ベシコビッチ被覆定理

数学的解析において、アブラム・サモイロヴィッチ・ベシコヴィッチにちなんで名付けられたベシコヴィッチ被覆は、ユークリッド空間R ^Nの部分集合Eを球で覆ったもので、 Eの各点は被覆内のある球の中心となる。

ベシコビッチ被覆定理は、次元Nのみに依存し、次の特性を持つ 定数c _{N が存在することを主張します。}

• 有界集合Eの任意のベシコビッチ被覆Fが与えられたとき、Fに含まれる球のc _{N 個の}部分集合A ₁  = { B _{n 1} }, …, A _{c N}  = { B _{n c N} } が存在し、各集合A _{i は}互いに素な球から構成され、

${\displaystyle E\subseteq \bigcup _{i=1}^{c_{N}}\bigcup _{B\in A_{i}}B.}$

G がc _{N 個の}互いに素な族A ₁ ,..., A _{c N}のすべての球からなるFの部分集合を表すものとします。以下の記述は、あまり正確ではありませんが、明らかに正しいです。すべての点x  ∈  R ^{N は}、部分集合Gのc _{N 個}以下の異なる球に属し、G はEの被覆のままです(すべての点y  ∈  Eは、部分集合Gの少なくとも 1 つの球に属します)。この特性は、実際には定理と同等の形式を与えます (定数の値を除く)。

• 次元Nのみに依存し、次の特性を持つ定数b _Nが存在する:有界集合Eの任意のベシコビッチ被覆F が与えられたとき、 Fの 部分集合Gが存在し、G は集合Eの被覆であり、すべての点x  ∈  E は部分被覆Gから 最大でb _{N 個}の異なる球に属する。

言い換えれば、G内のボールの指示関数の合計に等しい関数S _{G は}1 _Eより大きく、定数b _NによってR ^N上で制限され、

${\displaystyle \mathbf {1} _{E}\leq S_{\mathbf {G} }:=\sum _{B\in \mathbf {G} }\mathbf {1} _{B}\leq b_{ N}.}$

μ をR ^N上のボレル非負測度、コンパクト部分集合上で有限、を-積分可能関数とする。任意のに対して と設定して最大関数を定義する（規約を使用）。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \infty \times 0=0}$

${\displaystyle f^{*}(x)=\sup _{r>0}{\Bigl (}\mu (B(x,r))^{-1}\int _{B(x,r)}|f(y)|\,d\mu (y){\Bigr )}.}$

この極大関数は下半連続なので測定可能です。次の最大不等式はすべての λ > 0 に対して満たされます。

${\displaystyle \lambda \,\mu {\bigl (}\{x:f^{*}(x)>\lambda \}{\bigr )}\leq b_{N}\,\int |f|\ 、d\mu。}$

証拠。

点xの集合Eλ_は、明らかに球Bによるベシコビッチ被覆Fλ_を許容し、 ${\displaystyle f^{*}(x)>\lambda }$

${\displaystyle \int \mathbf {1} _{B}\,|f|\ d\mu =\int _{B}|f(y)|\,d\mu (y)>\lambda \,\ム（B）。}$

E _λの任意の有界ボレル部分集合E´に対して、 E´を覆いS _G  ≤  b _{N を}満たすF _λから抽出された部分集合G を見つけることができる。したがって

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda \,\mu (E')&\leq \lambda \,\sum _{B\in \mathbf {G} }\mu (B)\\&\leq \ sum _{B\in \mathbf {G} }\int \mathbf {1} _{B}\,|f|\,d\mu =\int S_{\mathbf {G} }\,|f|\,d\mu \leq b_{N}\,\int |f|\,d\mu ,\end{aligned}}}$

これは上記の不等式を意味します。

R ^N上のルベーグ測度を扱う場合、以前の最大不等式（異なる定数を使用）を導くために、 より簡単な（そして古い）ヴィタリ被覆補題を使用するのが一般的です。

• ヴィタリ被覆補題

• ベシコヴィッチ、AS（1945）、「加法関数の被覆原理と相対微分の一般形、I」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、41（02）：103–110、doi：10.1017 / S0305004100022453。
  • ベシコヴィッチ、AS（1946）、「被覆原理の一般形と加法関数の相対微分、II」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、42：205-235、doi：10.1017/s0305004100022660。
• DiBenedetto、E (2002)、実分析、Birkhäuser、ISBN 0-8176-4231-5。
• フューレディ、ゾルタン; ローブ、ピーター A. (1994)、「ベシコビッチ被覆定理の最適定数について」、アメリカ数学会紀要、121 (4): 1063–1073、doi : 10.1090/S0002-9939-1994-1249875-4、JSTOR  2161215。