}${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$${\displaystyle \operatorname {domain} f,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {dom} f}$ $${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X~:~f(x)<+\infty \}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X~:~f(x)>-\infty \}.}$$

凸解析と変分解析では、明示的に示されていない限り、通常は であると仮定されます。 ${\displaystyle \operatorname {dom} f}$${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X~:~f(x)<+\infty \}}$

が定義される正準射影をとすると、 の 有効定義域は、正準射影による のエピグラフの像に等しい。つまり、 ${\displaystyle \pi _{X}:X\times \mathbb {R} \to X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle (x,r)\mapsto x.}$${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} f}$${\displaystyle \pi _{X}.}$

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\pi _{X}\left(\operatorname {epi} f\right)=\left\{x\in X~:~{\text{ there exists }}y\in \mathbb {R} {\text{ such that }}(x,y)\in \operatorname {epi} f\right\}.}$^[4]

最大化問題の場合（ が凸ではなく凹である場合など）、有効領域はのハイポグラフの下の像に等しくなります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \pi _{X}}$${\displaystyle f}$

関数が実数値である場合など、関数が値を取らない場合、その定義域と有効定義域は等しくなります。 ${\displaystyle +\infty ,}$

関数が真凸関数であるとは、関数が凸であり、関数の有効定義域が空でなく、任意の^[4]に対してであるときのみである。${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)>-\infty }$${\displaystyle x\in X.}$

• 適切な凸関数
• エピグラフ（数学）  – グラフ上の領域
• ハイポグラフ（数学）  – グラフの下の領域

• R・ティレル・ロッカフェラー;ウェッツ、ロジャー J.-B. (2009 年 6 月 26 日)。変分分析。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 317. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 9783642024313. OCLC  883392544.