ノンパラメトリック統計

ノンパラメトリック統計は、調査対象データの根本的な分布について最小限の仮定を行う統計分析の一種です。多くの場合、これらのモデルは、パラメトリック統計のように有限次元ではなく無限次元です。^{[1]ノンパラメトリック統計は、}記述統計または統計的推論に使用できます。ノンパラメトリック検定は、パラメトリック検定の仮定が明らかに違反している場合によく使用されます。^[2]

「ノンパラメトリック統計」という用語は、次のような 2 つの方法で不正確に定義されています。

ノンパラメトリックの最初の意味は、特定のパラメトリック確率分布ファミリーに属するデータに依存しない手法を指します。これには、次のようなものがあります。

• 分布に依存しない方法、つまり、データが与えられたパラメトリックな確率分布の族から抽出されるという仮定に依存しない方法。
• パラメータに依存せず、サンプル上の関数として定義された統計。

一例として、観測値の 順序付けに基づく順序統計があります。

以下の議論はケンドールの『統計学の高度理論』^[3]から引用したものです。

統計的仮説は、観測可能なランダム変数の挙動に関するものです。... たとえば、正規分布には指定された平均と分散があるという仮説 (a) は統計的です。また、平均は与えられているが分散が指定されていないという仮説 (b) も統計的です。分布は平均と分散が指定されていない正規形であるという仮説 (c) も統計的です。最後に、指定されていない 2 つの連続分布は同一であるという仮説 (d) も統計的です。

例 (a) と (b) では、観測の基礎となる分布が特定の形式 (正規分布) であるとみなされ、仮説はパラメータの 1 つまたは両方の値にのみ関係していることに気付いたでしょう。このような仮説は、明らかな理由から、パラメトリックと呼ばれます。

仮説 (c) は、仮説の記述でパラメータ値が指定されていないため、性質が異なります。このような仮説は、ノンパラメトリックと呼ぶのが妥当でしょう。仮説 (d) もノンパラメトリックですが、さらに、分布の基礎となる形式さえ指定していないため、分布フリーと呼ぶのが妥当でしょう。これらの違いにもかかわらず、統計文献では現在、私たちが「分布フリー」と名付けたテスト手順に「ノンパラメトリック」というラベルを付けることが多く、そのため、有用な分類が失われています。

ノンパラメトリックの 2 番目の意味は、モデルの構造が固定されていると想定しない手法です。通常、モデルはデータの複雑さに対応するためにサイズが大きくなります。これらの手法では、通常、個々の変数はパラメトリック分布に属すると想定され、変数間の関連性の種類についても想定されます。これらの手法には、次のようなものがあります。

• ノンパラメトリック回帰は、変数間の関係の構造をノンパラメトリックに扱うモデリングですが、それでもモデル残差の分布についてはパラメトリックな仮定が存在する場合があります。
• ディリクレ過程に基づくモデルなどのノンパラメトリック階層ベイズモデルでは、潜在変数の数はデータに適合するために必要に応じて増加しますが、個々の変数は依然としてパラメトリック分布に従い、潜在変数の増加率を制御するプロセスもパラメトリック分布に従います。

ノンパラメトリック法は、順位付けされた集団（1 から 5 の「星」が付けられた映画レビューなど）を調査するために広く使用されています。嗜好を評価する場合など、データに順位付けがあっても明確な数値的解釈がない場合には、ノンパラメトリック法の使用が必要になることがあります。測定レベルに関しては、ノンパラメトリック法は順序データをもたらします。

ノンパラメトリック法は仮定が少ないため、対応するパラメトリック法よりも適用範囲がはるかに広くなります。特に、問題のアプリケーションについてあまり知られていない状況でも適用できます。また、仮定が少ないため、ノンパラメトリック法はより堅牢です。

パラメトリック法の仮定が正当化されている場合でも、ノンパラメトリック法はパラメトリック法よりも使いやすく、堅牢であると考えられることがあります。これは、ノンパラメトリック法のより一般的な性質により、誤用や誤解を受けにくくなるためです。ノンパラメトリック法は、仮定が満たされなくても機能するため、保守的な選択であると考えられます。一方、パラメトリック法は、仮定に違反すると誤解を招く結果を生み出す可能性があります。

ノンパラメトリック検定の適用範囲が広くなり、堅牢性が高まると、コストがかかります。パラメトリック検定の仮定が満たされる場合、ノンパラメトリック検定の統計的検出力は低くなります。言い換えれば、同じ信頼度で結論を導き出すには、より大きなサンプル サイズが必要になる可能性があります。

ノンパラメトリック モデルは、モデル構造が事前に指定されず、データから決定されるという点でパラメトリックモデルとは異なります。ノンパラメトリックという用語は、そのようなモデルにパラメーターがまったく存在しないことを意味するのではなく、パラメーターの数と性質が柔軟であり、事前に固定されていないことを意味します。

• ヒストグラムは、確率分布の単純なノンパラメトリック推定値です。
• カーネル密度推定は、確率分布を推定する別の方法です。
• ノンパラメトリック回帰法とセミパラメトリック回帰法は、カーネル、スプライン、ウェーブレットに基づいて開発されてきました。
• データ包絡分析では、分布の仮定なしに多変量解析で得られるものと同様の効率係数が得られます。
• KNN は、トレーニング セット内の最も近い K ポイントに基づいて、見えないインスタンスを分類します。
• サポートベクター マシン(ガウス カーネルを使用) は、ノンパラメトリックな大マージン分類器です。
• 多項式確率分布によるモーメント法。

