互いに素な和集合（トポロジー）

一般的な位相幾何学および関連する数学の分野では、位相空間の族の非交和^{[ 1 ]}（ 直和、自由和、自由和、位相和、または余積とも呼ばれる）は、基礎となる集合の非交和に非交和位相と呼ばれる自然な位相を与えることによって形成される空間である。大まかに言えば、非交和では、与えられた空間は、それぞれが単独で見えるような単一の新しい空間の一部とみなされ、互いに分離されている。

コプロダクトという名称は、非交和が積空間構成の圏論的双対であるという事実に由来する。

{ X _i  : i ∈ I } をIで添え字付けされた位相空間の族とする。

${\displaystyle X=\coprod _{i}X_{i}}$

は、基礎となる集合の互いに素な和集合とする。Iの各iについて、

${\displaystyle \varphi _{i}:X_{i}\to X\,}$

正規の注入（定義は${\displaystyle \varphi _{i}(x)=(x,i)}$) X上の非交和位相は、すべての正準挿入が$\displaystyle \varphi _{i}}$連続である（つまり、正準注入によって誘導されるX上の最終的なトポロジーである）。

具体的には、非交和位相は次のように記述できます。Xの部分集合U がXにおいて開集合であるのは、その逆像がXにおいて開集合である場合に限ります。${\displaystyle \varphi _{i}^{-1}(U)}$各i ∈ Iに対して、 X _iは開いている。別の定式化としては、Xの部分集合VがXに対して開いているのは、その部分集合とX _iの共通部分が各iに対してX _iに対して開いている場合である。

互いに素な和集合空間X は、正準射影とともに、次の普遍的な性質によって特徴付けられます。Yが位相空間であり、f _i  : X _i → Yが各i ∈ Iに対する連続写像である場合、次の図の集合が可換となるような連続写像f : X → Yがちょうど 1 つ存在します。 

これは、位相空間の圏において、互いに素な和集合が余積であることを示している。上記の普遍性から、写像f : X → Yが連続であるのは、すべてのi ∈ Iに対してf _i = f o φ _iが連続である場合に限ることがわかる。 

連続であることに加えて、正準射影 φ _i  : X _i → Xは開写像かつ閉写像である。したがって、これらの射影は位相埋め込みであり、各X _{i は}Xの部分空間として正準的に考えることができる。

各X _iが固定空間Aと同相である場合、互いに素な和集合X は、離散位相を持つ積空間A × Iと同相になります。

• 離散空間の互いに素な和集合はすべて離散的である
• 分離
  • T ₀空間の互いに素な和集合はすべてT _0である
  • T ₁空間の互いに素な和集合はすべてT _1である
  • ハウスドルフ空間の互いに素な和集合はすべてハウスドルフ空間である。
• つながり
  • 2つ以上の空でない位相空間の非交和は不連結である。

• 製品のトポロジー、デュアル構造
• 部分空間位相とその双対商位相
• 位相的結合とは、構成要素が互いに分離していない場合への一般化である。