経済学 において、離散選択 モデル、あるいは質的選択モデルは、 労働市場 への参入の有無や輸送手段の選択など、2つ以上の 離散的な 選択肢間の選択を記述、説明、予測する。このような選択は、消費される各財の量が連続変数 であると仮定する標準的な消費モデルとは対照的である。連続変数の場合、微積分法（例えば一次条件）を用いて最適な選択量を決定でき、回帰分析 を用いて需要を経験的にモデル化できる。一方、離散選択分析は、潜在的な結果が離散的であり、最適値が標準的な一次条件によって特徴付けられない状況を検討する。したがって、連続選択変数の問題のように「どれだけ」を検討する代わりに、離散選択分析は「どれ」を検討する。しかし、離散選択分析は、世帯が所有する車両の数[ 1 ] 離散 選択 の 経験的分析には、ロジスティック回帰 やプロビット回帰 などの手法を使用できます。
離散選択モデルは、人々が有限個 の選択肢の中から選択する様子を理論的または経験的にモデル化したものです。このモデルは、例えば、どの車を買うか[ 1 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] ダニエル・マクファデンは 、離散選択の理論的基礎を開発した先駆的な業績により、2000年にノーベル賞 を受賞しました。
離散選択モデルは、各個人の選択を、その個人の属性と、その個人が選択可能な選択肢の属性に統計的に関連付けます。例えば、ある人がどの車を購入するかという選択は、その人の収入や年齢だけでなく、価格、燃費 、サイズ、その他の各車の属性にも統計的に関連しています。これらのモデルは、ある人が特定の選択肢を選ぶ確率を推定します。これらのモデルは、人口統計学的要因や選択肢の属性の変化によって人々の選択がどのように変化するかを予測するためによく用いられます。
離散選択モデルは、個人が選択肢の中からある選択肢を選ぶ確率を規定します。離散選択行動の確率的記述は、本質的に確率的であると見なされる個人の行動を反映するために用いられるのではありません。むしろ、情報不足が選択を確率的に記述する原因となっています。実際には、個人の選択決定に影響を与えるすべての要因を知ることはできません。なぜなら、それらの決定要因は部分的にしか観察できないか、不完全にしか測定できないからです。したがって、離散選択モデルは、a) 選択肢、b) 人による好みの変動（個人間の異質性）と時間による変動（個人内の選択ダイナミクス）、c) 異質な選択肢セットに関連する観察できない要因を説明するために、確率的な仮定と仕様に依存しています。さまざまな定式化がまとめられ、モデルのグループに分類されています。[ 6 ] 離散選択モデルが構造方程式モデル と組み合わされて心理学的（潜在）変数を統合する場合、それらはハイブリッド選択モデル と呼ばれます。[ 7 ]
離散選択モデルの共通点 離散選択モデルには、バイナリロジット、バイナリプロビット、多項ロジット、条件付きロジット、多項プロビット、ネスト型ロジット、一般化極値モデル、混合ロジット、拡張ロジットなど、さまざまな形式があります。これらのモデルはすべて、以下に説明する共通の特徴を持っています。
選択肢セット 選択肢集合とは、その人が選択できる選択肢の集合のことである。離散選択モデルの場合、選択肢集合は次の3つの要件を満たす必要がある。
選択肢の集合は網羅的で なければならない。つまり、考えられるすべての選択肢が含まれている必要がある。この要件は、その人が必ずその集合の中から選択肢を選ぶことを意味する。 選択肢は相互に排他的で なければならない。つまり、1つの選択肢を選ぶということは、他の選択肢を選ばないことを意味する。この要件は、その人が提示された選択肢の中から1つだけを選ぶことを意味する。 選択肢の集合は有限 個の選択肢でなければならない。この3つ目の要件によって、離散選択分析は、従属変数が（理論的には）無限個の値をとることができる回帰分析の形式と区別される。 例えば、通勤手段を選ぶ場合、選択肢には自家用車での移動、相乗り、バスの利用などが含まれます。さらに、車で駅まで行き、そこから電車で通勤するなど、複数の交通 手段を組み合わせることも可能です。この場合、選択肢には考えられるすべての交通手段の組み合わせが含まれます。あるいは、選択肢を「主要な」交通手段の選択と定義することもできます。この場合、選択肢には車、バス、鉄道、その他（徒歩、自転車など）が含まれます。なお、「その他」という選択肢は、選択肢を網羅的にするために含められています。
状況によって、人それぞれ異なる選択肢を持つ可能性がある。例えば、 2009年時点ではサイオン 車はカナダでは販売されていなかったため、カナダの新車購入者はアメリカの消費者とは異なる選択肢に直面していた。こうした点は、離散選択モデルの構築において考慮される。
選択確率の定義 離散選択モデルは、ある人が特定の選択肢を選ぶ確率を規定するものであり、その確率は選択肢と人に関連する観測変数の関数として表される。一般的に、人n が選択肢i を選ぶ確率は次のように表される。
P n 私 ≡ 教授 （ 人 n 代替案を選択する 私 ） = G （ x n 私 、 x n j 、 j ≠ 私 、 s n 、 β ） 、 {\displaystyle P_{ni}\equiv \Pr({\text{人}}n{\text{が選択肢}}iを選択する)=G(x_{ni},\;x_{nj,j\neq i},\;s_{n},\;\beta ),} どこ
