生態学的誤謬

生態学的誤謬（生態学的推論誤謬 [1] または集団誤謬とも呼ばれる）^は、統計データの解釈における形式的な誤謬であり、個人の性質についての推論が、その個人が属するグループについての推論から演繹されるときに発生します。「生態学的誤謬」は、統計的誤謬ではない除算の誤謬を説明するために使用されることがある用語です。一般的な統計的生態学的誤謬は、生態学的相関と個々の相関の混同、グループ平均と全体平均の混同、シンプソンのパラドックス、およびより高い平均とより高い尤度の混同の 4 つです。統計的観点からは、これらの考え方は、集計データを使用して個人レベルのデータで観察されていない関係を作成し、形式的な推論を行うための適切な統計モデルを指定することによって統合できます。^[2]

生態学的誤謬の一例としては、個体の可能性を考慮する際に、母集団の平均は単純に解釈できるという仮定が挙げられます。

たとえば、グループの平均スコアがゼロより大きい場合、これはそのグループ内の無作為に選ばれた個人が負のスコアよりも正のスコアを持つ可能性が高いことを意味するものではありません (負のスコアが正のスコアより多い限り、個人が負のスコアを持つ可能性が高いです)。同様に、特定のグループの人々の平均 IQ が一般人口よりも低いと測定された場合、そのグループから無作為に選ばれたメンバーが一般人口の平均 IQ よりも低い IQ を持つ可能性が高いと結論付けるのは誤りです。また、グループから無作為に選ばれたメンバーが一般人口から無作為に選ばれたメンバーよりも低い IQ を持つ可能性が高いとも限りません。数学的には、これは分布の平均が正でも中央値が負になる可能性があるという事実に由来します。この特性は分布の 歪度に関連しています。

次の数値例を考えてみましょう。

• グループ A: 80% の人が 40 ポイントを獲得し、20% の人が 95 ポイントを獲得しました。平均スコアは 51 ポイントです。
• グループ B: 50% の人が 45 ポイントを獲得し、50% の人が 55 ポイントを獲得しました。平均スコアは 50 ポイントです。
• A と B からランダムに 2 人を選ぶと、次の 4 つの結果が考えられます。
  • A – 40、B – 45（Bが勝ち、確率40% – 0.8 × 0.5）
  • A – 40、B – 55（Bが勝ち、確率40% – 0.8 × 0.5）
  • A – 95、B – 45（Aが勝ち、確率10% – 0.2 × 0.5）
  • A – 95、B – 55（Aが勝ち、確率10% – 0.2 × 0.5）
• グループ A の平均スコアは高くなりますが、80% の確率で、グループ A のランダムな個人のスコアはグループ B のランダムな個人のスコアよりも低くなります。

エミール・デュルケームに遡る研究によると、プロテスタントが多数派を占める地域ではカトリックが多数派を占める地域よりも自殺率が高いことが示唆されている。^[3]フリードマンによると、^[4]デュルケームの研究結果が個人レベルで人の宗教と自殺リスクを結び付けているという考えは、生態学的誤謬の一例である。集団レベルの関係が、個人レベルの関係を自動的に特徴付けるわけではない。

同様に、個人レベルでは米国では富が共和党に投票する傾向と正の相関関係にあるとしても、裕福な州は民主党に投票する傾向があることが観察される。例えば、2004年の米国大統領選挙では、共和党候補のジョージ・W・ブッシュが15の最も貧しい州で勝利し、民主党候補のジョン・ケリーが選挙人団で最も裕福な11州のうち9州で勝利した。しかし、年収20万ドルを超える有権者の62%がブッシュに投票したのに対し、年収1万5000ドル以下の有権者でブッシュに投票したのは36%に過ぎなかった。^[5] 投票選好が州の総富の影響を受ける場合、個人の富をコントロールした後でも集計レベルの相関関係は個人レベルの相関関係とは異なる。投票選好の真の推進要因は、自己認識による相対的富の可能性がある。おそらく、自分は隣人よりも裕福だと考える人の方が共和党に投票する可能性が高いのかもしれない。この場合、個人は裕福になれば共和党に投票する可能性が高くなりますが、隣人の富が増えれば（結果として州が裕福になれば）、民主党に投票する可能性が高くなります。