ノンパラメトリック（または分布に依存しない）推論統計手法は、パラメトリック統計とは異なり、評価対象の変数の確率分布について仮定しない統計的仮説検定のための数学的手順です。最も頻繁に使用される検定には、

• 類似点の分析
• アンダーソン・ダーリング検定: サンプルが与えられた分布から抽出されたかどうかを検定する
• 統計的ブートストラップ法：統計の精度/標本分布を推定する
• コクランのQ : 0/1の結果を持つランダム化ブロック設計におけるk個の治療が同一の効果を持つかどうかをテストする
• コーエンのカッパ：カテゴリ項目の評価者間の一致を測る
• フリードマン二元配置分散分析（反復測定）順位付け：ランダム化ブロック設計におけるk個の処理が同一の効果を持つかどうかを検定する
• 経験的可能性
• カプラン・マイヤー：生涯データから生存関数を推定し、打ち切りをモデル化する
• ケンドールのタウ：2つの変数間の統計的依存性を測定する
• Kendall の W : 評価者間の一致を 0 から 1 の間で測定します。
• コルモゴロフ・スミルノフ検定: サンプルが特定の分布から抽出されたか、または 2 つのサンプルが同じ分布から抽出されたかをテストします。
• Kruskal–Wallis の一元配置分散分析(順位による): 2 つ以上の独立したサンプルが同じ分布から抽出されているかどうかをテストします。
• カイパー検定: サンプルが特定の分布から抽出され、曜日などの周期的な変動に敏感かどうかをテストします。
• ログランク検定: 2 つの右偏りの検閲済みサンプルの生存分布を比較します。
• Mann-Whitney Uまたは Wilcoxon 順位和検定: 与えられた対立仮説と比較して、2 つのサンプルが同じ分布から抽出されたかどうかをテストします。
• マクネマー検定: 二値特性と一致する被験者のペアを含む 2 × 2 分割表で、行と列の周辺頻度が等しいかどうかをテストします。
• 中央値検定: 2 つのサンプルが等しい中央​​値を持つ分布から抽出されたかどうかを検定します。
• ピットマンの順列検定: ラベルの可能なすべての並べ替えを調べることで正確なp値を生成する統計的有意性検定。
• 製品のランク付け: 複製されたマイクロアレイ実験で差次的に発現した遺伝子を検出します。
• Siegel–Tukey 検定: 2 つのグループ間の尺度の違いを検定します。
• 符号検定: 一致するペアのサンプルが等しい中央​​値を持つ分布から抽出されているかどうかをテストします。
• スピアマンの順位相関係数: 単調関数を使用して 2 つの変数間の統計的依存性を測定します。
• 二乗順位検定: 2 つ以上のサンプルにおける分散の等価性を検定します。
• Tukey–Duckworth 検定: 順位を使用して 2 つの分布の等価性を検定します。
• Wald–Wolfowitz ラン検定: シーケンスの要素が相互に独立/ランダムであるかどうかをテストします。
• ウィルコクソン符号順位検定: マッチしたペアのサンプルが異なる平均順位を持つ母集団から抽出されているかどうかを検定します。
• ユニバーサル線形適合識別：データ、外れ値、ノイズ分布モデルに依存せず、欠損値や削除されたデータの補完がない方法。^[4]

初期のノンパラメトリック統計には、中央値（13世紀以前、エドワード・ライト（1599年）による推定に使用。中央値§歴史を参照）や、ジョン・アーバスノット（1710年）が出生時の性比を分析する際に使用した符号検定（符号検定§歴史を参照）などがある。^{[5] [6]}

• CDFベースのノンパラメトリック信頼区間
• パラメトリック統計
• 再サンプリング（統計）
• セミパラメトリックモデル

• Bagdonavicius, V.、Kruopis, J.、Nikulin, MS (2011)。「完全データのためのノンパラメトリック検定」、ISTE & WILEY: ロンドン & ホーボーケン。ISBN 978-1-84821-269-5。 
• Corder, GW; Foreman, DI (2014).ノンパラメトリック統計: ステップバイステップのアプローチ. Wiley. ISBN 978-1-118-84031-3。
• ギボンズ、ジーン・ディキンソン、チャクラボルティ、スバブラタ（2003年）。ノンパラメトリック統計推論、第4版。CRCプレス。ISBN 0-8247-4052-1。 
• Hettmansperger, TP; McKean, JW (1998)。ロバストなノンパラメトリック統計手法。ケンドール統計ライブラリ。第 5 巻。ロンドン: Edward Arnold。ISBN 0-340-54937-8. MR  1604954。ISBN 0-471-19479-4でもあります。 
• Hollander M.、Wolfe DA、Chicken E. (2014)。ノンパラメトリック統計手法、John Wiley & Sons。
• シェスキン、デビッド J. (2003)パラメトリックおよびノンパラメトリック統計手順ハンドブック。CRC プレス。ISBN 1-58488-440-1 
• Wasserman , Larry (2007). All of Nonparametric Statistics、Springer。ISBN 0-387-25145-6。