x n 私 {\displaystyle x_{ni}} は、 n さんが直面する選択肢i の属性のベクトルです。x n j 、 j ≠ 私 {\displaystyle x_{nj,j\neq i}} は、 nさんが直面する他の選択肢 ( i 以外)の属性のベクトルです。s n s_n は人物n の特性を表すベクトルであり、β {\displaystyle \beta } 上記の交通 手段の例では、移動時間や費用などの交通手段の属性（x ni ）と、年収、年齢、性別などの消費者の特性（s n ）を用いて選択確率を計算できます。選択肢の属性は人によって異なる場合があり、例えば、車、バス、鉄道での通勤にかかる費用と時間は、その人の自宅や職場の場所によってそれぞれ異なります。
特性:
P ni は0から1の間です∀ n : ∑ j = 1 J P n j = 1 、 {\displaystyle \forall n:\;\sum _{j=1}^{J}P_{nj}=1,} J は選択肢の総数である。（ iを 選択する人の予想割合）= 1 N ∑ n = 1 N P n 私 、 {\displaystyle ={1 \over N}{\sum _{n=1}^{N}P_{ni}},} 異なるモデル（すなわち、異なる関数Gを用いるモデル）は、それぞれ異なる特性を持つ。代表的なモデルを以下に紹介する。
消費者向けユーティリティ 離散選択モデルは効用理論 から導き出すことができる。この導き出しは、次の3つの理由から有用である。
これは確率P niに正確な意味を与える これは、例えばG の関数形式の選択など、代替モデル仕様を動機付け、区別するものです。これは、代替案の属性の変化から生じる消費者余剰（補償的変動）の変化を計算するための理論的基礎を提供する。 Uniは 、n さんが選択肢i を選択することによって得られる効用（または純便益、幸福度）を表します。n さんの行動は効用最大化であり、n さんは最も高い効用をもたらす選択肢を選びます。n さんの選択は、各選択肢ごとにダミー変数y ni で表されます。
y n 私 = { 1 U n 私 > U n j ∀ j ≠ 私 0 さもないと {\displaystyle y_{ni}={\begin{cases}1&U_{ni}>U_{nj}\quad \forall j\neq i\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} ここで、選択を検証する研究者について考えてみましょう。その人の選択は多くの要因に依存しており、その中には研究者が観察できるものとできないものがあります。ある選択肢を選ぶことでその人が得る効用は、研究者が観察できる変数に依存する部分と、研究者が観察できない変数に依存する部分に分解されます。線形形式 では、この分解は次のように表されます。
U n 私 = β z n 私 + ε n 私 {\displaystyle U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}} どこ
z n 私 {\displaystyle z_{ni}} は、選択肢i に関する人物n の 観測変数のベクトルであり、選択肢の属性x ni に依存し、おそらく人物の属性s n と相互作用し、次のように表現できます。z n 私 = z （ x n 私 、 s n ） {\displaystyle z_{ni}=z(x_{ni},s_{n})} z に対して、β {\displaystyle \beta } ε n 私 {\displaystyle \varepsilon _{ni}} 選択確率は
P n 私 = 教授 （ y n 私 = 1 ） = 教授 （ ⋂ j ≠ 私 U n 私 > U n j 、 ） = 教授 （ ⋂ j ≠ 私 β z n 私 + ε n 私 > β z n j + ε n j 、 ） = 教授 （ ⋂ j ≠ 私 ε n j − ε n 私 < β z n 私 − β z n j 、 ） {\displaystyle {\begin{aligned}P_{ni}&=\Pr(y_{ni}=1)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\varepsilon _{nj}-\varepsilon _{ni}<\beta z_{ni}-\beta z_{nj},\right)\end{aligned}}} β が与えられた場合、選択確率は、ランダム項ε nj − ε ni ∀ j ≠ 私 : β z n 私 − β z n j 。 {\displaystyle \forall j\neq i:\beta z_{ni}-\beta z_{nj}.} i に対するε ni の異なる分布とβ の異なる処理から生じます。
効用理論によって示唆される離散選択モデルの特性
違いだけが重要 ある人が特定の選択肢を選ぶ確率は、その選択肢を選ぶことの効用と他の選択肢を選ぶことの効用を比較することによって決定される。
P n 私 = 教授 （ y n 私 = 1 ） = 教授 （ ⋂ j ≠ 私 U n 私 > U n j ） = 教授 （ ⋂ j ≠ 私 U n 私 − U n j > 0 ） {\displaystyle P_{ni}=\Pr(y_{ni}=1)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj}\right)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}-U_{nj}>0\right)} 最後の項が示すように、選択確率は選択肢間の効用の差のみに依存し、効用の絶対値には依存しない。言い換えれば、すべての選択肢の効用に定数を加えても、選択確率は変化しない。
スケールを正規化する必要があります 効用には単位がないため、効用の尺度を正規化する必要があります。効用の尺度は、離散選択モデルにおける誤差項の分散によって定義されることがよくあります。この分散は、データの収集時期や場所など、データセットの特性によって異なる場合があります。したがって、分散の正規化は、多様なデータセットで推定されたパラメータの解釈に影響を与えます。
