減衰

物理システムにおいて、減衰とは、振動システムのエネルギーが散逸によって失われることである。^{[ 1 ] [ 2 ]}減衰は、振動システム内部または振動システムに対する影響であり、その振動を減少または防止する効果がある。^{[ 3 ]}減衰の例としては、流体中の粘性減衰（粘性抵抗を参照）、表面摩擦、放射、^{[ 1 ]}電子発振器の抵抗、光発振器における光の吸収と散乱などがある。エネルギー損失に基づかない減衰は、生物システムや自転車^{[ 4 ]}（例：サスペンション（力学） ）などで発生する他の振動システムでは重要になることがある。減衰は、システムに作用する散逸力の一種である摩擦と混同してはならない。摩擦は減衰の原因となることもあれば、減衰の要因となることもある。

多くのシステムは、静的平衡位置から外されると振動挙動を示します。例えば、ばねで吊り下げられた質量は、引っ張って放すと上下に跳ね返ります。跳ね返るたびに、システムは平衡位置に戻ろうとしますが、それを通り過ぎてしまいます。摩擦などの損失によってシステムが減衰し、振動の振幅が徐々にゼロに近づいたり、減衰したりすることもあります。

減衰比は、システムの減衰度合いを表す無次元量の一つです。ζ （「ゼータ」）で表され、減衰なし（ζ = 0）、減衰不足（ζ < 1） 、臨界減衰（ζ = 1）、過減衰（ζ > 1）の順に変化します。

振動系の挙動は、制御工学、化学工学、機械工学、構造工学、電気工学など、多岐にわたる分野で関心を集めています。振動する物理量は大きく異なり、風に揺れる高層ビルや電動機の速度などが挙げられますが、正規化または無次元化されたアプローチは、挙動の共通点を記述する上で便利です。

減衰の程度に応じて、システムは異なる振動挙動と速度を示す。

• ばねと質量の系に損失が全くない場合、質量は無限に振動し、それぞれの跳ね返りの高さは前回と同じになります。この仮想的なケースは減衰なしと呼ばれます。
• システムに損失が大きい場合、例えばバネ・質量実験を粘性流体中で行った場合、質量はオーバーシュートすることなくゆっくりと静止位置に戻ることがあります。このような状態を過減衰と呼びます。
• 一般的に、質量体は開始位置を通り過ぎて戻り、再び通り過ぎてしまう傾向があります。このたびにシステム内のエネルギーが散逸し、振動は徐々に減衰していきます。このような状態を減衰振動と呼びます。
• 過減衰と不足減衰の間には、システムがオーバーシュートせず、振動も起こらないような減衰レベルが存在する。この状態を臨界減衰と呼ぶ。臨界減衰と過減衰の主な違いは、臨界減衰ではシステムが最短時間で平衡状態に戻ることである。^{[ 5 ]}

減衰正弦波または減衰正弦波は、時間の経過とともに振幅がゼロに近づく正弦関数です。これは、減衰2次システムの減衰不足の場合、または減衰不足2次微分方程式に対応します。 ^{[ 6 ]} 減衰正弦波は、調和振動子が供給されるよりも速くエネルギーを失っている科学および工学のあらゆる場所でよく見られます。時間 = 0 から始まる真の正弦波は、原点 (振幅 = 0) から始まります。コサイン波は、正弦波との位相差により、最大値から始まります。与えられた正弦波形は、正弦成分とコサイン成分の両方を持つ中間位相である場合があります。「減衰正弦波」という用語は、初期位相に関係なく、そのようなすべての減衰波形を表します。

一般的に想定される最も一般的な減衰形式は、線形システムに見られる形式です。この形式は指数減衰と呼ばれ、連続するピークの外側の包絡線は指数減衰曲線になります。つまり、連続する各曲線の最大点を結ぶと、結果は指数減衰関数に似たものになります。指数減衰正弦波の一般式は次のように表すことができます。 $${\displaystyle y(t)=Ae^{-\lambda t}\cos(\omega t-\varphi )}$$ どこ：

• ${\displaystyle y(t)}$は時刻tにおける瞬間振幅です。
• ${\displaystyle A}$はエンベロープの初期振幅です。
• ${\displaystyle \lambda }$は、独立変数tの時間単位の逆数で表される減衰率です。
• ${\displaystyle \varphi }$はt = 0における位相角です。
• ${\displaystyle \omega }$は角周波数です。

その他の重要なパラメータは以下のとおりです。

• 頻度：${\displaystyle f=\omega /(2\pi )}$単位時間あたりのサイクル数。逆時間単位で表されます。$t^{-1}}$またはヘルツ。
• 時定数：${\displaystyle \tau =1/\lambda }$振幅がe倍に減少するまでの時間。
• 半減期とは、指数関数的振幅エンベロープが2分の1に減少するのにかかる時間のことです。${\displaystyle \ln(2)/\lambda }$これはおよそ${\displaystyle 0.693/\lambda }$。
• 減衰比：${\displaystyle \zeta }$は周波数に対する減衰率の無次元特性であり、おおよそ${\displaystyle \zeta =\lambda /\omega }$または正確に${\displaystyle \zeta =\lambda /{\sqrt {\lambda ^{2}+\omega ^{2}}}<1}$。
• Qファクター：${\displaystyle Q=1/(2\zeta )}$Q値は減衰量の無次元的な特徴付けであり、Q値が高いほど振動に対する減衰が遅いことを示す。