しかし、州レベルと個人レベルの富に基づく投票習慣の観察された違いは、上で議論したように、平均値の高さと可能性の高さのよくある混同によっても説明できます。州がより裕福なのは、裕福な人々（つまり、年収 20 万ドルを超える人々）が多いからではなく、少数の超富裕層がいるからかもしれません。したがって、より裕福な州の人々は裕福である可能性が高いと誤って想定することで、生態学的誤謬が生じます。

生態学的誤謬の例は社会ネットワークの研究に多く見られ、さまざまなレベルの分析と示唆が組み合わされていることが多い。これはスマトラ島の農民のネットワークに関する学術論文で実証されている。^[6]

ウィリアム・S・ロビンソンによる1950年の論文では、1930年の国勢調査時点における各州およびコロンビア特別区の非識字率と米国外で生まれた人口の割合が計算された。^[7]彼は、これら2つの数字が負の相関関係にあることを示した。つまり、州内の移民の割合が高いほど、その州の平均非識字率は低い（または、同等に、平均識字率は高い）。しかし、個人について考えると、非識字率と出生率の相関関係は+0.12であった（移民は平均して現地住民よりも非識字率が高い）。ロビンソンは、州人口レベルでの負の相関関係は、移民が現地人口の識字率が高い州に定住する傾向があるためであると示した。彼は、人口レベル、つまり「生態学的」データに基づいて個人についての結論を導き出すことに対して警告した。 2011年、ロビンソンの生態学的相関関係の計算は、誤った州レベルのデータに基づいていることが判明しました。上記の相関関係-0.53は、実際には-0.46です。^[8]ロビンソンの論文は独創的でしたが、「生態学的誤謬」という用語は1958年にセルビンによって初めて作られました。^[9]

集合量の相関（または生態学的相関）は、個々の量の相関とは等しくありません。X _i、  Y _iで個々のレベルの2つの量を表します。サイズNのグループにおける集合量の共分散の式は 、

${\displaystyle \operatorname {cov} \left(\sum _{i=1}^{N}Y_{i},\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {cov} (Y_{i},X_{i})+\sum _{i=1}^{N}\sum _{l\neq i}\operatorname {cov} (Y_{l},X_{i})}$

2 つの集計変数の共分散は、同じ個人内の 2 つの変数の共分散だけでなく、異なる個人間の変数の共分散にも依存します。言い換えれば、集計変数の相関は、個人レベルでは関係のない横断的効果を考慮に入れます。

相関関係の問題は、当然ながら集計変数の回帰分析の問題を伴います。したがって、相関関係の誤謬は、因果関係の影響を測定したい研究者にとって重要な問題です。結果が次の 影響を受ける 回帰モデルから始めましょう。${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle Y_{i}=\alpha +\beta X_{i}+u_{i},}$

${\displaystyle \operatorname {cov} [u_{i},X_{i}]=0.}$

集計レベルでの回帰モデルは、個々の方程式を合計することによって得られます。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}Y_{i}=\alpha \cdot N+\beta \sum _{i=1}^{N}X_{i}+\sum _{i=1}^{N}u_{i},}$

${\displaystyle \operatorname {cov} \left[\sum _{i=1}^{N}u_{i},\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right]\neq 0.}$

集計レベルで回帰変数と誤差が相関することを妨げるものは何もありません。したがって、一般的に、集計データで回帰を実行しても、個々のデータで回帰を実行した場合と同じモデルが推定されるわけではありません。

集計モデルが正しいのは、

${\displaystyle \operatorname {cov} \left[u_{i},\sum _{k=1}^{N}X_{k}\right]=0\quad {\text{ すべての }}i に対して。}$

つまり、 を制御してもは決定されません。 ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}X_{k}}$${\displaystyle Y_{i}}$

集計モデルに興味があるなら、集計データに対して回帰分析を実行しても何も問題はありません。たとえば、州知事が警察力の増強の政策的意味合いに興味があるなら、州レベルで警察力と犯罪率の回帰分析を実行するのは正しいことです。しかし、市議会が州レベルでの相関関係から、市レベルでの警察力の増強が犯罪率に与える影響を推測すると、生態学的誤謬が生じます。