離散選択モデルの主な種類 離散選択モデルは、まず利用可能な選択肢の数に基づいて分類することができる。
* 二項選択モデル（二分法）：2つの選択肢 * 多項選択モデル（多項式 ）：3つ以上の選択肢がある 多項選択モデルは、モデルの仕様に基づいてさらに分類することができる。
* 標準ロジットなどのモデルは、代替案間で観測されない要因に相関がないと仮定する。 * 代替案間の未観測因子の相関関係を許容するモデル さらに、代替案の順位付け（第一希望、第二希望、第三希望など）や評価データの分析に利用できる、特定の形式のモデルも用意されている。
各モデルの詳細は、以下のセクションで説明します。
二者択一
U n は 、n さんが行動を起こすことによって得られる効用（または純便益）です（行動を起こさない場合と比較して）。この人が行動を起こすことによって得られる効用は、その人の特性に依存し、その特性の一部は研究者によって観察され、一部は観察されません。U n > 0 の場合、その人は行動を起こします ( y n 1 ) 。ε n は、ロジスティック分布 に従うと仮定します。その仕様は、簡潔に次のように記述されます。
{ U n = β s n + ε n y n = { 1 U n > 0 0 U n ⩽ 0 ε ～ 物流 ⇒ P n 1 = 1 1 + exp （ − β s n ） {\displaystyle {\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Logistic}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta s_{n})}}}
モデルの説明はモデルA と同じですが、観測されない項がロジスティック分布 ではなく標準正規 分布に従う点が異なります。
{ U n = β s n + ε n y n = { 1 U n > 0 0 U n ⩽ 0 ε ～ 標準正規 ⇒ P n 1 = Φ （ β s n ） 、 {\displaystyle {\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{標準正規分布}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}=\Phi (\beta s_{n}),} どこΦ {\displaystyle \Phi } は標準正規分布の累積分布関数 です。
U ni は、 n さんが選択肢i を 選択することによって得られる効用です。各選択肢の効用は、選択肢の属性と、場合によってはその人の属性との相互作用によって決まります。観測されない項は極値 分布を持つと仮定されます。[ nb 1 ]
{ U n 1 = β z n 1 + ε n 1 U n 2 = β z n 2 + ε n 2 ε n 1 、 ε n 2 ～ 独立同分布の極値 ⇒ P n 1 = exp （ β z n 1 ） exp （ β z n 1 ） + exp （ β z n 2 ） {\displaystyle {\begin{cases}U_{n1}=\beta z_{n1}+\varepsilon _{n1}\\U_{n2}=\beta z_{n2}+\varepsilon _{n2}\\\varepsilon _{n1},\varepsilon _{n2}\sim {\text{iid Extreme値}}\end{ケース}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {\exp(\beta z_{n1})}{\exp(\beta z_{n1})+\exp(\beta z_{n2})}}} この仕様は、上記モデルA （これも二項ロジット）と関連付けることができます。特に、P n 1は
P n 1 = 1 1 + exp （ − β （ z n 1 − z n 2 ） ） {\displaystyle P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta (z_{n1}-z_{n2}))}}} 2 つの誤差項がiid 極値 である場合、[ nb 1 ] ロジスティック 分布に従うことに注意してください。これが 2 つの仕様の等価性の基礎となります。
モデルの説明はモデルC と同じですが、2つの観測されない項の差がロジスティック分布 ではなく標準正規 分布に従う点が異なります。
すると、その行動をとる確率は
P n 1 = Φ （ β （ z n 1 − z n 2 ） ） 、 {\displaystyle P_{n1}=\Phi (\beta (z_{n1}-z_{n2})),} ここで、Φは標準正規分布の累積分布関数 である。
選択肢間の相関関係のない多項選択
すべての選択肢の効用は同じ変数s n に依存するが、係数は選択肢ごとに異なる。
U ni = β i s n + ε ni 、効用の違いだけが重要なので、正規化する必要があるβ 私 = 0 {\displaystyle \beta _{i}=0} β 1 = 0 \displaystyle \beta _{1}=0} ε ni iid 極値 [ nb 1 ] 選択確率は次の形式をとる。
P n 私 = exp （ β 私 s n ） ∑ j = 1 J exp （ β j s n ） 、 {\displaystyle P_{ni}={\exp(\beta _{i}s_{n}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta _{j}s_{n})},} ここで、Jは選択肢の総数である。
各選択肢の有用性は、その選択肢の特性と、場合によっては個人の特性との相互作用によって決まる。
