アデル代数群

抽象代数学において、アデル代数群は、数体K上の代数群GとKのアデル環A = A ( K )によって定義される半位相群である。これは、 Aに値を持つGの点から構成される。適切な位相の定義は、Gが線型代数群の場合にのみ簡単である。 Gがアーベル多様体である場合、これは技術的な障害となるが、この概念は玉川数との関連で潜在的に有用であることが知られている。アデル代数群は、特に保型表現の理論や二次形式の算術など、 数論で広く使用されている。

Gが線型代数群の場合、それはアフィンN空間のアフィン代数多様体です。アデル代数群上の位相は、アデル環のN個のコピーの直積であるA ^N内の部分空間位相であるとみなされます。この場合、は位相群です。 ${\displaystyle G(A)}$${\displaystyle G(A)}$

歴史的に、イデル( / ɪ ˈ d ɛ l z / )は 、フランス語で「理想元」を意味する「élément idéal」という名前でChevalley (1936) によって導入されました。その後、Chevalley (1940) は Hasse の提案に従ってこれを「idèle」に省略しました。(これらの論文で、彼はまた、イデルに非ハウスドルフ位相を与えました。) これは、位相群の観点から無限拡大の類体理論を定式化するためでした。Weil (1938) は、関数体の場合にアデルの環を定義し (ただし名前を付けず)、Chevalley のIdealelemente群 がこの環の可逆元の群であると指摘しました。Tate (1950) は、アデルの環を制限直積として定義しましたが、その元をアデルではなく「付値ベクトル」と呼びました。

Chevalley (1951) は、関数体の場合のアデール環を「再分割」という名前で定義しました。当時の用語adèle は「加法的なイデール」を意味し、フランス人女性の名前であることもあります。adèle という用語はその後すぐに使用され (Jaffard 1953)、André Weilによって導入された可能性があります。Ono (1957) によるアデール代数群の一般的な構成は、 Armand BorelとHarish-Chandraによって確立された代数群理論に従っていました。

重要な例として、イデアル群（イデアル元群）I ( K ) は の場合です。ここで、イデアルの集合は可逆なアデアルから構成されますが、イデアル群上の位相は、アデアルのサブセットとしての位相ではありません。代わりに、 が2 次元アフィン空間にあることを考えると、次のようにパラメトリックに定義される「双曲線」に なります。${\displaystyle G=GL_{1}}$${\displaystyle GL_{1}}$

${\displaystyle \{(t,t^{-1})\},}$

イデール群に正しく割り当てられた位相は、A ²への包含によって誘導される位相である。射影と合成すると、イデールはAからの部分空間位相よりも 細かい位相を持つことになる。

A ^Nの内部では、積K ^{N は}離散部分群として存在します。これは、G ( K ) もG ( A )の離散部分群であることを意味します。イデアル群の場合、商群

${\displaystyle I(K)/K^{\times }\,}$

はイデアル類群である。これはイデアル類群と密接に関連している（ただし、イデアル類群よりも大きい） 。イデアル類群自体はコンパクトではない。まずイデアルをノルム 1 のイデアルに置き換えなければならず、そうするとイデアル類群のそれらの像はコンパクト群になる。この証明は、類数が有限であることと本質的に等しい。

イデレ類群のガロアコホモロジーの研究は類体理論の中心的な問題である。イデレ類群の指標は現在通常ヘッケ指標またはグレーゼン指標と呼ばれ、 L 関数の最も基本的なクラスを生み出す。

より一般的なGの場合、玉川数は次のように定義される（または間接的に計算される）。

G ( A )/ G ( K )。

玉川恒夫の観察によれば、K 上で定義されたG上の不変微分形式ωから始めて、含まれる測度は明確に定義される。 ω は、 Kの非ゼロ元であるc ωに置き換えることができるが、Kにおける付値の積の公式は、各有効因数上の ω から構成される積の測度について、商の測度のcからの独立性によって反映される。半単純群の玉川数の計算には、古典的な二次形式理論 の重要な部分が含まれている。

• アデルの指輪

• Chevalley、Claude (1936)、「Généralisation de la théorie du corps declasss pour les extensions infinies.」、Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (フランス語)、15 : 359–371、JFM  62.1153.02
• Chevalley, Claude (1940)、「La théorie du corps de classs」、Annals of Mathematics、Second Series、41 (2): 394–418、doi :10.2307/1969013、ISSN  0003-486X、JSTOR  1969013、MR  0002357
• シュヴァレー、クロード（1951）、一変数代数関数理論入門、数学概論、第VI号、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、MR  0042164
• Jaffard, Paul (1953)、Anneaux d'adèles (d'aprèsいわさわ)、Séminaire Bourbaki、Secretariat mathématique、パリ、MR  0157859
• 小野隆 (1957)、「Sur une propriété arithmétique des groupes algébriques commutatifs」、Bulletin de la Société Mathématique de France、85 : 307–323、doi : 10.24033/bsmf.1491、ISSN  0037-9484、MR  0094362
• テイト、ジョン・T. (1950)、「数体におけるフーリエ解析とヘッケのゼータ関数」、代数的数論 (Proc. Instructional Conf.、ブライトン、1965)、トンプソン、ワシントン DC、pp. 305–347、ISBN 978-0-9502734-2-6、MR  0217026
• Weil, André (1938)、「Zur algebraischen Theorie der algebraischen Funktionen.」、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ドイツ語)、179 : 129–133、doi :10.1515/crll.1938.179.129、ISSN  0075-4102、S2CID  116472982

• Rapinchuk, AS (2001) [1994]、「玉川数」、数学百科事典、EMS Press