最大スコア推定器

統計学と計量経済学において、最大スコア推定量は、1975年にチャールズ・マンスキーが開発した離散選択モデル用のノンパラメトリック 推定量である。多項プロビット推定量や多項ロジット推定量とは異なり、効用の観測不可能な部分の分布については仮定しない。しかし、その統計的特性（特に漸近分布）は多項プロビットモデルやロジットモデルよりも複雑であり、統計的推論を困難にしている。これらの問題に対処するため、ジョエル・ホロウィッツは平滑化最大スコア推定量と呼ばれる変種を提案した。

離散選択問題をモデル化する場合、選択は潜在的な効用との比較によって決定されると仮定する。^[1]エージェントの集団をT、各エージェントの共通選択セットをCとする。エージェント の場合、その選択を と表し、これは選択肢iが選ばれる場合は 1、そうでない場合は 0 となる。潜在効用は説明変数に対して線形であり、加法的な応答誤差 があると仮定する。すると、エージェント の場合、 ${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle y_{t,i}}$${\displaystyle t\in T}$

${\displaystyle y_{t,i}=1\leftrightarrow x_{t,i}\beta +\epsilon _{t,i}>x_{t,j}\beta +\epsilon _{t,j},\forall j\neq i}$そして${\displaystyle j\in C}$

ここで、 およびはエージェントと選択に関する q次元の観測可能な共変量 であり、 および は 計量経済学者によって観測されないエージェントの決定に影響する要因です。観測可能な共変量の構成は非常に一般的です。たとえば、 C が異なるブランドのコーヒーのセットである場合、 には、エージェントt の特性 (年齢、性別、収入、民族など) とコーヒーiの特性(価格、味、地元産か輸入品かなど) の両方が含まれます。すべての誤差項はiid であると想定され、さまざまな要因がエージェントの選択に与える影響を特徴付けるもの を推定する必要があります 。${\displaystyle x_{t,i}}$${\displaystyle x_{t,j}}$${\displaystyle \epsilon _{t,i}}$${\displaystyle \epsilon _{t,j}}$${\displaystyle x_{t,i}}$${\displaystyle \beta}$

通常、誤差項には特定の分布仮定が課され、パラメータは パラメトリックに推定されます。たとえば、誤差項の分布が正規分布であると仮定すると、モデルは多項プロビットモデルになります。^[2]ガンベル分布であると仮定すると、モデルは多項ロジットモデルになります。パラメトリックモデル^[3]は計算には便利ですが、誤差項の分布が誤って指定されると一貫性 がなくなる可能性があります。 ^[4]${\displaystyle \beta}$

例えば、Cには2つのアイテムしか含まれていないとします。これは、 2値選択モデルの潜在効用表現^[5]です。このモデルでは、選択は次のようになります。ここで、は説明変数の2つのベクトルであり、はiid応答誤差です。 ${\displaystyle Y_{t}=1[X_{1,t}\beta +\varepsilon _{1}>X_{2,t}\beta +\varepsilon _{2}]}$${\displaystyle X_{1,t},X_{2,t}}$${\displaystyle \varepsilon_{1}}$${\displaystyle \varepsilon_{2}}$

${\displaystyle X_{1,t}\beta +\varepsilon _{1}{\text{ および }}X_{2,t}\beta +\varepsilon _{2}}$

選択肢1と2を選択する潜在的な効用です。対数尤度関数は次のように表すことができます。

${\displaystyle Q=\sum _{i-1}^{N}Y_{t}\log(P[X_{1,t}\beta -X_{2,t}\beta >\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}])+(1-Y_{t})\log(1-P[X_{1,t}\beta -X_{2,t}\beta >\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}])}$

応答誤差に関する何らかの分布仮定が課される場合、対数尤度関数は閉じた形式の表現を持つ。^[2]たとえば、応答誤差が次のように分布すると仮定すると、尤度関数は次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle Q=\sum _{i-1}^{N}Y_{t}\log \left(\Phi \left[{\frac {X_{1,t}\beta -X_{2,t}\beta }{\surd 2\sigma }}\right]\right)+(1-Y_{t})\log \left(\Phi \left[{\frac {X_{2,t}\beta -X_{1,t}\beta }{\surd 2\sigma }}\right]\right)}$

ここで、 は標準正規分布の累積分布関数(CDF)です。 ここで、が閉じた形式の表現を持たない場合でも、その導関数は閉じた形式の表現を持ちます。 これがプロビット モデルです。 ${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \Phi}$

このモデルは、応答誤差項に関する分布仮定に基づいています。モデルに特定の分布仮定を追加すると、閉じた形式の表現が存在するため、モデルを計算的に扱いやすくなります。ただし、誤差項の分布が誤って指定されている場合、分布仮定に基づく推定値は矛盾します。