{ U n 私 = β z n 私 + ε n 私 ε n 私 ～ 独立同分布の極値 ⇒ P n 私 = exp （ β z n 私 ） ∑ j = 1 J exp （ β z n j ） 、 {\displaystyle {\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{ni}\sim {\text{iid extreme value}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}={\exp(\beta z_{ni}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})},} ここで、J は選択肢の総数である。
モデルE は、変数を適切に再指定することで、モデルF と同じ形式で表現できることに注意してください。w n j k = s n δ j k {\displaystyle w_{nj}^{k}=s_{n}\delta _{jk}} δ j k {\displaystyle \delta _{jk}} クロネッカーデルタ であり、s n はモデルE から得られる。次に、モデルF は、
z n j = { w n j 1 、 ⋯ 、 w n j J } そして β = { β 1 、 ⋯ 、 β J } 、 {\displaystyle z_{nj}=\left\{w_{nj}^{1},\cdots ,w_{nj}^{J}\right\}\quad {\text{and}}\quad \beta =\left\{\beta _{1},\cdots ,\beta _{J}\right\},} ここで、J は選択肢の総数である。
標準ロジットモデルは、選択肢間の観測不能な要因に相関がないことを前提としているため、常に適切とは限りません。この相関の欠如は、特定の状況では必ずしも現実的ではない選択肢間の特定の代替パターンにつながります。この代替パターンは、標準ロジットモデルの無関係な選択肢の独立性（IIA）特性 と呼ばれることがよくあります。[ 16 ] [ 17 ]
ネスト型ロジットモデル - 選択肢セットを「ネスト」に分割することで、選択肢間の相関関係を捉えます。 クロスネストロジットモデル[ 18 ] C-ロジットモデル[ 19 ] ペアード組み合わせロジットモデル[ 20 ] 一般化極値モデル[ 21 ] [ 17 ] 条件付きプロビット[ 22 ] [ 23 ] 混合ロジット [ 13 ] [ 14 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 17 ] [ 25 ] [ 26 ] 以下のセクションでは、ネスト型ロジットモデル、GEVモデル、プロビットモデル、および混合ロジットモデルについて詳しく説明します。
このモデルは、効用の観測不能な要素が選択肢間で独立しているのではなく、選択肢間で相関している点を除いて、モデルF と同じです。
U ni = βz ni + ε ni 、各ε ni 分布は 極値で あるが、[ nb 1 ] 確率は、指定された相関パターンに応じて様々な形をとります。一般化極値を 参照してください。
このモデルは、観測されない項が同時正規 分布に従う点を除いてモデルG と同じです。これにより、相関と不均一分散 のあらゆるパターンを許容できます。
{ U n 私 = β z n 私 + ε n 私 ε n ≡ （ ε n 1 、 ⋯ 、 ε n J ） ～ N （ 0 、 Ω ） ⇒ P n 私 = 教授 （ ⋂ j ≠ 私 β z n 私 + ε n 私 > β z n j + ε n j ） = ∫ 私 （ ⋂ j ≠ 私 β z n 私 + ε n 私 > β z n j + ε n j ） ϕ （ ε n | Ω ） d ε n 、 {\displaystyle {\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{n}\equiv (\varepsilon _{n1},\cdots ,\varepsilon _{nJ})\sim N(0,\Omega )\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)=\int I\left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)\phi (\varepsilon _{n}|\Omega )\;d\varepsilon _{n},} どこϕ （ ε n | Ω ） {\displaystyle \phi (\varepsilon _{n}|\Omega )} Ω {\displaystyle \Omega }
この選択確率の積分は閉じた形式で表すことができないため、確率は数値積分またはシミュレーションによって近似されます。
いつΩ {\displaystyle \Omega } が単位行列 である場合（相関や不均一分散が ない場合）、このモデルは独立プロビットと呼ばれます。
ランキングからの推定 多くの場合、人が選んだ選択肢だけでなく、選択肢の順位付けも観察されます。例えば、新車を購入した人に、その車が提供されていなかったら何を買っていたかを尋ねると、第一希望に加えて第二希望の情報が得られます。あるいは、アンケート調査では、回答者に次のような質問をするかもしれません。