減衰比は、通常ζ（ギリシャ文字のゼータ）で表される無次元パラメータであり^{[ 7 ]} 、 2階常微分方程式における減衰の程度を表します。これは、制御理論の研究において特に重要です。また、調和振動子においても重要です。減衰比が大きいほど、システムの減衰が大きくなります。

• 減衰のないシステムでは、減衰比は0です。
• 減衰不足システムは、値が1未満となる。
• 臨界減衰システムは減衰比が1である。
• 過減衰系は、減衰比が1より大きい。

減衰比は、システムの減衰レベルを臨界減衰に対する相対値で表すものであり、減衰係数を用いて定義できる。

${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{c_{c}}}={\frac {\text{actual damping}}{\text{critical damping}}},}$

減衰比は無次元であり、同じ単位を持つ2つの係数の比である。

質量m、減衰係数c、ばね定数kを持つ質量-ばね-ダンパーモデルの単純な例を挙げると、${\displaystyle x}$は自由度を表し、システムの運動方程式は次のように表されます。

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0}$[ ^{8 ]​}

対応する臨界減衰係数は次のとおりです。${\displaystyle c_{c}=2{\sqrt {km}}}$

そして、システムの固有振動数は次のとおりです。${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$

これらの定義を用いると、運動方程式は次のように表すことができる。

${\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}+\omega _{n}^{2}x=0.}$

この方程式は質量-ばね-ダンパー系だけでなく、より一般的なものであり、電気回路やその他の領域にも適用できます。この方程式は、次のアプローチで解くことができます。

${\displaystyle x(t)=Ce^{st},}$

ここで、Cとsはどちらも複素定数であり、 sは以下を満たす。

${\displaystyle s=-\omega _{n}\left(\zeta \pm i{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right).}$

方程式を満たす2つのsの値に対応する2つの解を組み合わせることで、いくつかの領域で振動的かつ減衰的な特性を持つ一般的な実数解が得られる。

減衰なし

次のような場合${\displaystyle \zeta =0}$これは減衰のない単純調和振動子に対応し、その場合の解は次のようになります。${\displaystyle \exp(i\omega _{n}t)}$予想通りです。このようなケースは自然界では極めて稀で、最も近い例としては、摩擦を意図的に最小限に抑えた場合が挙げられます。

減衰不足

sが複素数値のペアである場合、各複素解項は減衰指数関数と振動部分を組み合わせたもので、次のような形になります。${\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$このケースは、${\displaystyle \ 0\leq \zeta <1}$、減衰不足と呼ばれます（例：バンジーケーブル）。

過減衰

sが実数値のペアである場合、解は振動のない2つの減衰指数関数の和になります。このケースは、次の場合に発生します。${\displaystyle \zeta >1}$過減衰と呼ばれる状態です。過減衰が実用的な状況では、オーバーシュートが発生すると悲惨な結果を招く傾向があり、通常は機械的なものではなく電気的なものです。例えば、自動操縦で飛行機を着陸させる場合、システムがオーバーシュートして着陸装置の解放が遅れると、大惨事になります。

臨界減衰

の場合${\displaystyle \zeta =1}$は過減衰と不足減衰の境界であり、臨界減衰と呼ばれます。これは、減衰振動子の工学的設計が求められる多くのケース（例えば、ドアの閉鎖機構）において望ましい結果となります。

Q値、減衰比ζ、指数減衰率αは次のように関係している^{[ 9 ]}

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{n}}.}$

2次システムが${\displaystyle \zeta <1}$（つまり、システムが減衰不足の場合）、それぞれ実部が2 つの複素共役極を持ち、${\displaystyle -\alpha }$つまり、減衰率パラメータは振動の指数関数的減衰率を表します。減衰比が低いほど減衰率も低くなるため、非常に減衰の少ないシステムは長時間振動します。^{[ 10 ]} 例えば、減衰比が非常に低い高品質の音叉は、ハンマーで叩かれた後、非常にゆっくりと減衰しながら長時間振動します。

減衰不足振動の場合、減衰比は対数減衰率にも関係します。${\displaystyle \delta }$減衰比は、隣接していなくても任意の 2 つのピークについて求めることができます。^{[ 11 ]} 隣接するピークの場合: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}}$ どこ${\displaystyle \delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}}$

ここで_、x₀とx₁_は、連続する2つのピークの振幅である。

右図に示すように：

${\displaystyle \delta =\ln {\frac {x_{1}}{x_{3}}}=\ln {\frac {x_{2}}{x_{4}}}=\ln {\frac {x_{1}-x_{2}}{x_{3}-x_{4}}}}$

どこ${\displaystyle x_{1}}$、${\displaystyle x_{3}}$は、連続する 2 つの正のピークの振幅であり、${\displaystyle x_{2}}$、${\displaystyle x_{4}}$これらは、連続する2つの負のピークの振幅である。

制御理論において、オーバーシュートとは、出力が最終的な定常状態値を超えることを指します。^{[ 13 ]}ステップ入力 の場合、パーセントオーバーシュート（PO）は、最大値からステップ値を引いた値をステップ値で割った値です。単位ステップの場合、オーバーシュートはステップ応答の最大値から1を引いた値になります。

パーセントオーバーシュート（PO）は、減衰比（ζ）と次の関係にある。

${\displaystyle \mathrm {PO} =100\exp \left({-{\frac {\zeta \pi }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\right)}$

逆に、特定のパーセントオーバーシュートをもたらす減衰比（ζ ）は、次式で与えられる。

${\displaystyle \zeta ={\frac {-\ln \left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}{\sqrt {\pi ^{2}+\ln ^{2}\left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}}}}$