分布フリー モデルの基本的な考え方は、対数尤度関数の 2 つの確率項を他の重みに置き換えることです。対数尤度関数の一般的な形式は次のように記述できます。

${\displaystyle Q=\sum _{i-1}^{N}Y_{t}\cdot \log(W_{1}(X_{1,t}\beta ,X_{2,t}\beta ))+(1-Y_{t})\log(W_{0}(X_{1,t}\beta ,X_{2,t}\beta ))}$

分布仮定に対して推定量をより堅牢にするために、Manski (1975) はパラメータを推定するノンパラメトリックモデルを提案した。このモデルでは、選択セットの要素数をJ、エージェントの総数をN、は 実数列で表す。最大スコア推定量^[6]は次のように定義される。 ${\displaystyle W(J-1)>W(J-2)>\dots >W(1)>W(0)}$

${\displaystyle {\hat {b}}={\operatorname {arg\max } }_{b}{\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\sum _{i=1}^{J}y_{t,i}W(\sum \nolimits _{j\in C,j\neq i}1[x_{t,i}b>x_{t,j}b])}$

ここで、 は、i を 選択することの根本的な効用における確実性部分の順位付けです。 このモデルにおける直感は、順位が高いほど、選択に割り当てられる重みが大きくなるということです。 ${\displaystyle \textstyle \sum \nolimits _{j\in C,j\neq i}1(x_{t,i}b>x_{t,j}b)}$

特定の条件下では、最大スコア推定量は弱整合的になり得るが、その漸近特性は非常に複雑である。^[7]この問題は主に目的関数の 非滑らかさから生じる。

バイナリコンテキストでは、最大スコア推定値は次のように表すことができます。

${\displaystyle W_{1}(X_{1,t}\beta ,X_{2,t}\beta )=w_{1}1[X_{1,t}\beta -X_{2,t}\beta >0]+w_{0}1[X_{1,t}\beta -X_{2,t}\beta <0],}$

どこ

${\displaystyle W_{0}(X_{1,t}\beta ,X_{2,t}\beta )=1-W_{1}(X_{1,t}\beta ,X_{2,t}\beta )}$

およびおよびは(0,1) の 2 つの定数です。この重み付け方式の直感は、選択の確率が効用における確実性の相対的な順序に依存するということです。 ${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle w_{0}}$

ホロウィッツ（1992）は、より優れた漸近特性を持つ平滑化最大スコア（SMS）推定量を提案した。^[8]基本的な考え方は、平滑化されていない重み関数 を平滑化されたものに置き換えることである。次の条件を満たす滑らかなカーネル関数Kを定義する。 ${\displaystyle \textstyle W(\sum \nolimits _{j\in C,j\neq i}1(x_{t,i}b>x_{t,j}b))}$

1. ${\displaystyle |K(\cdot )|}$実数上で有界である
2. ${\displaystyle \lim _{u\to -\infty }K(u)=0}$ そして${\displaystyle \lim _{u\to +\infty }K(u)=1}$
3. ${\displaystyle {\dot {K}}(u)={\dot {K}}(-u)}$

ここで、カーネル関数は、PDF が 0 を中心に対称となる CDF に類似しています。次に、SMS 推定量は次のように定義されます。

${\displaystyle {\hat {b}}_{SMS}={\operatorname {arg\max } }_{b}{\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\sum _{i=1}^{J}y_{t,i}\sum \nolimits _{j\in C,j\neq i}K(X_{t,i}b-x_{t,j}b/h_{N})}$

ここで、は 厳密に正の数の列であり、である。ここでの直感は、従来の最大スコア推定量の構築と同じである。つまり、エージェントは、潜在的効用の観測部分が高い選択肢を選ぶ可能性がより高い。特定の条件下では、平滑化された最大スコア推定量は一貫性があり、さらに重要なことに、漸近正規分布を持つ。したがって、漸近正規性に基づく通常の統計的検定と推論はすべて実装できる。^[9]${\displaystyle (h_{N},N=1,2,...)}$${\displaystyle \lim _{N\to +\infty }h_{N}=0}$

• Manski, Charles F. (1985). 「離散応答のセミパラメトリック分析: 最大スコア推定量の漸近特性」. Journal of Econometrics . 27 (3): 313– 333. doi :10.1016/0304-4076(85)90009-0. ISSN  0304-4076.
• Newey, Whitney K.; McFadden, Daniel (1994). 「第36章 大規模サンプル推定と仮説検定」計量経済学ハンドブック. Elsevier. doi :10.1016/s1573-4412(05)80005-4. ISBN 978-0-444-88766-5. ISSN  1573-4412.