例 ：以下の携帯電話通話プランを、最も好ましいものから最も好ましくないものまで順位付けしてください。* 月額60ドルで通話時間無制限、2年契約、早期解約手数料100ドル 月額30ドルで400分間通話可能、400分以降は1分あたり3セント、1年契約、早期解約手数料125ドル 月額35ドルで500分の通話が可能、500分を超えると1分あたり3セント、契約期間なし、早期解約手数料なし 月額50ドルでいつでも1000分通話可能、1000分以降は1分あたり5セント、2年契約、早期解約手数料75ドル 上記で説明したモデルは、第一選択以外の順位付けにも対応できるように調整可能です。順位付けデータに最もよく用いられるモデルは、拡張ロジットとその混合バージョンです。
標準ロジット（モデルF ）と同じ仮定の下では、選択肢の順位付けの確率は標準ロジットの積になります。このモデルは、通常、選択された選択肢に対する1つのロジット式で表される選択状況が、順位付けされた各選択肢に対して個別のロジット式を持つように拡張（「展開」）されるため、「展開ロジット」と呼ばれます。展開ロジットモデルは、各選択肢が順位付けされるにつれて選択肢のセットが減少し、次の選択で利用可能な選択肢のセットが残る標準ロジットモデルの積です。
一般性を失うことなく 、選択肢は、その人の順位を表すようにラベル付けし直すことができる。選択肢1は第一選択、2は第二選択、といった具合である。J個の選択肢を1、2、…、Jと順位付けする選択確率は、次のようになる。
教授 （ ランキング 1 、 2 、 … 、 J ） = exp （ β z 1 ） ∑ j = 1 J exp （ β z n j ） exp （ β z 2 ） ∑ j = 2 J exp （ β z n j ） … exp （ β z J − 1 ） ∑ j = J − 1 J exp （ β z n j ） {\displaystyle \Pr({\text{ranking }}1,2,\ldots ,J)={\exp(\beta z_{1}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}{\exp(\beta z_{2}) \over \sum _{j=2}^{J}\exp(\beta z_{nj})}\ldots {\exp(\beta z_{J-1}) \over \sum _{j=J-1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}} 標準ロジットと同様に、拡張ロジットモデルでは、選択肢間の未観測因子に相関がないことを前提としています。拡張ロジットは、標準ロジットと同様に、選択肢間の相関やランダムな嗜好の変動に対応できるように一般化できます。「混合拡張ロジット」モデルは、上記の混合ロジットモデル（モデル I ）におけるL ni の順位の確率によって得られます。
このモデルは計量経済学では順位ロジットモデル としても知られており、 1981年にBeggs、Cardell、Hausmanによってその分野に導入されました。 [ 32 ] [ 33 ] [ 33 ] また、生物医学文献ではPlackett–Luceモデル としても知られています。[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]
注文モデル アンケート調査では、回答者は次のような評価を求められることがよくあります。
例 ：大統領の業績について、あなたの評価をお聞かせください。1：非常に悪い 2：ひどく 3：オーケー 4：さて 5：とてもよくできました または、
例 ：1～5の尺度で、1は全く同意しない、5は完全に同意するとして、次の意見にどの程度同意しますか。「連邦政府は、住宅差し押さえに直面している人々を支援するためにもっと多くのことを行うべきだ。」多項離散選択モデルは、これらの質問に対する回答を分析できます（モデルG 、モデルH 、モデルI ）。ただし、これらのモデルは、回答者が各回答に対して何らかの効用を得て、最も効用の高い回答を選択するという概念に基づいて導出されています。回答者が質問に関連する何らかの潜在的な尺度 または指標を持ち、その尺度の高さに応じて回答すると考える方がより自然かもしれません。順序ロジットモデルと順序プロビットモデルは、この概念に基づいて導出されています。
U nを、 調査対象者n の
1、U n < a の場合 2、a < U n < b の場合 3、b < U n < c の場合 4、c < U n < d の場合 5、U n > d の場合、 実数a 、b 、c 、d について。
定義するU n = β z n + ε 、 ε ～ {\displaystyle U_{n}=\beta z_{n}+\varepsilon ,\;\varepsilon \sim } ロジスティック回帰 の場合、各応答の確率は次のようになります。
教授 （ 選択する 1 ） = 教授 （ U n < 1 ） = 教授 （ ε < 1 − β z n ） = 1 1 + exp （ − （ 1 − β z n ） ） 教授 （ 選択する 2 ） = 教授 （ 1 < U n < b ） = 教授 （ 1 − β z n < ε < b − β z n ） = 1 1 + exp （ − （ b − β z n ） ） − 1 1 + exp （ − （ 1 − β z n ） ） ⋯ 教授 （ 選択する 5 ） = 教授 （ U n > d ） = 教授 （ ε > d − β z n ） = 1 − 1 1 + exp （ − （ d − β z n ） ） {\displaystyle {\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Pr(U_{n}<a)=\Pr(\varepsilon <a-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Pr(a<U_{n}<b)=\Pr(a-\beta z_{n}<\varepsilon <b-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(b-\beta z_{n}))}-{1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\&\cdots \\\Pr({\text{choosing }}5)&=\Pr(U_{n}>d)=\Pr(\varepsilon >d-\beta z_{n})=1-{1 \over 1+\exp(-(d-\beta z_{n}))}\end{aligned}}} モデルのパラメータは、係数β とカットオフポイントa～d モデルA ）と同じです。