ある政策に対する集計的影響を理解するために集計回帰分析を実行するか個別回帰分析を実行するかの選択は、次のトレードオフに依存します。集計回帰分析では個別レベルのデータが失われますが、個別回帰分析では強力なモデリング仮定が追加されます。一部の研究者は、生態学的相関関係の方が公共政策措置の結果をよりよく表すと示唆しており、この目的では個別レベルの相関関係よりも生態学的相関関係を推奨しています (Lubinski & Humphreys、1996)。他の研究者は、特にレベル間の関係が明確にモデル化されていない場合はこれに反対しています。生態学的誤謬を防ぐために、個別データがない研究者は、まず個人レベルで何が起こっているかをモデル化し、次に個人レベルとグループ レベルがどのように関連しているかをモデル化し、最後にグループ レベルで起こっていることが関係の理解に役立つかどうかを調べることができます。たとえば、州の政策の影響を評価する場合、州間の政策の影響のばらつきは政策自体のばらつきよりも小さいことを知っておくと役立ちます。これは、生態学的相関関係が高いにもかかわらず、政策の違いが結果にうまく反映されていないことを示唆しています (Rose、1973)。

生態学的誤謬は、グループの平均は、総人口の平均をグループ サイズで割った値で近似されるという誤謬を指すこともあります。米国のプロテスタントの数と自殺率はわかっているが、個人レベルで宗教と自殺を結び付けるデータがないとします。プロテスタントの自殺率に興味がある場合、総自殺率をプロテスタントの数で割って推定するのは間違いです。正式には、グループの平均を表すと、通常は次のようになります。 ${\displaystyle P[{\text{自殺}}\mid {\text{プロテスタント}}]}$

${\displaystyle P[{\text{自殺}}\mid {\text{プロテスタント}}]\neq {\frac {P[{\text{自殺}}]}{P({\text{プロテスタント}})}}}$

しかし、全確率の法則によれば

${\displaystyle {\begin{aligned}P[{\text{自殺}}]={\color {Blue}P[{\text{自殺}}\mid {\text{プロテスタント}}]}P({\text{プロテスタント}})+{\color {Blue}P[{\text{自殺}}\mid {\text{非プロテスタント}}]}(1-P({\text{プロテスタント}}))\end{aligned}}}$

は 0 と 1 の間であることがわかっているので、この式は の境界を与えます。 ${\displaystyle P[{\text{自殺}}\mid {\text{プロテスタントではない}}]}$${\displaystyle P[{\text{自殺}}\mid {\text{プロテスタント}}]}$

顕著な生態学的誤謬はシンプソンのパラドックスである。これは、2つの集団をグループに分けた場合、最初の集団の変数の平均はどのグループでも高くなるが、全体の集団では低くなる可能性があるということである。正式には、Zの各値が異なるグループを指し、Xが何らかの処置を指す場合、次のようなことが起こる可能性がある。

${\displaystyle E[Y\mid Z=z,X=1]>E[Y\mid Z=z,X=0]\ {\text{すべての }}z に対して、{\text{ }}E[Y\mid X=1]<E[Y\mid X=0]}$

が に依存しない場合、シンプソンのパラドックスは、回帰変数がダミー変数で、省略変数が各値のグループを定義するカテゴリ変数である場合の、 YのXへの回帰における省略変数バイアスとまったく同じです 。バイアスが十分に高いため、パラメータの符号が逆になるため、この応用は印象的です。 ${\displaystyle E[Y\mid Z=z,X=1]-E[Y\mid Z=z,X=0]}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$

生態学的誤謬は、 2004年のワシントン州知事選挙に対する法廷での異議申し立てで議論された。選挙後、多数の不法投票者が特定されたが、投票は秘密投票であ​​ったため、彼らの投票は不明であった。異議申し立て者は、選挙で投じられた不法投票は、それが投じられた選挙区の投票パターンに従ったものであるため、それに応じて調整が行われるべきだと主張した。^[10]専門家の証人は、このアプローチは、シアトルマリナーズチーム全体の打率を見てイチローの打率を割り出そうとするようなものだと述べた。なぜなら、不法投票は各選挙区の有権者の代表ではないサンプルによって投じられており、イチローがチームの他のメンバーと異なっていたのと同じくらい、その選挙区の平均的な有権者とは異なっている可能性があるからだ。^[11]裁判官は、異議申し立て者の主張は生態学的誤謬であると判断し、却下した。^[12]