ダランベールオペレーター

特殊相対性理論、電磁気学、波動理論において、ダランベール演算子（四角で表す：${\displaystyle \Box }$）は、ダランベール演算子、波動演算子、ボックス演算子、または時にはクワブラ演算子^{[ 1 ]}（ナブラ記号を参照）とも呼ばれ、ミンコフスキー空間のラプラス演算子です。この演算子は、フランスの数学者で物理学者のジャン・ル・ロン・ダランベールにちなんで名付けられました。

ミンコフスキー空間では、標準座標( t , x , y , z )において、次の形式をとる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box &=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\Delta ~~.\end{aligned}}}$

ここ${\displaystyle \nabla ^{2}:=\Delta }$は3次元ラプラシアンであり、ημν^は逆ミンコフスキー計量である。

${\displaystyle \eta _{00}=1}$、${\displaystyle \eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=-1}$、${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=0}$のために${\displaystyle \mu \neq \nu }$。

μとνの総和指数は0から3までの範囲であることに注意してください。アインシュタイン記法を参照してください。

（著者によっては、代わりに負のメトリック記号（− + + +）を使用することもあります。${\displaystyle \eta _{00}=-1,\;\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=1}$）

ローレンツ変換はミンコフスキー計量を不変に保つため、ダランベール式はローレンツスカラーを与える。上記の座標表現は、あらゆる慣性系における標準座標に対して有効である。

ダランベールの記法には様々な種類がある。最も一般的なのは四角い記号である。${\displaystyle \Box }$（Unicode：U+2610 ☐投票箱）その4つの側面は時空の4次元と四角形の箱のシンボルを表しています${\displaystyle \Box ^{2}}$これは、二乗項を通してスカラー特性を強調しています（ラプラシアンとよく似ています）。ラプラシアンの三角形表記に倣って、時には$\displaystyle \Delta _{M}}$使用されます。

平面標準座標でダランベール式を記述する別の方法は次のとおりです。$\displaystyle \partial ^{2}}$この表記法は量子場理論で広く用いられており、偏微分は通常添え字で表されます。したがって、二乗偏微分に添え字がないことは、ダランベールの式が存在することを示しています。

ボックス記号は、4次元のレヴィ・チヴィタ共変微分を表すために使用されることがあります。${\displaystyle \nabla }$これは空間微分を表すために使用されますが、これは座標チャートに依存します。

微小振動の波動方程式は次の形式である。

${\displaystyle \Box _{c}u\left(x,t\right)\equiv u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0~,}$

ここで、u ( x , t )は変位である。

真空中の電磁場の波動方程式は

${\displaystyle \Box A^{\mu }=0}$

ここで、^Aμはローレンツゲージにおける電磁4元ポテンシャルである。

クライン・ゴルドン方程式は次の形式をとる。

${\displaystyle \left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi =0~.}$

グリーン関数、${\displaystyle G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$ダランベールの式は、次の式で定義される。

${\displaystyle \Box G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)=\delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$

どこ$\displaystyle \delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$は多次元ディラックデルタ関数であり、$\displaystyle {\tilde {x}}}$そして${\displaystyle {\tilde {x}}'}$これらはミンコフスキー空間内の2点である。

遅延グリーン関数によって特別な解が与えられ、これは時間的に前方にのみ信号が伝搬することに対応する^{[ 2 ]。}

${\displaystyle G\left({\vec {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi r}}\Theta (t)\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}$

どこ${\displaystyle \Theta }$はヘヴィサイド階段関数です。

• 4段階勾配
• ダランベールの公式
• クライン・ゴルドン方程式
• 相対論的熱伝導
• リッチ計算
• 波動方程式

• 「ダランベール作用素」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ポアンカレ、アンリ（1906）。翻訳：電子の力学について（7月）  – Wikisource経由。、元々はパレルモのレンディコンティ・デル・チルコロ・マテマティコで印刷されました。
• ワイスタイン、エリック・W. 「ダランベルティアン」。マスワールド。