モデルの説明はモデルK と同じですが、観測されない項がロジスティック分布 ではなく正規分布に 従う点が異なります。
選択確率は（Φ {\displaystyle \Phi }
教授 （ 選択する 1 ） = Φ （ 1 − β z n ） 教授 （ 選択する 2 ） = Φ （ b − β z n ） − Φ （ 1 − β z n ） ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Phi (a-\beta z_{n})\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Phi (b-\beta z_{n})-\Phi (a-\beta z_{n})\\&\cdots \end{aligned}}}
注記 1 2 3 4 5 極値分布の密度関数と累積分布関数は次のように与えられる。f （ ε n j ） = exp （ − ε n j ） exp （ − exp （ − ε n j ） ） {\displaystyle f(\varepsilon _{nj})=\exp(-\varepsilon _{nj})\exp(-\exp(-\varepsilon _{nj}))} F （ ε n j ） = exp （ − exp （ − ε n j ） ） 。 {\displaystyle F(\varepsilon _{nj})=\exp(-\exp(-\varepsilon _{nj})).} この分布は、ガンベル分布 またはタイプI極値分布とも呼ばれ、一般化極値分布 の特殊なタイプです。
参考文献 1 2 3 Train, K. (1986).質的選択分析：理論、計量経済学、および自動車需要への応用 ISBN 9780262200554 。↑ Train, K.; McFadden, D.; Ben-Akiva, M. (1987). "市内電話サービスの需要：住宅通話パターンとサービス選択の完全離散モデル". RAND Journal of Economics . 18 (1): 109–123 . JSTOR 2555538 . ↑ Train, K.; Winston, C. (2007). "車両選択行動と米国自動車メーカーの市場シェア低下". International Economic Review . 48 (4): 1469– 1496. doi : 10.1111/j.1468-2354.2007.00471.x . S2CID 13085087 . 1 2 Fuller, WC; Manski, C. ; Wise, D. (1982). 「高等教育選択の経済的決定要因に関する新たな証拠」。Journal of Human Resources . 17 (4): 477– 498. doi : 10.2307/145612 . JSTOR 145612 . 1 2 Train, K. (1978). "A Validation Test of a Disaggregate Mode Choice Model" (PDF) . Transportation Research . 12 (3): 167– 174. doi : 10.1016/0041-1647(78)90120-x . 2010-06-22 の オリジナル (PDF)からアーカイブ済み 。2009-02-16 に 取得 。 ↑ Baltas, George; Doyle, Peter (2001). "マーケティングリサーチにおけるランダム効用モデル：概説". Journal of Business Research . 51 (2): 115– 125. doi : 10.1016/S0148-2963(99)00058-2 . ↑ Ben-Akiva, Moshe; Mcfadden, Daniel; Train, Kenneth; Walker, Joan ; Bhat, Chandra; Bierlaire, Michel; Bolduc, Denis; Boersch-Supan, Axel; Brownstone, David; Bunch, David S.; Daly, Andrew; De Palma, Andre; Gopinath, Dinesh; Karlstrom, Anders; Munizaga, Marcela A. (2002-08-01). "ハイブリッド選択モデル: 進歩と課題" . Marketing Letters . 13 (3): 163– 175. doi : 10.1023/A:1020254301302 . hdl : 10533/173383 . ISSN 1573-059X . ↑ Ramming, MS (2001). Network Knowledge and Route Choice (Thesis). 未発表博士論文、マサチューセッツ工科大学。MITカタログ。hdl : 1721.1 /49797 。 ↑ メサ・アランゴ、ロドリゴ。ハサン、サミウル。ウクスリ、サティシュ V.マレー・トゥイト、パメラ（2013 年 2 月）。 「ハリケーン・イワンのデータを使用したハリケーン避難先タイプ選択のための世帯レベルのモデル」 。 自然災害のレビュー 。 14 (1): 11–20 。 Bibcode : 2013NHRev..14...11M 。 土井 : 10.1061/(ASCE)NH.1527-6996.0000083 。 ISSN 1527-6988 。 ↑ Wibbenmeyer, Matthew J.; Hand, Michael S.; Calkin, David E.; Venn, Tyron J.; Thompson, Matthew P. (2013 年 6 月). "山火事の戦略的意思決定におけるリスク選好: 米国山火事管理者による選択実験" . Risk Analysis . 33 (6): 1021– 1037. Bibcode : 2013RiskA..33.1021W . doi : 10.1111/j.1539-6924.2012.01894.x . ISSN 0272-4332 . PMID 23078036 . ↑ Lovreglio, Ruggiero; Borri, Dino; dell'Olio, Luigi; Ibeas, Angel (2014-02-01). "緊急避難時の出口選択のためのランダム効用に基づく離散選択モデル" . Safety Science . 62 : 418– 426. doi : 10.1016/j.ssci.2013.10.004 . ISSN 0925-7535 . ↑ Goett, Andrew; Hudson, Kathleen; Train, Kenneth E. (2002). "小売エネルギー供給業者間の顧客選択". Energy Journal . 21 (4): 1– 28. doi : 10.5547/ISSN0195-6574-EJ-Vol21-No4-1 . 1 2 Revelt, David; Train, Kenneth E. (1998). "繰り返し選択を伴う混合ロジット：世帯の家電効率レベルの選択". Review of Economics and Statistics . 80 (4): 647–657 . doi : 10.1162/003465398557735 . JSTOR 2646846 . S2CID 10423121 . 1 2 Train, Kenneth E. (1998). "レクリエーション需要モデルと嗜好の変動". Land Economics . 74 (2): 230–239 . CiteSeerX 10.1.1.27.4879 . doi : 10.2307/3147053 . JSTOR 3147053 . ↑ Cooper, AB; Millspaugh, JJ (1999). "野生生物資源選択研究への離散選択モデルの適用". Ecology . 80 (2): 566– 575. doi : 10.1890/0012-9658(1999)080 [ 0566:TAODCM ] 2.0.CO ; 2 . ↑ Ben-Akiva, M.; Lerman, S. (1985). Discrete Choice Analysis: Theory and Application to Travel Demand . Transportation Studies. Massachusetts: MIT Press. 1 2 3 Ben-Akiva, M.; Bierlaire, M. (1999). "離散選択法とその短期旅行決定への応用" (PDF) . In Hall, RW (ed.). Handbook of Transportation Science . ↑ Vovsha, P. (1997). "イスラエル、テルアビブ都市圏における交通手段選択へのクロスネストロジットモデルの適用" . Transportation Research Record . 1607 : 6–15 . doi : 10.3141/1607-02 . S2CID 110401901 . {{cite journal}}: CS1メンテナンス: アーカイブサービスは非推奨になりました (リンク)↑ Cascetta, E.; Nuzzolo, A.; Russo, F.; Vitetta, A. (1996). "経路重複問題を克服する修正ロジット経路選択モデル：都市間ネットワークの仕様といくつかの較正結果" (PDF) . Lesort, JB (編)『 交通と交通理論』第13回国際交通と交通理論シンポジウム議事録 . フランス、リヨン：Pergamon. pp. 697–711 . ↑ Chu, C. (1989). 「旅行需要分析のためのペアード組み合わせロジットモデル」. 第5回世界交通研究会議議事録 . 第 4巻. ベンチュラ、カリフォルニア州. pp. 295–309 . {{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)↑ McFadden, D. (1978). "居住地の選択のモデリング" (PDF) . Karlqvist, A. 他 編『 空間相互作用理論と居住地』 . アムステルダム：North Holland. pp. 75–96 . ↑ Hausman, J.; Wise, D. (1978). "質的選択のための条件付きプロビットモデル：相互依存性と異質な選好を認識する離散的決定". Econometrica . 48 (2): 403– 426. doi : 10.2307/1913909 . JSTOR 1913909 . 1 2 Train, K. (2003). Discrete Choice Methods with Simulation . Massachusetts: Cambridge University Press. 1 2 McFadden, D. ; Train, K. (2000). "離散応答のための混合MNLモデル" (PDF) . Journal of Applied Econometrics . 15 (5): 447– 470. CiteSeerX 10.1.1.68.2871 . doi : 10.1002/1099-1255(200009/10)15:5 < 447::AID-JAE570 > 3.0.CO ; 2-1 . ↑ Ben-Akiva, M.; Bolduc, D. (1996). "ロジットカーネルと共分散構造の一般的なパラメトリック仕様を持つ多項プロビット" (PDF) . ワーキングペーパー . ↑ Bekhor, S.; Ben-Akiva, M.; Ramming, MS (2002). "経路選択状況へのロジットカーネルの適用" . Transportation Research Record . 1805 : 78– 85. doi : 10.3141/1805-10 . S2CID 110895210 . {{cite journal}}: CS1メンテナンス: アーカイブサービスは非推奨になりました (リンク)↑ 詳細については、「混合ロジット」 も参照してください。 ↑ Manski, Charles F. (1975). "選択の確率的効用モデルの最大スコア推定". Journal of Econometrics . 3 (3). Elsevier BV: 205– 228. Bibcode : 1975JEcon...3..205M . doi : 10.1016/0304-4076(75)90032-9 . ISSN 0304-4076 . ↑ Horowitz, Joel L. (1992). "A Smoothed Maximum Score Estimator for the Binary Response Model". Econometrica . 60 (3). JSTOR: 505– 531. doi : 10.2307/2951582 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 2951582 . ↑ Park, Byeong U.; Simar, Léopold; Zelenyuk, Valentin (2017). "時系列データに対する動的離散選択モデルのノンパラメトリック推定" (PDF) . Computational Statistics & Data Analysis . 108 : 97– 120. doi : 10.1016/j.csda.2016.10.024 . ↑ Hair, JF; Ringle, CM; Gudergan, SP; Fischer, A.; Nitzl, C.; Menictas, C. (2019). "Partial least squares structural equation modeling-based discrete choice modeling: an illustration in modeling retailer choice" (PDF) . Business Research . 12 : 115– 142. doi : 10.1007/s40685-018-0072-4 . ↑ Beggs, S.; Cardell, S.; Hausman, J. (1981). "電気自動車の潜在需要の評価". Journal of Econometrics . 17 (1): 1– 19. doi : 10.1016/0304-4076(81)90056-7 . 1 2 3 Combes, Pierre-Philippe; Linnemer, Laurent; Visser, Michael (2008). "出版か、それとも同僚のネットワークか？経済学教授の採用におけるスキルとネットワークの役割". Labour Economics . 15 (3): 423– 441. doi : 10.1016/j.labeco.2007.04.003 . ↑ Plackett, RL (1975). "順列の分析". Journal of the Royal Statistical Society, Series C . 24 (2): 193– 202. Bibcode : 1975AppSt..24..193P . doi : 10.2307/2346567 . JSTOR 2346567 . ↑ Luce, RD (1959). Individual Choice Behavior: A Theoretical Analysis . Wiley.
さらに読む Anderson, S.、A. de Palma、J.-F. Thisse (1992)、離散選択理論による製品差別化 、MIT Press、 Ben-Akiva, M.; Lerman, S. (1985).離散選択分析：理論と旅行需要への応用 . MIT Press. グリーン、ウィリアム・H. (2012).計量経済学分析 版）. アッパー・サドル・リバー：ピアソン・プレンティス・ホール. pp. 770–862 . ISBN 978-0-13-600383-0 。ヘンシャー、D.、ローズ、J.、グリーン、W. (2005).応用選択分析入門 . ケンブリッジ大学出版局. マダラ、G. (1983).計量経済学における限定従属変数と質的変数 . ケンブリッジ大学出版局.McFadden, Daniel L. (1984).質的応答モデルの計量経済学的分析 . 計量経済学ハンドブック、第 II 巻、 第 24 章. Elsevier Science Publishers BV.Train, K. (2009) [2003].シミュレーションを用いた離散選択法 . Cambridge University Press.
